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1、2三角形中的几何计算,例1：如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=5,AC=9,BCA=30O,ADB=45O,求BD的长.,解 在ABC中,ADBC,AB=5,AC=9,BCA=30O.由正弦定理,得,因为 ADBC,所以BAD=180O-ABC,于是,同理,在ABD中,AB=5,ADB=45O,解得,答 BD的长为.,例2 一次机器人足球比赛中,甲队1号机器由点A开始作匀速直线运动,到达B点时,发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A作匀速直线滚动.如图,已知若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?,分析 机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方,
2、设为C点.利用速度建立AC与BC之间的关系,再利用余弦定理便可建立方程解决问题.,解.设机器人最快可在C处截住足球,点C在线段AD上.设BC=x dm,由题意,CD=2x dm.,C,AC=AD-CD=(17-2x)dm.,在BCD中,由余弦定理,得.,即,解得,所以,(不合题意,舍去),答 该机器人最快可在线段AD上离点A7dm的点C处截住足球.,例3如图,已知O的半径是1,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是O上半圆上的一个动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧.(1)若POB=,试将四边形OPDC的面积y表示成的函数;(2)求四边形OPDC面积的最大值.,
3、分析 四边形OPDC可以分成OPC与PCD.SOPC可用表示;而求PCD的面积的关键在于求出边长PC,在OPC中利用余弦定理即可求出;面积最值,可通过函数解决.,解.(1)在POC中,由余弦定理,得.,所以,(2)当,时,练习,1.在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB,证明:由余弦定理知,右边=,练习,2.已知ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对边a、b、c成等比.试证明：ABC为正三角形.,证明：,a、b、c成等比，b2=ac,A、B、C成等差，2B=A+C，又A+B+C=180o，B=60o，A+C=120o,又由余弦定理得：,，即,，a=c,又B=60o，ABC是正三角形.,
