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1、运筹学,第13章 存贮论第3节 随机性存储模型,第13章 存贮论,第3节 随机性存储模型第4节 其他类型存贮问题,第3节 随机性存储模型,随机性存储模型的重要特点是需求为随机的，其概率或分布为已知。在这种情况下，前面所介绍过的模型已经不能适用了。例如商店对某种商品进货500件，这500件商品可能在一个月内售完，也有可能在两个月之后还有剩余。商店如果想既不因缺货而失去销售机会，又不因滞销而过多积压资金，这时必须采用新的存储策略,可供选择的策略主要有三种,(1)定期订货，但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物的数量决定订货量。剩下的数量少，可以多订货。剩下的数量多，可以少订或不订货。这种策略可称为
2、定期订货法。(2)定点订货，存储降到某一确定的数量时即订货，不再考虑间隔的时间。这一数量值称为订货点，每次订货的数量不变，这种策略可称之为定点订货法。(3)把定期订货与定点订货综合起来的方法，隔一定时间检查一次存储，如果存储数量高于一个数值s，则不订货。小于s时则订货补充存储，订货量要使存储量达到S，这种策略可以简称为(s,S)存储策略。,与确定性模型不同的特点还有：,不允许缺货的条件只能从概率的意义方面理解，如不缺货的概率为0.9等。存储策略的优劣通常以赢利的期望值的大小作为衡量的标准。为了讲清楚随机性存储问题的解法，先通过一个例题介绍求解的思路。,例7,某商店拟在新年期间出售一批日历画片，
3、每售出一千张可赢利700元。如果在新年期间不能售出，必须削价处理，作为画片出售。由于削价，一定可以售完，此时每千张赔损400元。根据以往的经验，市场需求的概率见表13-1。,表13-1,每年只能订货一次，问应订购日历画片几千张才能使获利的期望值最大?,解 如果该店订货4千张，我们计算获利的可能数值,订购量为4千张时获利的期望值：,EC(4)=(-1600)0.05+(-500)0.10+6000.25+17000.35+28000.15+28000.10=1315(元),上述计算法及结果列于表13-2获利期望值最大者标有(*)记号，为1440元。可知该店订购3000张日历画片可使获利期望值最大
4、。,从相反的角度考虑求解,当订货量为Q时，可能发生滞销赔损(供过于求的情况)，也可能发生因缺货而失去销售机会的损失(求过于供的情况)。把这两种损失合起来考虑，取损失期望值最小者所对应的Q值。,订购量为2千张时，损失的可能值：,当订货量为2千张时，缺货和滞销两种损失之和的期望值,EC(2)=(-800)0.05+(-400)0.10+00.25+(-700)0.35+(-1400)0.15+(-2100)0.10=745(元)按此算法列出表13-3。,表13-3,比较表中期望值以-485最大，即485为损失最小值。该店订购3000张日历画片可使损失的期望值最小。这结论与前边得出的结论一样，都是订
5、购3000张。这说明对同一问题可从两个不同的角度去考虑：一是考虑获利最多，一是考虑损失最小。这是一个问题的不同表示形式。,3.1 模型五：需求是随机离散的,报童问题：报童每日售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚k元。如报纸未能售出，每份赔h元。每日售出报纸份数r的概率P(r)根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸?这个问题是报童每日报纸的订货量Q为何值时，赚钱的期望值最大?反言之，如何适当地选择Q值，使因不能售出报纸的损失及因缺货失去销售机会的损失，两者期望值之和最小。现在用计算损失期望值最小的办法求解。,解 设售出报纸数量为r，其概率P(r)为已知,设 报童订购报纸数量
6、为Q。供过于求时(rQ)，这时报纸因不能售出而承担的损失，其期望值为：供不应求时(rQ)，这时因缺货而少赚钱的损失，其期望值为：,综合，两种情况，当订货量为Q时，损失的期望值为：,要从式中决定Q的值，使C(Q)最小。,由于报童订购报纸的份数只能取整数，r是离散变量，所以不能用求导数的方法求极值。为此设报童每日订购报纸份数最佳量为Q，其损失期望值应有：C(Q)C(Q+1)C(Q)C(Q-1),从出发进行推导有,由出发进行推导有,报童应准备的报纸最佳数量Q应按下列不等式确定：,从赢利最大来考虑报童应准备的报纸数量。设报童订购报纸数量为Q，获利的期望值为C(Q)，其余符号和前面推导时表示的意义相同。
