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1、1,广义 Fourier 级数 Hilbert 空间 轴对称球函数与Legendre多项式 Legendre多项式的性质 Legendre多项式的生成函数,2,连带Legendre函数,连带Legendre方程为：,作变换：,代入方程并整理可得：,可以证明，上述方程可以由 Legendre 方程逐项求导 m 次得到。,3,从而该方程的解是 Legendre 方程的解的 m 阶导数。,这样，连带Legendre方程的解为：,上述解被称为连带Legendre函数。,连带Legendre方程和自然边界条件也构成本征值问题，本征值是 l(l+1),l 取非负整数。本征函数就是连带Legendre函数。
2、,4,下面是几个连带 Legendre 函数的例子：,（P476，附录五）,5,连带Legendre 函数的微分与积分表示,6,连带Legendre 函数的模与正交关系,根据关于Sturm-Livouville本征值问题的讨论，不同 l 的 Legendre 函数正交：,（递推公式可参见P307页内容）,7,连带Legendre函数作为完备函数基,连带 Legendre 函数构成一组完备的函数基，因而可以把定义在区间-1，1上的任意函数展开成为广义Fourier级数。,8,一般的球函数,球函数方程：,球函数（l 称作球函数的阶）：,复数形式的球函数：,独立的 l 阶球函数有2l+1个。,9,球函数的正交关系与模,可以证明：,对于复数形式：,10,球函数作为完备函数基,利用球函数可以构造一组正交归一的完备函数基，定义在球面上的任意函数均可以用该基展开：,11,第十一章 柱函数,12,13,（m 取整数）,14,15,递推公式,16,Bessel 函数的正交关系与模 用Bessel函数展开,17,Bessel 函数的母函数与积分表示,母函数：,积分表示：,18,
