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1、.角平分线性质定理与逆定理,驶向胜利的彼岸,角平分线,你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗?,已知:如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.,而OPDOPB的条件由已知易知它满足公理(AAS).,故结论可证.,老师期望:你能写出规范的证明过程.,分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的OPDOPB，,你还记得角平分线上的点有什么性质吗?,角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,你能证明这一结论吗?,驶向胜利的彼岸,几何的三种语言,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段
2、相等的根据之一.,如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,进步的标志,驶向胜利的彼岸,你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?,逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,它是真命题吗?,如果是.请你证明它.,已知:如图,PA=PB,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E.求证:点P在AOB的平分线上.,分析:要证明点P在AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明1=2.,老师期望:你能写出规范的证明过程.,驶向胜利的彼岸,逆
3、定理,逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,如图,PA=PB,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?,驶向胜利的彼岸,尺规作图,已知:AOB,如图.求作:射线OC,使AOC=BOC.作法:,用尺规作角的平分线.,1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C.,3.作
4、射线OC.,请你说明OC为什么是AOB的平分线,并与同伴进行交流.,老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.,则射线OC就是AOB的平分线.,挑战自我,驶向胜利的彼岸,如图,AD,AE分别是ABC中A的内角平分线外角平分线,它们有什么关系?,老师期望:你能说出结论并能证明它.,梦想成真,2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).,回味无穷,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的
5、点到这个角的两边距离相等).逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.PA=PB,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).用尺规作角的平分线.邻补角的角平分线之间的关系.如,习题1.8,驶向胜利的彼岸,1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线.,老师期望:先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.,你发现了什么？,习题1.8,驶向胜利的彼岸,2.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,老师期望:养成用数学解释生活的习惯.,习题1.8,驶向胜利的彼岸,3.已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.,老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,
