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1、1,计算机数学,主要参考书：（1）上海科技文献出版社 离散数学 理论.分析.题解 左孝凌等编著（2）清华大学出版社 离散数学学练考全面冲刺 王海艳编著（3）清华大学出版社 离散数学习题与解析 胡新启等编著（4）高等教育出版社 离散数学结构第四版影印版 DISCRETE MATHEMATICAL STRUCTURES BERNARD KOLMAN等著,说明,计算机数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中的基础课程，它具有两个特点：,(1)以离散量为研究对象，以讨论离散量的结构和相互之间的关系为主要目标，这些对象一般是有限个或可数个元素，充分描述了计算机科学离散性的特点，与我们以前学过的连续数
2、学如高等数学、数学分析、函数论形成了鲜明对比。,(2)它是数学中的一个分支，因而它有数学的味道，比如用一些符号、引进一些 定义、运用定理推导等等。因而学习离散数学，对提高我们的抽象能力，归纳能力、逻辑推理能力将有很大帮助。,我们只介绍集合论与数理逻辑前两部分，共40学时。,课程简介,我们学习前四章：命题逻辑、谓词逻辑、集合论、函数。第一篇数理逻辑 逻辑学是研究思维形式和规律的科学。它包括辨证逻辑和形式逻辑。而数理逻辑是：用数学方法来研究形式逻辑的推理规则。这里所指的数学方法，就是指引进一套符号体系，所以又称为符号逻辑。下面介绍数理逻辑的最基本的内容：命题逻辑和谓词逻辑。,第一章 命题逻辑 1-
3、1 命题及其表示法 所谓命题是指能够判别真假的陈述句。一个命题，总是具有一个确定的“值”，称之为“真值”。一种是True,记为T，另一种是False,记为F。只有能够判别真假的陈述句才是命题。,例（1）：我是老师。这是一个命题，其真值为T。,第一篇数理逻辑,（4）：本句是假的。,若它是命题，若其值为T，则本句是真的；若说它是假，则本句是真的。这是悖论，不能算是命题。（不能确定真假）,（2）：你住哪儿？（疑问句）（3）：这真是太好了！（感叹句）,（5）：我正在说谎。,若它是命题，则应有确定的真值。若为T，则我确定说谎，我讲的是真话，与说谎矛盾。若为F，则我不在说谎，我说的是真话，则“我确实是在说
4、谎”,1-1 命题及其表示法,成立，与“不在说谎”矛盾。所以它不是命题，不能确定真假，是悖论。（6）：X=3 不是命题 不能判断真假。,命题有两种类型。一是原子命题（不能分解为更简单的陈述句）二是复合命题（由原子命题,联结词，标点符号复合构成的命题）如：我学英语，或者我学日语。由两个原子命题，联结词“或者”，标点符号“，”构成。又如：王英和王兰是姐妹。它是原子命题。关于联结词我们下一节将做详细介绍。,1-1 命题及其表示法,在数理逻辑中，用大写英文字母P，Q，R,表示命题，或带下标的大写字母如Pi,P j,或数字如12等表示命题，这些表示命题的符号称为命题标识符。,如果一个命题标识符表示确定的
5、命题，称之为命题常量；如果一个命题标识符表示任意的命题，称之为命题变元；,命题变元不能确定真值，不是命题，就如函数中自变量不代表特定值一样，只是变量。但当命题变元用一个特定命题取代时，就能确定真值，如P用一特定命题取代，称对P进行指派。另外，当命题变元表示原子命题时，称为原子变元。,1-1 命题及其表示法,将介绍五个联结词（基本的）（1）否定 若P是一命题，则P的否定是一个新的命题，记作 P，读作“非P”，其取值情况如下：P PT FF T如 P：上海是一个大城市。P：上海不是一个大城市。或：上海是个不大的城市。P取值为T，而 P取值为F。,1-2 联结词,又如 Q：南京是一个小城市。Q：南京
