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1、角的平分线的性质（2）,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,2、角的平分线的性质:,PDOA，PEOB,OC是AOB的平分线,PDPE,用数学语言表述：,复习,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上,思考,证明:QDOA，QEOB（已知），QDOQEO90（垂直的定义）在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共边）QD=QE RtQDORtQEO（HL）QODQOE 点Q在AOB的平分线上,已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上,到角
2、的两边的距离相等的点在角的平分线上。,QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上,用数学语言表示为：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,图1-32,定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,（
3、这个交点叫做三角形的内心）,如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,基本应用,填空：(1).1=2,DCAC,DEAB _(_)(1).DCAC,DEAB,DC=DE_(_ _),12,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,又 BAAD，BCCD，,点B在ADC的平分线上.,例
4、1 如图，BAD=BCD=90，1=2.,（1）求证：点B在ADC的平分线上；（2）求证：BD是ABC的平分线.,证明：在RtBAD和RtBCD中，BA=BC，BD=BD，,RtBADRtBCD.,ABD=CBD.,BD是ABC的平分线.,PE=PF.,在EBP中，BE+PEPB，,BE+PFPB.,图1-30,如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。,证明：D是BC的中点，BDCD.DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，BEDCFD90.在RtBED和RtCFD中，,BEDCFD(HL)DEDF(全等三角形的对应边相等
5、)DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，AD是ABC的角平分线,小结：,1.定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,2.逆定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,3.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).,4.用尺规作角的平分线.（作法）,如图，E 是AOB 的平分线上一点，ECOA 于点C，EDOB 于点D.求证：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD.,2.如图，在ABC 中，ADDE，BEDE，AC，BC 分别平分BAD，ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.,M,证明 作CMAB于点M.,拓展与延伸,3、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.,