7、,此时赢利的期望值为：,当需求rQ时，报童因为只有Q份报纸可供销售，赢利的期望值为无滞销损失。,由以上分析知赢利的期望值：,为使订购Q赢利的期望值最大，应满足下列关系式：C(Q+1)C(Q)C(Q-1)C(Q),从式推导，,经化简后得,同理从推导出,用以下不等式确定Q的值，这一公式与(13-25)式完全相同。,现利用公式(13-25)解例7的问题。,已知：k=7,h=4,P(0)=0.05，P(1)=0.10，P(2)=0.25，P(3)=0.35,知该店应订购日历画片3千张。,例8,某店拟出售甲商品，每单位甲商品成本50元，售价70元。如不能售出必须减价为40元，减价后一定可以售出。已知售货
8、量r的概率服从泊松分布(=6为平均售出数)问该店订购量应为若干单位?,解 该店的缺货损失，每单位商品为70-50=20。滞销损失，每单位商品50-40=10，利用(15-13)式，其中k=20，h=10,因,故订货量应为：7单位，此时损失的期望值最小。,例9 上题中如缺货损失为10元，滞销损失为20元。在这种情况下该店订货量应为若干?,解 利用(15-13)式，其中k=10,h=20,查统计表，找与0.3333相近的数,F(4)0.3333F(5)，故订货量应为甲商品5个单位。,答 该店订货量为5个单位甲商品。模型五只解决一次订货问题，对报童问题实际上每日订货策略问题也应认为解决了。但模型中有
9、一个严格的约定，即两次订货之间没有联系，都看作独立的一次订货。这种存储策略也可称之为定期定量订货。,3.2 模型六：需求是连续的随机变量,设 货物单位成本为K，货物单位售价为P，单位存储费为C1，需求r是连续的随机变量，密度函数为(r)，(r)dr表示随机变量在r与r+dr之间的概率，其分布函数生产或订购的数量为Q，问如何确定Q的数值，使赢利的期望值最大?,解 首先我们来考虑当订购数量为Q时，实际销售量应该是minr,Q。也就是当需求为r而r小于Q时，实际销售量为r；rQ时，实际销售量只能是Q,赢利的期望值：,记,为使赢利期望值极大化，有下列等式：,(13-26)式表明了赢利最大与损失极小所得
10、出的Q值相同。(13-27)式表明最大赢利期望值与损失极小期望值之和是常数。从表13-2与表13-3中对应着相同的Q，去掉13-3表中数据的负号后，两者期望值之和皆为19.25，称为该问题的平均盈利。,求赢利极大可以转化为求EC(Q)(损失期望值)极小。,当Q可以连续取值时，EC(Q)是Q的连续函数。可利用微分法求最小。,从此式中解出Q，记为Q*，Q*为EC(Q)的驻点。又因知Q*为EC(Q)的极小值点，在本模型中也是最小值点。,令,若P-K0,显然由于F(Q)0，等式不成立，此时Q*取零值。即售价低于成本时，不需要订货(或生产)。式中只考虑了失去销售机会的损失，如果缺货时要付出的费用C2P时
11、，应有,按上述办法推导得,模型五及模型六都是只解决一个阶段的问题。从一般情况来考虑，上一个阶段未售出的货物可以在第二阶段继续出售。这时应该如何制定存储策略呢?,假设 上一阶段未能售出的货物数量为 I，作为本阶段初的存储，有,定期订货，订货量不定的存储策略,3.3 模型七：(s,S)型存储策略,1.需求为连续的随机变量设 货物的单位成本为K,单位存储费用为C1，每次订购费为C2，需求r是连续的随机变量，密度函数为，分布函数，期初存储量为I，定货量为Q，此时期初存储达到S=I+Q。问如何确定Q的值，使损失的期望值最小(赢利的期望值最大)?,本阶段需订货费,本阶段所需订货费及存储费、缺货费期望值之和
12、,Q可以连续取值，C(S)是S的连续函数。,本阶段的存储策略：,当sS时,不等式右端存储费用期望值大于左端存储费用期望值，右端缺货费用期望值小于左端缺货费用期望值；一增一减后仍然使不等式成立的可能性是存在的。如有不止一个s的值使下列不等式成立，则选其中最小者作为本模型(s,S)存储策略的s。,相应的存储策略是：,每阶段初期检查存储，当库存Is时，需订货，订货的数量为Q，Q=S-I。当库存Is时，本阶段不订货。这种存储策略是：定期订货但订货量不确定。订货数量的多少视期末库存I来决定订货量Q，Q=S-I。对于不易清点数量的存储，人们常把存储分两堆存放，一堆的数量为s，其余的另放一堆。平时从另放的一
13、堆中取用，当动用了数量为s的一堆时，期末即订货。如果未动用s的一堆时，期末即可不订货，俗称两堆法。,2需求是离散的随机变量时,本阶段所需的各种费用：,本阶段所需的各种费用：,本阶段所需的各种费用：,求解,(3)求S的值使C(S)最小。因为,选出使C(Si)最小的S值，,由可推导出,因 即,由同理可推导出,综合以上两式，得到为确定Si的不等式,其中,综合上面两式，,例10,解：,下面对答案进行验证,分别计算S为30，40，50所需订货费及存储费期望值、缺货费期望值三者之和。比较它们看是否当S为40时最小(见表13-4)。,计算s的方法：考查不等式(13-31),分别将30，40代人(13-31)
