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1、1,第7章 矩阵特征值与特征向量的计算,引言乘幂法反幂法,2,7.1 引言,定义：对于n阶方阵A，数0，若存在非零列向量x，使得Ax=0 x，则称0为A的特征值（特征根），x为A的属于0的特征向量。,定义：以为未知量的方程|A-E|=0称为方阵A的特征方程，的多项式|A-0E|称为方阵A的特征多项式，记为f()。,0是为方阵A的特征值，x为A的属于0的特征向量的充要条件是：0是A的特征方程|A-E|=0的根，x是齐次线性方程组(A-0E)X=0的非零解向量。,因此，可以按以下步骤求方阵A的特征值和特征向量：计算A的特征多项式|A-E|；求出A的特征方程|A-E|=0的全部根，这是A的全部特征值
2、；对A的每一个特征值i，求出(A-iE)X=0的一个基础解系x1,x2,xs，并写成列向量的形式，这就是A的属于i的一组线性无关的特征向量。那么 的属于i的全部特征向量为：k1x1k2x2ksxs其中k1,k2,ks是不全为零的常数。,对于高阶方阵用上述方法求特征值，运算量大，需要求解高阶代数方程，并且在计算机上实现也较为困难。本章介绍几种便于在计算机上实现的方法。,3,7.2 乘幂法,一、乘幂法的基本思想,有些实际问题不需要求出全部特征值，只需要求出按模最大特征值和按模最小特征值。乘幂法用来求按模最大特征值和与它对应的特征向量。按模最大特征值又称为主特征值，是指绝对值最大的特征值。乘幂法的特
3、点是算法简单，易于在计算机上实现，特别适用于高阶稀疏方阵。乘幂法的收敛情况与特征值的分布有关。,设n阶方阵A的特征值为1,2,n，主特征值为1且满足|1|2|3|n|，对应的特征向量为x1,x2,xn且线性无关，那么用乘幂法求n阶方阵A的主特征值1和属于1的特征向量x1的步骤为：,任取n维非零向量v(0)=(v1(0),v2(0),v3(0),vn(0)T作为初始向量，反复计算：,v(k)=Av(k-1)，向量(v1(k)/v1(k-1),v2(k)/v2(k-1),v3(k)/v3(k-1),vn(k)/vn(k-1)T记为u(k-1)，k=1,2,3,。,当k时，向量u(k-1)的各分量都
4、收敛于主特征值1，并且向量v(k)/1k收敛于向量a1x1，式中a1为非零常数。当k足够大时，取u(k)的任一分量作为主特征值1的近似值，v(k)近似地作为属于1的特征向量。,乘幂法是线性收敛的，收敛速度主要由|2/1|决定。|2/1|越小，收敛越快；如果|2/1|接近于1，那么收敛很慢。,4,7.2 乘幂法,二、改进后的乘幂法,在上述迭代过程中，如果|1|1且迭代次数过大，那么|1k|会成为很大的数或很小的数，计算v(k)1ka1x1时可能出现上溢出（数据的绝对值比能表示的最大的数还大，导致出错）或下溢出（非零数据的绝对值比能表示的最小的正数还小，导致出错）。为了克服这一缺点，在每一轮迭代v
5、(k)=Av(k-1)之后，对向量v(k)的长度归一化。,向量长度的归一化是指把向量所有的分量都除以一个常数，使此向量中绝对值最大的分量为1。改进后的乘幂法在每一轮迭代后，都对迭代向量的长度归一化。与上述乘幂法类似，改进后的乘幂法求n阶方阵A的主特征值1及对应特征向量x1的步骤为：,任取n维非零向量v(0)作为初始向量，反复计算：,u(k)=Av(k-1)，若u(k)各分量中绝对值最大的分量为j第个分量uj(k)，则令m(k)=uj(k)，令v(k)=u(k)/m(k)，k=1,2,3,。,当k时，m(k)1，向量v(k)越来越接近于属于1的特征向量。因此当k足够大时，m(k)1，近似地认为向
6、量v(k)是A的属于1的特征向量。,5,7.2 乘幂法,三、改进后的乘幂法的算法,6,7.3 反幂法,一、反幂法的基本思想,反幂法用来求可逆矩阵的按模最小特征值（即绝对值最小的特征值）和与它对应的特征向量。,定理：若为n阶方阵A的特征值，x为A的属于的特征向量，则1/为A-1的特征值，x也是A-1的属于1/的特征向量。,定理：n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件为零不是A的特征值。,由上述定理可知，n是A的按模最小特征值，当且仅当1/n为A-1的按模最大特征值。用7.2中的乘幂法求出A-1的按模最大特征值，此特征值的倒数即A的按模最小特征值，这是反幂法的基本思想。,设n阶方阵A的特征值为1,2,n，
7、按模最小特征值为n且满足|1|2|n-1|n|0，对应的特征向量为x1,x2,xn且线性无关，那么用反幂法求n阶方阵A的按模最小特征值n和A的属于n的特征向量xn的步骤为，任取n维非零向量v(0)作为初始向量，反复计算：,u(k)=A-1v(k-1)，若u(k)各分量中绝对值最大的分量为j第个分量uj(k)，则令m(k)=uj(k)，令v(k)=u(k)/m(k)，k=1,2,3,。,当k时，m(k)1/n，向量v(k)接近于A的属于n的特征向量。因此当k足够大时，1/m(k)n，近似地认为向量v(k)是A的属于n的特征向量。,7,7.3 反幂法,一、反幂法的基本思想（续）,上述方法在求u(k
8、)时需要先求出A-1，求A的逆矩阵常常比较麻烦。为了避免求A-1，可以把u(k)=A-1v(k-1)变形为Au(k)=v(k-1)，求解这个线性方程组得到u(k)，解线性方程组的方法可以参考第3章和第4章。一般在计算过程一开始，首先对A进行三角分解，这样每轮迭代求解Au(k)=v(k-1)时只需要2次回代就可以了。下面以LU分解法为例，重新给出反幂法的求解步骤：,对方阵A进行LU分解A=LU，然后任取n维非零向量v(0)作为初始向量，按以下迭代公式反复计算：,回代，求解单位下三角线性方程组Ly(k)=v(k-1)，得到向量y(k)。回代，求解上三角线性方程组Uu(k)=y(k)，得到向量u(k)。若u(k)各分量中绝对值最大的分量为j第个分量uj(k)，则令m(k)=uj(k)，令v(k)=u(k)/m(k)，k=1,2,3,。,当k足够大时，近似地认为1/m(k)n，向量v(k)是A的属于n的特征向量。,8,7.3 反幂法,二、反幂法的算法,9,1本章介绍了乘幂法和反幂法。乘幂法用来求按模最大特征值和对应的特征向量，反幂法用来求按模最小特征值和对应的特征向量。2乘幂法和反幂法特点是算法简单，易于在计算机上实现。,第7章 矩阵特征值与特征向量的计算 小结,
