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1、逆矩阵,定义:若一个nn 的正方矩阵有n个线性无关的列向量和n个线性无关的行向量,则这个矩阵称为非奇异矩阵。对于非奇异矩阵来说才存在逆矩阵,奇异矩阵一定不存在逆矩阵。,逆矩阵,设 A 是 nn 的正方矩阵,如果有 nn正方矩阵B,使AB=BA=I 则称 A 是可逆矩阵,且称 B 为 A 的逆矩阵.如果矩阵 A 是可逆 的,则 A 的逆矩阵是唯一的,记其为 A-1.,逆矩阵,方阵的奇异性和可逆性的等价说法:(1)A是非奇异矩阵;(2)A-1 存在;(3)rank(A)=n;(4)A的行线性无关,列线性无关;(5)det(A)0;(6)Ax=b对每一个b有唯一解;(7)Ax=0只有平凡解x=0;(
2、行秩列秩,解的情况),逆矩阵,逆矩阵的性质:(1)复共轭转置矩阵AH 的逆矩阵等于逆矩阵A-1 的复共轭转置,即(AH)-1=(A-1)H(2)若AH=A,则(A-1)H=A-1(3)(A*)-1=(A-1),广义逆矩阵,引入:正方矩阵的逆矩阵推广到长方形矩阵或奇异的正方矩阵,就得到了广义逆矩阵。广义角度,对于任一矩阵L,若它与矩阵A乘积等于单位矩阵I,即LA=I,那么L就是A 的逆矩阵。,广义逆矩阵,满足以上条件的矩阵L有以下三种情况:(1)在某些情况下,L存在,并且唯一;(2)在另一些情况下,L存在,但并不唯一;(3)在某些情况下,L不存在。,广义逆矩阵,左、右逆矩阵定义:满足LA=I,但不满足AL=I的矩阵L称为矩阵A 的左逆矩阵;满足AR=I,但不满足RA=I的矩阵称为矩阵A 的右逆矩阵。,1.5,Ay=x Bz=yCz=x 2-1 1 4C=AB=1 2 3-1=13 3-2 3 5 2-9 8Z1 4Z2=X113Z1+3Z2=X2-9Z1+8Z2=X3,