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1、,习题课,一、重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,重积分的 计算 及应用,一、重积分计算的基本方法,1.选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2.选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙.,图示法,列不等式法,(从内到外:面、线、点),3.掌握确定积分限的方法,累次积分法,1.计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示:利用极坐标,原式,2.把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示:积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域.,3.计算积分,其中是两个球,(R 0)的公共部分.,提示:由于被积函数缺
2、 x,y,原式=,利用“先二后一”计算方便.,4.计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域.,提示:利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,补充题.,计算积分,其中D 由,所围成.,提示:如图所示,连续,所以,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.交换积分顺序的方法,2.利用对称性或重心公式简化计算,3.消去被积函数绝对值符号,4.利用重积分换元公式,证明:,提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,1.,2.,其中是,所围成的闭区域.,提示:被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数,利用,对称性可知原式为 0.,由球面,3.在均匀的半径为R的圆形
3、薄片的直径上,要接上一,个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个,的另一边长度应为多少?,提示:建立坐标系如图.,由对称性知,由此解得,问接上去的均匀矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圆心上,例4.计算二重积分,其中:,(1)D为圆域,(2)D由直线,解:(1)利用对称性.,围成.,(2)积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性,得,例2.计算二重积分,其中D 是由曲,所围成的平面域.,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,例5.计算二重积分,在第一象限部分.,解:(1),两部分,则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,(2)提示:,两部分,说明:若不用对
4、称性,需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,例6.,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,例7.,解:在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,三、重积分的应用,1.几何方面,面积(平面域或曲面域),体积,形心,质量,转动惯量,质心,引力,证明某些结论等,2.物理方面,3.其它方面,例1.,证明,证:左端,=右端,例2.,设函数 f(x)连续且恒大于零,其中,(1)讨论 F(t)在区间(0,+)内的单调性;,(2)证明 t 0 时,(03考研),解:(1)因为,两边对 t 求导,得,(2)问题转化为证,即证,故有,因此 t 0 时,因,利用“先二后一”计算.,例3.试计算椭球体,的体积 V.,解法1,*解法2,利用三重积分换元法.令,则,