14、,将30作为s值代入(13-31)式左端得80030+1015(40-30)0.2+(50-30)0.4+(60-30)0.2=40240将40代入(13-31)式左端得60+80040+40(40-30)0.2+1015(50-40)0.4+(60-40)0.2=40260,解答,即左端数值为40240，右端数值为40260，不等式成立，30已是r的最小值故s=30。例10 的存储策略为每个阶段开始时检查存储量I，当I30箱时不必补充存储。当I30箱时补充存储量达到40箱。,例11 某厂对原料需求量的概率为,P(r=80)=0.1，P(r=90)=0.2，P(r=100)=0.3P(r=11
15、0)=0.3，P(r=120)=0.1订货费C3=2825元，K=850元存储费C1=45元(在本阶段的费用)缺货费C2=1250元(在本阶段的费用)求该厂存储策略。,：,求解,求解,答,该厂存储策略每当存储I80时补充存储，使存储量达到100，每当存储I80时不补充。,例12 某市石油公司，下设几个售油站。,石油存放在郊区大型油库里，需要时用汽车将油送至各售油站。该公司希望确定一种补充存储的策略，以确定应储存的油量。该公司经营石油品种较多，其中销售量较多的一种是柴油。因之希望先确定柴油的存储策略。,经调查后知每月柴油出售量服从指数分布，平均销售量每月为一百万升。其密度为：,柴油每升2元，不需
16、订购费。由于油库归该公司管辖，油池灌满与未灌满时的管理费用实际上没有多少差别，故可以认为存储费用为零。如缺货就从邻市调用，缺货费3元/升。求柴油的存储策略。,解 根据例12中条件知C1=0，C3=0，K=2，C2=3，计算临界值。,利用(13-31)式,由观察，它有唯一解s=S，,3.4 模型八：需求和备货时间都是随机离散的,(仅通过具体例题介绍求解法)若t时间内的需求量r是随机的，其概率t(r)已知，单位时间内的平均需求为也是已知的，则t时间内的平均需求为t。备货时间x是随机的，其概率P(x)已知。设 单位货物年存储费用为C1，每阶段单位货物缺货费用为C2，每次订购费用为C3，年平均需求为D
17、。由于需求、备货时间都是随机的，应有缓冲(安全)存储量B，以减少发生缺货现象。L：订货点，B：缓冲存储量，x1,x2,备货时间(见图13-11)。,图13-11,问如何确定缓冲存储量B，订货点L，以及订货量Q0，使总费用最小?,对这种类型问题的解法,PL的计算很繁，简化计算,例13(模型八)某厂生产中需用钢材，t 时间内需求的概率服从泊松分布：,例13,例 13,年存储费用每吨为50元，每次订购费用为1500元，缺货费用每吨为5000元，问每年应分多少批次?又订购量Q，缓冲存储量B，订货点L，各为何值才使费用最少?解：,下面计算L及B，各步算出的数值列于表13-5。,续 表13-5,续 表13
18、-5,根据表13-5算出PL、B和费用的数值见表13-6。,说明:,备货时间小于13，或大于18者，因为它们的概率很小，故略去。L的选值可以多一些，如保证可以选到最小值，L选值也可少一些。由表中可以看到当L=25，B=10费用588*为最小。据此即可确定存储策略。,答 该厂定购批量为146吨，定购点为25吨，每年订货2.次(两年订货5次)，缓冲存储量为10吨。,当清点存储花费劳动多，或清点困难时，人们常把存储物分成三堆存放。以例13来说，将缓冲存储量B=10吨放一处，称之为第三堆。将平均拖后时间内的平均需求量DL=15吨放另一处称第二堆。第三堆、第二堆之和等于订货点25吨。其余存储另放一处称第
19、一堆。平日从第一堆取用，第一堆用完，动用第二堆时，立即订货。动用第三堆时，即需采取措施以防缺货。,第4节*其他类型存储问题,有些存储问题远较本章所述模型复杂，上述公式不能用来求解，也可以利用运筹学的其他方法求解。如水库储水的调度问题，有人利用排队论方法处理问题，有人利用动态规划方法，都做出了成绩。下面介绍一个例题，与本章前述的方法无关，可用线性规划方法求解。,4.1 库容有限制的存储问题,例14 已知仓库最大容量为A，原有存储量为I，要计划在m个周期内，确定每一个周期的合理进货量与销售量，使总收入最多。已知第i个周期出售一个单位货物的收入为ai，而订购一个单位货物的订货费为bi，(i=1,2,，m)。：,例14：解 设xi,yi分别为第i个周期的进货量及售货量，这时总收入为,要求出xi,yi使C达到最大值(i=1,2,，m)。容易理解xi,yi，这些变量不能任意取值。(1)它们受到库容的限制，即进货量加上原有存储量不能超过A；(2)每个周期的售出量不能超过该周期的存储量；(3)进货量及售出量不能取负值。,用方程组表示上述的限制(约束条件)：,第13章 结束,
