逻辑代数理论及电路实现(A).ppt

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1、第1页,2023年11月17日11时14分,第2章 逻辑代数理论及电路实现,2.1 逻辑代数中的运算,一、三种基本逻辑关系,二、逻辑变量、逻辑函数及其表示方法,三、三种基本逻辑运算,四、复合逻辑运算,第2页,2023年11月17日11时14分,2.2 逻辑运算的电路实现,一、场效应管的开关特性,二、CMOS反相器 1.CMOS反相器的电路及工作原理 2.CMOS反相器的电压传输、电流转移特性 3.CMOS反向器的输出特性、传输延迟时间,三、其它类型的CMOS门电路 1.CMOS与非门、或非门电路 2.CMOS传输门电路 3.漏极开路的CMOS门（OD 门）4.CMOS三态输出门电路,第3页,2

2、023年11月17日11时14分,2.3 逻辑代数的公式,一、基本公式,二、异或、同或逻辑的公式,三、常用公式,2.4 逻辑代数的基本规则,一、代入规则,二、反演规则,三、对偶规则,作业1,第4页,2023年11月17日11时14分,2.5 逻辑函数的表达式,一、常见表达式,二、标准表达式,1.最小项、最小项表达式,2.最小项的性质,3.两个重要关系式,4.由一般表达式写出最小项表达式的方法,5.由真值表写出最小项表达式的方法,第5页,2023年11月17日11时14分,2.6 逻辑函数的化简,一、化简的意义和最简的标准,二、公式法,1.与或式的化简,1.化简的意义(目的),2.化简的目标,3

3、.最简的标准,作业2,第6页,2023年11月17日11时14分,三、卡诺图化简法,1.逻辑函数的卡诺图表示,2.卡诺图的运算,3.卡诺图化简法,四、非完全描述逻辑函数的化简,1.约束项、任意项、无关项 及非完全描述逻辑函数,2.非完全描述逻辑函数的化简,3.无关项的运算规则,作业3,第7页,2023年11月17日11时14分,知识点一：逻辑代数的基本概念、基本运算、基本公式和规则知识点二：逻辑函数的描述方式知识点三：逻辑函数简化公式法和卡诺图法知识点四：MOSFET的开关特性知识点五：常见CMOS门电路(6种),本章知识点及要求（8+2 学时）,第8页,2023年11月17日11时14分,教

4、学基本要求：1.掌握逻辑代数的基本概念、基本公式、基本规则;2.掌握逻辑函数的描述方式(真值表、表达式、电路 图、卡诺图)及其相互转换方法;3.了解逻辑函数最简与或式的公式化简法;4.掌握逻辑 函数(4变量及以下)最简与或式的卡诺 图化简法。5.掌握MOS场效应管的开关特性和有关参数；6.掌握CMOS反相器的功能和主要外部电气特性；7.了解CMOS与非门、CMOS或非门、CMOS三态 门、以及OD门的工作原理。,第9页,2023年11月17日11时14分,2.1 逻辑代数中的运算,一、三种基本逻辑关系,1.与逻辑(AND),2.或逻辑(OR),3.非逻辑(NOT),A(B)=1：开关合上 Y=

5、1：灯亮；A(B)=0：开关断开 Y=0：灯灭；,此处规定：,第10页,2023年11月17日11时14分,二、逻辑变量、逻辑函数及其表示方法,1.逻辑变量:可用来描述只有两种对立状态的对象,只有两种取值“0”和“1”。也可用字母来表示各种器件，如“S”表示开关，“L”表示灯。,3.逻辑函数的描述方法,(2)真值表方法,(1)逻辑表达式,2.逻辑函数概念,真值表（举例）,逻辑变量x1,x2,xn确定后,逻辑函数F的取值也唯一地确定。,(3)图形表示卡诺图、逻辑图、波形图,第11页,2023年11月17日11时14分,例1:如下图所示，用两个“单刀双掷”开关控制楼道灯，试列出该电路的真值表。,示

6、意图,第12页,2023年11月17日11时14分,三、三种基本逻辑运算,1.与运算(AND),(1)运算符,“.”(“”、“”、“”、“AND”),(2)运算规则,0 0=0,1 0=0,0 1=0,1 1=1,(3)逻辑表达式,Y=A AND B=AB=AB=AB,条件同时具备时，结果发生。,第13页,2023年11月17日11时14分,2.或运算(OR),(1)运算符,“+”(“”、“”、“OR”),(2)运算规则,0+0=0,1+0=1,0+1=1,1+1=1,条件之一具备时，结果发生。,(3)逻辑表达式,Y=A OR B=A+B,三、三种基本逻辑运算,第14页,2023年11月17日

