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1、复变函数论,Functions of One Complex Variable,湖南第一师范学院数理系,第四章 解析函数的幂级数表示法,4.1 复级数的基本性质,4.2 幂级数,4.4 解析函数零点的孤立性 及唯一性定理,4.3 解析函数的泰勒级数,4.4 解析函数的零点孤立性定理及解析函数的唯一性定理,定义4.7 设解析函数f(z)在区域 D 内一点a 的值为零，则称 a为解析函数 f(z)的零点.,将解析函数f(z)在零点a展成幂级数.若f(z)不恒为零，则幂级数系数不全为零.,若存在正整数m,使得,则称 m为零点a 的阶,a为f(z)的m阶零点.当m=1时，称a 为的f(z)单零点.,定
2、理4.17 不恒为零的解析函数f(z)以a为m阶零点的充要条件为：,f(z)=(z-a)m(z),其中(z)在点 a 的邻域|z-a|R 内解析，且(a)0.,注意零点与因式的关系！,证 明,例 题,例4.15 求函数 f(z)=z sinz在零点 z=0的阶.,解,或 且,知函数 f(z)=z sinz在零点 z=0的阶为3.,例4.16 求sin z 1 的全部零点，并指出它们的阶.,解：令 sinz=0,得 eiz-e-iz=2i,所以(eiz-i)2=0,即 eiz=i,实变函数的零点是孤立的吗？,它的零点为：,零点序列存在聚点，因而此函数的零点不是孤立的.,解析函数的零点孤立性,定理
3、4.18 如果|z-a|R 内的解析函数f(z)不恒为零，a 为其零点，则必有a 的一个邻域，使得 f(z)在其中无异于a 的零点.,即：不恒为零的解析函数的零点是孤立的.,证明 设a为f(z)的m阶零点，于是,f(z)=(z-a)m(z),(z)在a解析且(a)0,必存在a的邻域使(z)在其内恒不为零.,推论4.19 设(1)函数 f(z)在邻域 K:|z-a|R内解析;(2)在 K 内f(z)有一列零点 zn(zn0)收敛于 a,则在K内f(z)必恒为零.,证明 因 f(z)在点a连续，且f(zn)=0，,令n，得 f(a)=0.,故 a 为 f(z)的非孤立零点.,解析函数唯一性定理,定
4、理4.20 设(1)函数 f1(z)和 f2(z)在区域D 内解析;(2)D内有一个收敛于 aD的点列 zn(zna)，在其上 f1(z)和 f2(z)等值，则 f1(z)和 f2(z)在D 内恒等.,Kt,Kt-1,aa,a,at-1,at,anb,证明 令 f(z)=f1(z)-f2(z),D,K0,K1,设b为D内任意一点，用折线L把a,b两点连接起来，以d表示L与D的边界间的最短距离.,推论4.21 设在区域D 内解析的函数 f1(z)及 f2(z)在D内的某一子区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域 D 内恒等.,例题 4.17,设函数f(z)及g(z)在区域D内解析；在D内f(z
5、)g(z)0,试证：在D内 f(z)0或 g(z)0.,证 若有 z0 D 使 g(z0)0.由连续性知，存在 z0 的邻域K，使g(z)在K内恒不为零.故必 f(z)0(z K)有唯一性定理得f(z)0(z D),推论4.22,一切在实轴上成立的恒等式，在 z平面上也成立，只要这个 恒等式的等号两边在 z 平面上都是解析的.,唯一性定理的重大理论意义：,解析函数可以由局部确定全体.,例 4.18（参见教材175页）,最大模原理,定理4.23 设函数 f(z)在区域 D 内解 析，则|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值，除非在D内恒等于常数.,则除f(z)为常数的情形外，|f(z)|M(z
6、D),柯西不等式中,D,证明 反设|f(z)|在区域 D内一点 z0 到最大值，记|f(z0)|=M,则必有0M，取邻域 K:|z-z0|R 全含于 D，则,故在圆周|z-z0|=R 上，|f(z)|=M.,D,在R 0的过程中，均有|f(z)|=M.,故在圆|z-z0|R 内，|f(z)|=M.,进而由唯一性定理知在D 内，f(z)=C.,故在圆|z-z0|R 内，f(z)=常数C.,证明 反设f(z)在|z|a0，且 f(z)在|z|R 上解析.故,在|z|R上解析.此时,而在|z|=R 上，有,这与最大模原理矛盾！,本讲结束,作 业,1.第179页 8.2.第180页 12.3.第181页 14.,
