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1、计算机数学基础(下)第5编 数值分析,第11章 函数插值与最小二乘拟合,本章主要内容：,拉格朗日插值多项式均差牛顿插值法分段插值、样条函数数据拟合的最小二乘法重点：均差、牛顿插值法难点：样条函数、最小二乘法,函数是数学研究的基本工具。但在生产实践中我们并不知道所研究的函数是个什么样的表达式，只能通过试验观测得到一系列点的函数值怎样通过这些点的函数值构造函数的表达式呢？这是本章所要解决的问题。构造函数的方法有两种，一种是和观测结果完全吻合，另一种是和观测结果近似地吻合。前者称为函数插值，后者称为曲线拟合。用插值法求出的函数叫做插值函数，它并不要求是原来的函数本身，原来的函数叫做被插值函数插值函数
2、与被插值函数只要在插值节点上的函数值相等。包含插值节点的区间叫插值区间,11.1 拉格朗日插值多项式,11.1.1 线性插值 已知函数f(x)在区间xk,xk+1两端点的函数值 最简单的方法就是用连接两端点 的直线近似表示函数直线斜率：直线方程：,由此看出，线性插值多项式P(x)是两个关于x的的线性函数的线性组合。称为线性插值基函数，其系数分别是函数值 插值基函数 在节点 处的函数值,例1 已知，用线性插值函数求 的近似值。解：函数为，两节点为，插值区间为10，20,11.1.2 二次插值 如果在区间xk-1,xk+1中已知三节点的函数值，即已知我们就可以用一条抛物线近似逼近函数方法是：取三个
3、基函数满足：它们都是二次函数 它们满足右表的条件得到：,二次插值多项式为：2001年7月试卷填空题8 过点 的拉格朗日插值多项式为解：,11.1.3 n次插值 如果在区间a,b中有n+1个节点的函数值 已知，可利用这n+1个节点构造插值函数取基函数得到：称为拉格朗日插值多项式。线性插值和二次插值就是 n=1,2时的结果。,2002年1月试卷计算题12设函数值表为 试求拉格朗日插值多项式(要求合并同类项，整理成一个多项式)。解：,11.1.4 拉格朗日插值多项式的截断误差 若在区间a,b上用拉格朗日插值多项式 来近似函数，其误差为称为插值多项式的余项。当 n=1 时线性插值的余项为：当 n=2
4、时抛物线插值的余项为：,11.2 牛顿插值,11.2.1 均差 如果已知函数 在区间a,b上的n+1个节点 的函数值 或表示为 称为 关于节点 的一阶均差记作，,一阶均差 与 的均差称为关于节点 的二阶均差，记作 n-1阶均差 与 的均差称为 关于节点 的n阶均差，记作,11.2.2 均差的基本性质性质1 n阶均差 可以表示成为函数值 的线性组合。当 n=1 时当 n=2 时,性质2 均差与插值节点的顺序无关(对称性)性质3 设 是x的n次多项式，那么k阶均差是x的n-k阶多项式。一阶均差 是x的n-1阶多项式，二阶均差 是x的n-2阶多项式。依此类推。,2001年7月试卷选择题5已知 的均差
5、那么均差,B,11.2.3 均差表 均差可以递推计算。均差的计算可以列表进行。均差计算表,例1 已知数据为 试计算解：计算列表如下：均差计算表,11.2.4 牛顿插值多项式 牛顿插值多项式用 表示。由两个节点 可得一次多项式：由三个节点 可得二次多项式由n+1个节点 可得n次多项式,例2 用例1中的数据，求通过这4个节点的牛顿插值多项式。解：前面已经求出,例3 给定f(x)的函数值，作牛顿插值多项式，并计算f(0.596)。解：根据函数值作均差表,因为五阶均差为0，所以牛顿插值多项式是4次的。用均差表中各列最上面的数据计算。用Excel计算的结果和课本略有出入。,2002年1月试卷选择题3 已
6、知 在5个互异节点处的函数值，其一阶、二阶均差均不为0，三阶均差是1，那么用这5对数值作的插值多项式P(x)是 A）五次多项式 B）四次多项式 C）三次多项式 D）二次多项式,C,牛顿插值多项式的误差 用n次多项式 来近似函数，其误差为若 在a,b上有n+1阶导数，则若 在a,b上只有n阶导数，则作业：P.77，P.84 带的练习题,11.3 分段插值,11.3.1 分段线性插值 缩小插值区间可以减少函数近似值的误差。假设把给定的区间a，b分割成已知函数 在这些节点的函数值，在每一个子区间 上作的线性插值函数,由这些小区间上的直线构成的折线，称为 在区间a，b上的分段线性插值函数。分段线性插值
7、函数 具有如下性质：（1）在a，b上连续，但在点不可导；（2）（3）在 上是线性函数。可以通过构造基函数 的方法生成，,基函数 在子区间 或 上是线性函数，且满足：的表达式：,例1 已知函数 在区间0，3上取等距节点 求分段插值函数，并计算 的近似值。解：作函数值表：,作基函数,2001年7月试卷选择题3 在区间a，b上作函数 的分段线性插值，设分点那么，分段线性插值的基函数,A,分段线性插值函数的误差估计其中 h 是区间的 最大值，M是 在a，b上的最大值,11.3.2 样条插值函数 假设在a，b上取n+1个节点 在这些节点的函数值为，通过这n+1个节点的曲线 在a，b上有连续m-1阶导数，
8、则在a，b上 的m次样条函数 满足：（1）在a，b上有m-1阶连续导数（2）（3）在每个子区间 上，是m次多项式,例如，三次样条函数 应 满足：（1）在a，b上有二阶连续导数（2）（3）在每个子区间 上，是三次多项式,11.4 数据拟合的最小二乘法,11.4.1 最小二乘法 假设在点 上测得函数值。由于测量的点数较多，而且数据本身存在误差，用插值法构造函数得到的是高次插值多项式，且没有必要，这时，我们就可以采用数据拟合的办法。拟合的好坏取决于拟合误差的大小，拟合的最好就要求拟合误差最小。用 拟合数据 的拟合误差可用 表示，使拟合误差最小的方法称为最小二乘法,11.4.2 直线拟合 选择直线来拟
9、合数据 称为直线拟合。假设直线为则拟合误差使拟合误差最小的 应满足,这个方程组称为直线拟合的法方程组，解此方程组就可以确定，从而得到拟合直线,例1 已知10对数据如下：用最小二乘法求拟合直线。解：用 Excel 列表计算，法方程组为：所求拟合直线为：,2001年7月试卷计算题12设数据如下：试用直线拟合这组数据，计算过程保留4位小数 解：法方程组为：所求直线为：,11.4.3 多项式拟合对给定的数据组，用一个m次的多项式拟合这组数据，则此多项式可假设为根据最小二乘原理令,法方程组为：共可以得到m+1道方程，每一个方程的左边有m+1项。请大家找一找，这m+1道方程的左右两边各有什么规律？怎样来帮助记忆。,例如，二次拟合多项式为：法方程组为：三次拟合多项式为：法方程组为：,例2 试用最小二乘法求多项式P2(x)，使与此数据拟合。解：用 Excel 列表计算，法方程组为：,11.4.4 指数拟合 如果给定的数据组 在直角坐标系中的分布近似指数曲线，则可以考虑用指数函数 去拟合这组数据。设 则 为线性函数即点 的分布近似于直线，可先用直线拟合数据组 得，则,与上述问题类似，给定的数据组 在直角坐标系中的分布近似对数曲线，则可以考虑用对数函数 去拟合这组数据。则数据组 的拟合曲线为，作业：P.91，P.98 带的练习题,