7、11时14分,3.非运算(NOT),(1)运算符,“”，“NOT”,(2)运算规则,三、三种基本逻辑运算,条件不具备时，结果发生。,(3)逻辑表达式,第15页,2023年11月17日11时14分,4.实现电路,二极管与门电路,(1)与门,状态表,真值表,注意：“0”和“1”只表示两个对立的逻辑状态,如电位的高低(“0”表示低电位,“1”表示高电位)、开关的开合等,中间值没有意义。,第16页,2023年11月17日11时14分,二极管或门电路,(2)或门,状态表,真值表,4.实现电路,第17页,2023年11月17日11时14分,三极管非门电路,(3)非门,状态表,4.实现电路,真值表,第18页

8、,2023年11月17日11时14分,四、复合逻辑运算,1.与非,由两个或两个以上基本运算构成的逻辑运算。,3.与或非,2.或非,第19页,2023年11月17日11时14分,4.异或(XOR),5.同或(XNOR),Y=AB=,注意：同或与异或互为反函数,含义,第20页,2023年11月17日11时14分,【注意】在反相器、与非门和或非门这三种基本电路结构的基础上,可以组成一些复杂的逻辑电路。例如,在与非门输出端再接入一级反相器可得到与门,在或非门输出端再接入一级反相器就可得到或门。再如,在反相器的输出端再接入一级反相器,构成同相缓冲器。同相缓冲器不作任何逻辑运算用于集成电路芯片内部电路与引

9、出端之间的隔离。,带缓冲级的CMOS或非门,带缓冲级的CMOS与非门,第21页,2023年11月17日11时14分,2.2 运算逻辑的电路实现,逻辑门电路：,实现逻辑运算的单元电路。,74/54AC/ACT,2.按制造工艺,双极型,TTL ECL I2L,MOS型,PMOS NMOS CMOS,4000,54/74AS,54/74,54/74H,54/74S,54/74LS,54/74ALS,54/74HC/HCT,54/74FAST,Bi-CMOS型,1.按集成度,SSI MSI LSI VLSI,第22页,2023年11月17日11时14分,从制造工艺来看，门电路分为双极型晶体管逻辑和单极

10、型晶体管逻辑。双极型晶体管是多数载流子和少数载流子同时参加导电的半导体器件。场效应晶体管在工作时只有一种载流子（多数载流子）起着运载电流的作用，所以场效应晶体管又称为单极型晶体管。场效应管与双极型晶体管相比有很多优点：它的输入偏流仅为 10101012A，且与工作电流大小无关，所以它的输入电阻高达 1010 以上；制造工艺简单，集成密度高，特别适用于大规模集成；热稳定性好，抗辐射能力强等。因此，场效应管已经成为集成电路的主流器件。按照其结构，场效应管又可以分为结型场效应管（JFET）和绝缘栅场效应管（JGFET）两种。绝缘栅场效应管比起结型场效应管的反偏 PN结来说，其输入阻抗更大（一般大于

11、1012），而且功耗更低，集成度高，在大规模集成电路中得到了更为广泛的应用。,第23页,2023年11月17日11时14分,MOS 管可分为 N 沟道和 P 沟道两类NMOS管和 PMOS 管。每一类又分为增强型和耗尽型两种。因此,MOS 管有四种类型：增强型NMOS管、耗尽型NMOS管、增强型PMOS管和耗尽型PMOS管。数字电路中普遍采用增强型MOS 管。,增强型NMOS 管,增强型PMOS 管,第24页,2023年11月17日11时14分,当 UGSUGS(th)时,NMOS 管截止,D-S 间开路,等效为开关断开,漏极输出高电平,即uo=+VDD;当 UGSUGS(th)时,NMOS

12、管导通,若忽略导通电阻,则 D-S 间短路,等效为开关闭合,即uo=0。,当|UGS|UGS(th)|时,PMOS 管导通,D-S 间等效为开关闭合,即uo=0。,一、场效应管的开关特性,第25页,2023年11月17日11时14分,MOS管的开关特性(以N沟道增强型MOS管为例),MOS管开关电路,(a)MOS管截止(b)MOS管导通 MOS管开关电路等效电路,第26页,2023年11月17日11时14分,【注意】理想的开关特性中，MOS 管在导通与截止两种状态之间瞬间完成转换，即转换时间为零。但事实上，两者之间发生转换时是需要时间的，这一动态特性主要取决于与电路有关的杂散电容的充电、放电时