6、不是个小城市。Q值为F，Q取值为T“”是一元运算，相当于数学中的“求相反数”运算。,（2）合取（与）P，Q是命题，P，Q的合取是一个复合命题，记做P Q，读作“P与Q”，或“P且Q”。P Q当且仅当P与Q的值都真时，其值为T，否则为F。,1-2 联结词,P Q P QT T TT F FF T FF F F,注意：这里的“与”运算与日常生活中的“与”意义不尽相同。,注：列表时P，Q均是先取T后取F如P：今天下雨；Q：明天下雨P Q：今天下雨且明天下雨。,又如，P：我们去看电影；Q：房间里有张桌子。P Q：我们去看电影和房间里有张桌子。上述命题P Q在日常生活中无意义，无联系，但在数理逻辑中，P
7、 Q是一新的命题。“”是二元运算。,1-2 联结词,1-2 联结词,1-2 联结词,排斥或、不可兼或，不能用PQ表示，具体表示法以后再学。同学可以自己先思考。又如3：他昨天做了二十或三十道习题。或：大概，不是复合命题。(4)条件P、Q是命题，P 和Q的条件是一个复合命题，记作PQ,读作“若P 则Q”或“如果P，那么Q”，P前件，Q-后件。PQ仅当P为T，Q为F时，其值为F，其余情况皆为T。如：P:我借到这本小说。Q:我今夜读完这本小说。PQ:如果我借到这本小说，那么今夜我就读完它。,1-2 联结词,1-2 联结词,1-2 联结词,(5)双条件 P、Q是命题，其双条件命题是一复合命题，记作P Q
8、,读作“P当且仅当Q”,仅当P、Q真假值相同时，P Q为T,否则为F。P Q P Q(P、Q同为F时，P Q值为T）T T T 如：P:两个三角形全等。T F F Q:两个三角形对应边相等。F T F R:两个三角形对应角相等。F F T P Q:两个三角形全等当且仅当它们对 应边相等。P R:两个三角形全等当且仅当它们对应角相等。,1-2 联结词,前面我们介绍了命题的概念，它是可以判别真假的陈述句。学习了其表示方法，介绍了五种基本联结词：否定、合取、析取、条件、双条件。我们将日常生活中的命题用原子命题以及这些联结词表达，将之符号化为公式。但是许多日常生活中的命题是不能用这五个联结词单独写出，
9、而且不是所有一些命题变元、联结词组成的符号串都有意义的公式。而数理逻辑首先就要引进一些符号体系，将实际生活中的命题符号化，给出其命题公式，也就是翻译。下面我们来介绍 1-3命题公式与翻译首先给出命题公式的定义,定义：命题公式（合式公式），按规律构成：,1-3命题公式与翻译,1-3命题公式与翻译,(1)单个命题变元是合式公式(2)若P是一公式，则 P也是公式；(3)若P,Q是公式，则(P Q),(P Q),(P Q),(P Q)也是公式：(4)只有有限次地应用（1）、（2）、（3）所得的结果才是公式。,1-3命题公式与翻译,（2）命题公式实际上是一函数，值域为T,F),每一个命题变元取值也是T,
10、F,因而它没有真 假值，只有当公式中命题变元用确定的命题代入后，才到一个命题，才能判断其真假。,例1：他既聪明又用功。,1-3命题公式与翻译,首先找出原子命题，有两个：他聪明，用P表示；他用功，用Q表示。P：他聪明。Q：他用功。联结词“既又”和联结词“与”意思一致。所以原命题所对应的命题公式为：P Q因而翻译一个命题，关键有两个：,1-3命题公式与翻译,例2：他虽聪明但不用功。这里原子命题也是P.Q.联结词“虽但”也是“与”，所以公式应为：PQ。,找出所有原子命题，并符号表示出来。找出原子命题之间关系对应的联结词。,例3：如果明天上午七点不下雨，则我去学校。P：明天上午七点下雨；Q：我去学校。
11、“如果则”与“若，则”一致，所以公式为：PQ。例4：除非你努力，否则你将失败。P：你努力；Q：你将失败。“除非否则”相当于“如果不那么”，所以译为：PQQP,1-3命题公式与翻译,例5：说数理逻辑枯燥无味或毫无价值，那是不对的。P：说数理逻辑是枯燥无味的；Q：说数理逻辑是毫无价值的。这里“或”是“可兼或”，与“”意义一致，所以译为：（PQ）。例6：上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开。P：上海到北京的14次列车是下午五点半开；Q：上海到北京的14次列车是下午六点开；这里的“或”是“不可兼或”，因而用“PQ”是错误的。,1-3命题公式与翻译,1-3命题公式与翻译,例7：张三或李四都可以做这