13、间。,当输入电压由高变低,MOS 管由导通变为截止状态时,电源 VDD通过漏极电阻 RD向杂散电容 CL充电；当输入电压由低变高,MOS管由截止变为导通状态时,CL通过漏极和源极间的导通电阻rds进行放电，而输出电压 Uo也要经过一段时延才能由高电平变为低电平。,【注意】由于rdsRD，所以截止到导通的转换时间要比从导通到截止的转换时间短。,第27页,2023年11月17日11时14分,二、CMOS反相器,CMOS门电路的特点:,注意：CMOS反相器(串联互补)、CMOS传输门(并联互补)均是CMOS集成电路的基本组件。,制作工艺简单，集成度高；,工作电源允许的变化范围大，功耗低；,输入阻抗高

14、，扇出系数大；,抗干扰能力强。,CMOS(Complementary Metal Oxide Semiconductor 互补金属氧化物半导体)电路利用了增强型NMOS管和增强型 PMOS 管特性的互补性,电路结构简单,其制作工艺在数字集成电路中得到了广泛的应用。,第28页,2023年11月17日11时14分,1.CMOS反相器的电路及工作原理,NMOS、PMOS管串联互补。二者的开启电压分别为UTN、UTP。,功能分析？,TP,TN 构成推拉式输出,负载能力较强,但输出端不能并联实现“线与”功能。,正常工作时，要求：,第29页,2023年11月17日11时14分,2.CMOS反相器 电压传输

15、特性、电流转移特性,电压传输特性和电流转移特性,UOL=0V，,UOH=VDD,（表明电压利用率高）,噪声容限问题,第30页,2023年11月17日11时14分,【注意】加电后，CMOS器件输入端不能悬空!,输入电位不定（此时输入电位由保护二极管的 反向电阻比来决定），从而破坏了电路的正常 逻辑关系；,由于输入阻抗高，易接受外界噪声干扰，使电 路产生误动作；,极易使栅极感应静电，造成栅击穿。,第31页,2023年11月17日11时14分,3.CMOS反向器 的输出特性、传输延迟时间,【输出特性】,第32页,2023年11月17日11时14分,场效应管的导通和截止过程的转换需要一定的时间。CMO

16、S反相器的输入信号发生变化时，输出信号的变化滞后于输入信号,tPHL和 tPLH的平均值称为CMOS反相器的平均传输延迟时间。它是衡量门电路开关速度的一个重要指标。,【传输延迟时间】,tPHL和 tPLH 主要是由于负载电容 CL的充放电所产生的,为缩短传输延迟时间,须减小负载电容 CL和 MOS 管的导通电阻。,第33页,2023年11月17日11时14分,输出阻抗变化大；,存在的缺点：,输入端数目UOH,UNH。,输出阻抗变化大；,存在的缺点：,输入端数目UOL,UNL。,1.CMOS与非门 2.CMOS或非门,两反相器的 驱动管并联，负载管串联。,两反相器的 驱动管串联,负载管并联。,三

17、、其它类型的CMOS门电路,第34页,2023年11月17日11时14分,例:写出下图CMOS电路的逻辑表达式。,解:当B=0时,当B=1时，,P为高阻态。,C,反相器,第35页,2023年11月17日11时14分,CMOS 传输门也是 CMOS 集成电路的基本单元,其功能 是对待传送信号起允许通过或者禁止通过的作用。双向传输门的用途很广泛可以构成各种复杂的逻辑电路，如数据选择器、计数器、寄存器。,2.CMOS传输门电路,NMOS、PMOS管并联互补。,C=0:禁止C=1:双向工作,第36页,2023年11月17日11时14分,例:写出下图CMOS电路的逻辑表达式。,解：当B=0时，,当B=1

18、时，,P为高阻态。,E,反相器,1,0,1,第37页,2023年11月17日11时14分,3.CMOS漏极开路门(OD 门)可实现“线与”,用菱形下面的短横线表示当输出为低电平时输出端的MOS管是导通的，门电路的输出电阻为低内阻。,推拉式输出结构门,如CMOS反向器的负载能力较强,但不能满足驱动大电流或较高电压负载的要求,且输 出端也不能直接实现“线与”。,第38页,2023年11月17日11时14分,4.CMOS三态输出门,CMOS三态输出门电路、符号,在三态输出的门电路中，输出端除了有高电平和低电平两种可能的状态外，还有第三种可能的状态：高阻态，即输出与输入隔离。,CMOS三态输出门电路应

19、用,第39页,2023年11月17日11时14分,2.3 逻辑代数的公式基本公式,第40页,2023年11月17日11时14分,2.3 逻辑代数的公式 异或、同或逻辑的公式,第41页,2023年11月17日11时14分,三、常用公式,2.消项公式 A+AB=A,4.多余项（生成项）公式,原变量吸收,反变量吸收,混合变量吸收,例1:,例2:,合并,反变量吸收,原变量吸收,第42页,2023年11月17日11时14分,左=(AB)C,=右,证明：,ABC,=ABC,2.试证明：,1.判断下面两个等式哪个正确？,3.试证明与反演律(摩根定理)：,0 0 0 11 01 1,0 1 0 10 11 0

20、,1 1 11 0 10 1 10 0 0,同理，可将德摩根定理推广到N个变量.,第43页,2023年11月17日11时14分,2.4 逻辑代数的基本规则,一、代入规则,(适用于等式),设 F1(x1,x2,xn)=F2(x1,x2,xn),则 F1(G,x2,xn)=F2(G,x2,xn),任何一逻辑等式中,若将等式两边所有出现的某一个变量用一个逻辑函数代替,该等式仍然成立。,例2:,由于A+BC=(A+B)(A+C)则A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D),例1:,第44页,2023年11月17日11时14分,二、反演规则,(常用于求反函数),(1)与运算优

21、先或运算，若有括号，先算括号内。,(2)不属于单个变量上的非号，在变换时应保留。,常用关系式：,例1:,例2:,(2)不属于单个变量上的非号，在变换时应保留。,第45页,2023年11月17日11时14分,(1)与运算优先或运算,若有括号，先算括号内。,(2)对偶变换时,变量不变。,三、对偶规则,(常用于等式的证明),常用关系式：,若 F=G，则F=G 且,例1:,例2:,例3:,注意:1.反演规则与对偶规则的区别！2.等式成立,其对偶式必定成立,第46页,2023年11月17日11时14分,原函数,反函数,对偶函数,三种函数间转换关系,反演规则,对偶规则,?,原变量、反变量互换,第47页,2

22、023年11月17日11时14分,不变,不变,变量取反,变量取反,原函 反函数 对偶函,原函 对偶函 反函数,第48页,2023年11月17日11时14分,例6:已知 A0=A，则其对偶公式为：,A1=A,例8：判断下面等式是否成立:,若X+Y=X+Z，则Y=Z 若XY=XZ，则Y=Z 若X+Y=XY，则X=Y 若X+Y=X+Z，且XY=XZ，则Y=Z,例7:，则其,反函数可写为：,对偶函数可写为：,第49页,2023年11月17日11时14分,（A+AB=A）,课堂练习：化简下面的逻辑函数。,（）,（配项）,（）,（A+AB=A）,（展开）,（反演规则）,（合并）,第50页,2023年11月

23、17日11时14分,思考题,1.事物间的基本因果关系有几种？分别是什么？2.一个逻辑变量的取值有几种？分别是什么？3.如何理解 1+1=1？4.解释概念：逻辑相邻项。5.多个常量异或运算的结果如何确定？6.对偶函数和反函数如何相互转换？,第51页,2023年11月17日11时14分,【作业1】,2.3(1)2.3(3)2.42.5,望同学们：独立完成作业 认真完成作业,第52页,2023年11月17日11时14分,2.5 逻辑函数的表达式,一、常见表达式,与或,与非-与非,与或非,或与,或非-或非,结论：一个逻辑函数有各种不同形式的表达式，其逻辑功能相同，但一种形式的函数表达式对应于一种逻辑电

24、路。,第53页,2023年11月17日11时14分,二、标准表达式,1.最小项、最小项表达式,(1)最小项m的概念及其表示,m是乘积项(与项)，包含n个变量因子；对于n变量函数，有2n个最小项；n个变量均以原变量和反变量形式在m中出现一次。,例1.两变量A,B的最小项：例2.三变量A,B,C的最小项：,第54页,2023年11月17日11时14分,(101)2,(5)10,(2)最小项表达式(标准与或式),例5.,m5：,第55页,2023年11月17日11时14分,2.最小项的性质(6个),性质1：在输入变量的任一取值下，有且仅有一个 最小项的值为1。,第56页,2023年11月17日11时