12、件事。P：张三可以做这件事；Q：李四可以做这件事意为张三可以做，李四也能做这件事，所以P Q,1-3命题公式与翻译,以上三个例子“或”意义各不相同，在翻译公式时，务必准确理解其等价含义。例8：我们要做到身体好、学习好、工作好、为祖国四化建设而奋斗。P：我们要做到身体好；Q：我们要做到学习好；R：我们要做到工作好；S：我们要为祖国四化建设而奋斗。PQ RS对于命题翻译就举这么多例子，在做题时要针对具体情况而定。,在介绍真值表前，先介绍分量定义：公式PQ S，其中P、Q、S称为公式的分量。定义：命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公
13、式的真值表。1、公式P Q，PQ P P Q分量为：P、Q T T F T T F F F此表就称为公式PQ的真值表 F T T T F F T T,1-4真值表与等价公式,1-4真值表与等价公式,1-4真值表与等价公式,P Q P Q(P Q)P Q P Q(P Q)(P Q)T T T F F F F TT F F T F T T TF T F T T F T TF F F T T T T T,（1）从上面看出，有一些公式，不论分量如何指派，真值永为真，称为永真公式，记为T；有些则真值永为假，记为F。（2）可以看出，在真值表中，命题公式真值的取值数目决定于分量的个数。一个分量，取值可能为2
14、；两个分量，取值可能为4；n个分量，取值可能为。,1-4真值表与等价公式,5.再看 P Q，P Q这两个公式的真值表，（为便于比较，写在一起）P Q P P Q P Q T T F T T T F F F F F T T T T F F T T T,（3）对于任何指派，这两个公式的真值完全相同，我们把这样的两个公式称为是等价的。,1-4真值表与等价公式,定义：两个公式A和B，设，为所有出现于A和B中的原子变元，若给，任一组真值指派，A 和B的真值相同，则称A和B是等价的，或逻辑相等。记做A B,所以，由上式可得 P Q P Q 再由真值表可得（P Q）（P Q）P Q,另外，利用真值表可验证下
15、列命题定律：(非常重要)1，对合律：P P2，幂等律：P P P，P P P3，结合律：（P Q）R P（Q R）（P Q）R P（Q R）,1-4真值表与等价公式,4，交换律：P Q Q P，P Q Q P5，分配律：P（Q R）（P Q）（P R）P（Q R）（P Q）（P R）6，吸收律：P（P Q）P，P（P Q）P7，德.摩根律：（P Q）P Q，（P Q）P Q8，同一律：P F P，P T P9，零律：P T T，P F F10，否定律：P P T，P P F,1-4真值表与等价公式,“”对于“”的分配律，相当与数学中：x(y+z)=x y+x z,有了这些等价的公式，我们就考虑
16、能否将它们相互替代，以简化一些运算。首先引入子公式。定义：若X是公式A的一部分，且X是公式，则称X是A的子公式。等价代换定理：设X是公式A的子公式，且X Y，如果将A中的X用Y代替，得到公式B，则A B。,证明：X Y，在相应变元的任意指派下，X 和Y的真值相同 A和B 在相应变元指派下，也取相同的值，故A B,利用等价代换定理可以证明一些公式的等价性,1-4真值表与等价公式,1-4真值表与等价公式,例3 求证：证：左,1-4真值表与等价公式,1-4真值表与等价公式,P19.(9)1.A C B C A B？否.若有某种指派，使C的真值为T，但A为T，B为F。则A C与B C真值为T，但A B不成立。,复习,如 A：P Q.C：Q B：P,2.A C B?A B 否 A：P Q C：Q B：P 3.A B?A B 是 A B 则对任一组真值指派。A与 B真值相 同，则A与B的真值也必相同。由定义A B。请同学们自己做 P17(1)作业：P12(5)(7)P18(7)(8）,复习,