25、14分,性质2：不同的最小项，使它的值为1的那一组变 量取值也不同。,2.最小项的性质(6个),第57页,2023年11月17日11时14分,性质3：全部最小项之和恒等于1。,即：,2.最小项的性质(6个),变量ABC取值为010情况下，各最小项之和为1。因为其中只有一个最小项为1，其余全为0。,第58页,2023年11月17日11时14分,性质4：任意两个最小项的乘积恒等于0。,即：,2.最小项的性质(6个),第59页,2023年11月17日11时14分,性质5：任一最小项与另一最小项非之积恒等于该 最小项。,2.最小项的性质(6个),即：,第60页,2023年11月17日11时14分,2.

26、最小项的性质(6个),性质6：两个相邻最小项之和可以合并成一项，并消去一对因子。,任何两个最小项如果它们只有一个因子不同,其余因子都相同,则这两个最小项互为相邻最小项。,显然m0与m1具有相邻性,而 与 不相邻，因为他们有两个因子不相同。m3与m4也 不相邻，而m0与m2相邻，即，,例如：,第61页,2023年11月17日11时14分,即上述关系式成立！,证明：根据最小项的性质1在输入变量的任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。,若自变量的取值组合使,则,若自变量的取值组合使,则,3.两个重要关系式,例如：,则,第62页,2023年11月17日11时14分,下标号互补,例6：,解：,若,3.

27、两个重要关系式,证明：,若,例7：,解：,则,则,第63页,2023年11月17日11时14分,4.由一般表达式写出最小项表达式的方法,例8：,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和标准与或表达式，也称最小项表达式。,第64页,2023年11月17日11时14分,例9：将下列函数化为最小项之和的形式。,添项,添项,第65页,2023年11月17日11时14分,5.由真值表写出最小项表达式的方法,最小项表达式是真值表中所有使函数值为 1 的取值组合所对应的各最小项之和。,例如：,在 n 个变量的逻辑系统中，如果Y 为 i 个最小项之和，则 必为余下的(2n i)个最小项之和。,推论：,

28、第66页,2023年11月17日11时14分,函数表达式具有多样性,因此各表达式的实现电路通常差异较大,但最小项表达式具有唯一性。,一个逻辑函数表达式常用的有以下5种表示形式：,(1)与或表达式：,(4)与非-与非表达式：,(5)或非-或非表达式：,(2)与或非表达式：,(3)或与表达式：,说明：通常将表达式化简为与或或或与表示式。若要求用其它形式表示，则可用反演规则来转换。,第67页,2023年11月17日11时14分,1.与非逻辑形式,将或与逻辑两次求反：,2.或非逻辑形式,逻辑函数的表达式,?,第68页,2023年11月17日11时14分,3.与或非逻辑形式,（1）从与或式得到,将结果两

29、次求反,不用摩根定律即可得与或非式。（2）求得反函数后,再求一次反,不用摩根定律也可得与或非式。,可从两种途径得到：,第69页,2023年11月17日11时14分,2.6 逻辑函数的化简,一、化简的意义和最简的标准,1.化简的意义(目的)：节省元器件;提高工作可靠性.,2.化简的目标：最简与或式或最简或与式,3.最简的标准：逻辑函数化简没有严格的原则，通 常可遵循以下几条化简原则：,(1)逻辑电路所用逻辑门最少；(2)各个逻辑门的输入端要少；(3)逻辑电路所用的级数要少；(4)逻辑电路能可靠地工作。,降低成本,提高速度,提高系统可靠性,第70页,2023年11月17日11时14分,二、公式法,

30、3种方法,(1)合并法,=A+D,(2)消项法,=A B,原变量吸收：反变量吸收：混合变量吸收：,相邻项合并：,第71页,2023年11月17日11时14分,例14:,例13:,第72页,2023年11月17日11时14分,例题：应用公式法，消去多余乘积项和多余因子。,第73页,2023年11月17日11时14分,(3)综合法,基本方法：先找公共因子，再找互补因子！,=A B+C,例16:,反演,添项,第74页,2023年11月17日11时14分,课堂练习：,反演,拆项,第75页,2023年11月17日11时14分,优点：不受变量数目的限制。缺点：无固定的步骤可循，需一定的技巧和经验；需要熟练

31、运用各种公式和规则；不易判定化简结果是否最简。,公式化简法优缺点,用公式法化简应使得逻辑函数式包含的项数以及变量数最少为原则。然而，对于化简的结果，尤其较为复杂的结果通常难于判断是否最简，因此还常使用卡诺图的方法来化简逻辑函数。,第76页,2023年11月17日11时14分,思考题,1.如何理解“最小项对应的取值组合”？2.最小项具有哪些主要性质？3.真值表、最小项表达式、最简与或式有何差异？4.何谓最简与或式？,第77页,2023年11月17日11时14分,【作业2】,2.8(1)2.8(3)2.10(1)2.10(2),望同学们：独立完成作业 认真完成作业,第78页,2023年11月17日

32、11时14分,三、卡诺图 化简法,1.卡诺图概述,卡诺图的实质：是将逻辑函数的最小项按逻辑相邻的原则排列而成的方格图。,以2n 个方格分别代表 n 变量逻辑函数的所有2n 个最小项,并使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的(逻辑相邻),就得到表示 n 变量全部最小项的卡诺图。,第79页,2023年11月17日11时14分,输出F,例如:二变量卡诺图,第80页,2023年11月17日11时14分,例如:三变量卡诺图,有23=8个最小项！,每个3变量的最小项有3个最小项与它逻辑相邻,BC不能为 00 01 10 11,第81页,2023年11月17日11时14分,每个4变量的最小项有4个最小

33、项与它逻辑相邻！,【方法一】,【方法二】,例如:四变量卡诺图,注意：卡诺图不同，但化简结果相同！,有24=16个最小项！,建议,第82页,2023年11月17日11时14分,例如:五变量卡诺图,有25=32个最小项！,每个5变量的最小项有5个最小项与它逻辑相邻！,第83页,2023年11月17日11时14分,例17 将图示卡诺图用最小项表达式表示。,解：,第84页,2023年11月17日11时14分,注意：当逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出时，在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,例如：,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,

34、1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,第85页,2023年11月17日11时14分,例18,0,1,0,1,1,1,结果为与或表达式,可直接利用卡诺图化简。,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,填写卡诺图过程如下：,第86页,2023年11月17日11时14分,反演 F,2.卡诺图的运算,反演、逻辑加、逻辑乘、异或、同或。,第87页,2023年11月17日11时14分,2.卡诺图的运算,第88页,2023年11月17日11时14分,2.卡诺图的运算,第89页,2023年11月17日11时14分,AB,CD,AB,CD,AB,CD,F1,F2,F,第90页,

35、2023年11月17日11时14分,例20 已知 和 的卡诺图如下所示,=,1,1,(1)按函数取值为1或为0理解卡诺图,(2)按函数标准与或式中是否包含最小项理解卡诺图,第91页,2023年11月17日11时14分,3.卡诺图化简法,(1)化简原理,例如：,利用基本公式，可以使相邻最小项合并，并消去一对不同因子。,1.卡诺图化简过程比公式法简单直观。2.卡诺图适用于输入变量为 3、4、5 个的逻辑代 数式的化简。,第92页,2023年11月17日11时14分,2m个相邻最小项才能合并为一项，并消去m个变量，合并后的结果只包含公共因子。,（2）化简时的合并规则,两相邻项可合并为一项，消去一个取

36、值不同的变量，保留相同变量；四相邻项可合并为一项，消去两个取值不同的变量，保留相同变量；八相邻项可合并为一项，消去三个取值不同的变量，保留相同变量。,相邻最小项合并规律,“1”原变量，“0”反变量,第93页,2023年11月17日11时14分,画卡诺圈时应遵循的原则：,圈内最小项个数必须是2n个，n=0,1,2,相邻方格包括上下底相邻、左右边相邻和四角相邻。,同一方格可以被重用，但重用时新圈中一定要有新成员加入，否则新圈就是多余的。,每个圈内的方格数尽可能多，圈的总个数尽可能少。,注意:,包含最小项的卡诺圈的圈法可能不惟一，因此化简结果也可能不惟一！,第94页,2023年11月17日11时14

37、分,94,应注意：相邻单元的个数是 2n，并组成矩形，然后合并。,第95页,2023年11月17日11时14分,圈2个相邻最小项 可消去1个变量圈4个相邻最小项 可消去2个变量圈8个最相邻小项 可消去3个变量,结论：圈 2i 个相邻最小项，可消去 i 个变量(i=0,1,2n),第96页,2023年11月17日11时14分,卡诺图化简时应遵循的原则：,将给定的真值表或逻辑函数式化成最小项之和的形式,或化成与或形式。,画卡诺图：凡式中包含的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。,合并最小项：将满足2n个最小项相邻的1方格圈在一起，形成一个包围圈，对应该圈可以写成一个新的乘积项。,写出最简与或表达

38、式：将所有包围圈对应的乘积项相加。,第97页,2023年11月17日11时14分,逻辑表达式或真值表,卡诺图,1,1,例如：用卡诺图将下式化简为最简与或式形式。,第98页,2023年11月17日11时14分,卡诺圈越大越好,但每个圈中标的方格数目必须为 个。,BD,冗余项(忽略),2,2,检查：不能漏掉任何一个标的方格!,合并最小项,每个最小项可重复圈用,但至少应包含一个未使用过的1项，直到所有的1项都被圈过!,最简与或表达式,3,3,将代表每个圈的乘积项相加,CD,根据圈“1”规则，画卡诺圈,第99页,2023年11月17日11时14分,(3)化简举例,例2.6.12 化简函数下面函数为最简

39、与或式。,图 2.6.12,第100页,2023年11月17日11时14分,例2.6.14 化简函数下面函数为最简与或式。,图 2.6.14,第101页,2023年11月17日11时14分,卡诺图化简时的两点说明：,在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,不是最简,最简,第102页,2023年11月17日11时14分,某些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,第103页,2023年11月17日11时14分,例如:求下式的最简与或式。,第104页,2023年11月17日

40、11时14分,四、非完全描述逻辑函数的化简,1.无关项及非完全描述逻辑函数,(1)无关项,约束项：,任意项：,不可能或不允许出现的输入取值组合所对应的最小项。如：两个以上交通指示灯不可能或不允许同时亮。,函数值可任意规定的输入组合所对应的最小项。如：可任意规定无请求时电梯的状态。,(2)非完全描述逻辑函数,例如：,第105页,2023年11月17日11时14分,非完全描述逻辑函数 含有无关项逻辑函数的表示方法,也可表示为：,【交通灯功能表及表达式】,红 绿 黄 通行,第106页,2023年11月17日11时14分,例1：一自动供水系统原理示意图如下所示，其中 F1为大功率供水机，F2为小功率供

41、水机。自动控制过程为：当水位在A线以下时，F1和F2同时启动；当水位在A线和B线之间时,只有F1启动；当水位在B线和C线之间时,只有F2启动；当水位在C线以上时，F1和F2停机。用真值表和逻辑表达式描述该系统的控制功能。,第107页,2023年11月17日11时14分,(2)逻辑函数表达式,1 1,1 0,0 1,0 0,解：(1)列真值表。由题意知A、B、C为输入变量，F1和F2为函数。设水位在刻度线以上，相应的输入变量取1；反之，取0。供水机启动，相应的函数取1；反之，取0。,真值表,接上例,第108页,2023年11月17日11时14分,例2:一车站自动调度系统原理示意图如下所示，其中A

42、2 A1 A0为三列火车，F2 F1 F0为对应的信号灯。自动调度过程为：火车在发车前必须提出发车请求，若对应的信号灯亮，则允许发车；否则不允许。若三列火车同时提出发车请求，则按A2 A1 A0优先顺序发车。用真值表和逻辑表达式描述该系统的控制功能。,第109页,2023年11月17日11时14分,(2)逻辑函数表达式,1 0 0,0 1 0,0 0 1,解：(1)列真值表。由题意知 A2、A1、A0为输入变量，F2、F1、F0为函数。火车提出发车请求时，相应的输入变量取1；反之，取0。允许发车时，相应的函数取1；反之，取0。同时请求时的优先级：,真值表,A2A1A0,接上例,第110页,20

43、23年11月17日11时14分,例3：判断一位十进制数是否为偶数。,假设：偶数时输出F为1，奇数时输出F为0。,第111页,2023年11月17日11时14分,2.非完全描述逻辑函数的化简,例：,表达式化简：,无关项所对应的取值，既可作为“0”处理，也可作为“1”处理，具体应以使化简结果最简为准。,【注意】,(1)卡诺圈中不可全是无关项；,(2)不可把无关项作为实质小项。,第112页,2023年11月17日11时14分,AB,CD,第113页,2023年11月17日11时14分,3.无关项的运算规则,与 0,1,相加“”(b)与 0,1,相乘“”(c)与 0,1,相异或“”,第114页,202

44、3年11月17日11时14分,例：化简下面函数，并用与非门实现之。F=(1,3,5,9)+d(7,11,13),解：画出F的卡诺图,合并最小项,1,1,1,1,写出最简与或表达式,第115页,2023年11月17日11时14分,A,C,D,F,电路实现,需3个与非门,需5个与非门,第116页,2023年11月17日11时14分,A,C,D,F,需5个与非门,第117页,2023年11月17日11时14分,思考题,1.如何理解卡诺图中的0和1？2.利用卡诺图化简函数的原理是什么？3.如何理解无关项？,第118页,2023年11月17日11时14分,【作业3】,2.112.132.142.15,望

45、同学们：独立完成作业 认真完成作业,第119页,2023年11月17日11时14分,逻辑代数,逻辑代数又称布尔代数,由英国数学家乔治布尔提出，其二值性质把事物间逻辑关系简化为符号间的数学运算，适合于两态元件组成的数字电路。布尔代数中的常量、变量只有“真”(True)和“假”(False)两种取值，所以也称为二值代数。因为无论何种形式的数字系统，都是由一些基本的逻辑电路所组成的，因此逻辑代数可解决数字系统分析和设计中的各种具体问题。目前，逻辑代数已成为研究数字系统逻辑设计的基础理论。,第120页,2023年11月17日11时14分,卡诺图,卡诺图是用来化简逻辑函数的一种方格图。由英国工程师Kar

46、naugh首先提出，也称卡诺图为K图。,第121页,2023年11月17日11时14分,CC4000系列CMOS电路的性能指标中规定：在输出高低电平的变化不大于10%VDD的条件下,输入信号的高低电平允许的最大变化量。,输入端噪声容限示意图,【噪声容限】在保证电路不出 现逻辑错误的情况下,输入端 所允许加入干扰信号的大小。,可见,只要提高VDD,即可提高电路的抗干扰能力。,第122页,2023年11月17日11时14分,第123页,2023年11月17日11时14分,为什么？,第步 求反函数：圈“0”方格，得到“0”卡诺圈；第步 对反函数求反：反演求得“或与式”。,【补充说明】利用卡诺图求或与

47、逻辑形式,第124页,2023年11月17日11时14分,例如:求下面表达式的反函数和或与式:,1.圈“0”2.求反函数3.反演,得到或与式,第125页,2023年11月17日11时14分,接上例：若先在卡诺图上圈“0”方格，然后：1.原变量0，反变量1；2.各变量“或”分别得到“或”项（即最大项）；3.各或项“与”。,【结论】不通过求反函数，也可直接由最大项得到或与式：,第126页,2023年11月17日11时14分,例如：A,B,C 分别表示一台电机的正转、反转、停止命令。令 A=1:正转;B=1:反转;C=1:停止。则有,约束项:不允许两个以上变量同时取值为1。则,结论:在存在约束项的情

48、况下,由于约束项始终为0,故可将其写入逻辑函数式中,也将其从中删除,对结果无影响。,第127页,2023年11月17日11时14分,A3A2A1A0 为 00001001时,数码管显示09所需的7位代码。为10101111时,数码管输入端的 7 个与门被封锁,这时,无论与门的另一个输入端 AG 是 1 还是0,数码管均不显示。可见,当这6个最小项任何一个取值为1时,AG中任何一个输出可以是1或0 这6个最小项在化简函数 AG 时,均可作为任意项处理。,任意项举例,第128页,2023年11月17日11时14分,例：交通灯规定：红灯停，绿灯行，黄灯注意。,分析：以变量 A,B,C 分别表示红,绿,黄灯状态灯亮1,灯灭0;F 表示停车与否 停车为0,通行为1,且规定不允许有两个以上的灯同时亮。则A,B,C 变量所有合理取值组合是001,010,100,而不应出现 000,011,101,110,111 这五种情况,即 可见，A,B,C 是一组具有约束的输入变量:表明：A,B、A,C、B,C、A,B,C 均不可能同时为1。,