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1、第三章 量子力学中的力学量,微观粒子具有波粒二象性 与经典物理的粒子概念不同 需要不同的描述方式波函数描述状态 算符描述力学量,第1节 表示力学量的算符(1),算符：代表运算 函数 函数,例如，微分、积分、复数共扼、x(用一个函数乘另外函数),例如定态薛定谔方程,动量和坐标算符（前面已引入）,经典物理中力学量对应的算符,1)相当普遍（x,p状态）2)厄米性 3)自旋、同位旋、等，怎么办?,例如,本征值方程：,本征函数,本征值,第1节 表示力学量的算符(2),定理 厄米算符的本征值为实数,容易证明坐标算符和动量算符都是厄米算符（见书p56)。,量子力学基本假定：体系处于力学量算符 的本征态时，该
2、力学量有确定值，就是该力学量算符本征态对应的本征值。,上章已经知道：体系处于动量算符本征态时，系统的动量有确定值，就是动量算符的本征值。处于能量算符(哈密顿量)本征态(定态)时，系统的能量有确定值能量本征值。推广之！,厄米算符：,力学量的数值是实数，要求力学量算符的本征值应该是实数。因此要求：力学量算符是(线性)厄米算符。,线性：叠加原理，说明干涉衍射等。,第2节 动量算符和角动量算符求解本征值方程,1、动量本征值方程,容易得到方程的解,公式,（d维）,它满足“归一化”条件,在三维情况下,第2节 动量算符和角动量算符求解本征值方程,动量本征函数,1、动量本征值方程箱归一化,满足箱归一化条件,动
3、量本征函数,第2节 动量算符和角动量算符求解本征值方程,2、角动量算符,球坐标结果(推导见后，或略去),角动量平方算符,球坐标系单位矢量的偏导数,预备知识,球坐标系拉普拉斯算符,预备知识,(较好的选择!),角动量算符,角动量平方算符,球坐标结果,角动量算符,第2节 动量算符和角动量算符,2、角动量算符,单值性要求,令,该方程是数学物理中的标准方程。结论是：P是非零有限函数的条件是,勒让德(Legendre)多项式,微分表示,球谐函数方程,连带勒让德方程,预备知识连带勒让德方程解法,级数解法：作幂级数展开,比较同幂次项系数,第2节 动量算符和角动量算符,2、角动量算符,最后结果,的共同本征函数Y
4、称为球谐函数,归一化常数,Legendre多项式,本征值,正交归一化条件,的状态分别成为s,p,d,f 态。,习题(p101 3.5题+1问),求刚性转子的定态能量及波函数。哈密顿量分别是,3),简并度,第3节 氢原子,1、预备知识两体问题转化为单体问题,引入质心坐标,相互作用势能,能量(哈密顿量),质心动量,相对动量,总质量,约化质量或折合质量,量子力学也是如此！,相对坐标,第3节 氢原子,2、预备知识三维问题转化为一维问题,定态薛定谔方程,折合质量,由于势能只是距离的函数与方向无关=可分离变量,球坐标系中,其中,径向方程,角向方程,第3节 氢原子,氢原子问题,决定定态能量的方程是,第3节
5、氢原子,令,标准型的合流超几何方程,只有解F才可能满足波函数有限的条件,缔合拉盖尔(Laguerre)多项式,第3节 氢原子,氢原子问题,波函数,能量,玻尔半径,归一化常数,简并度,共同本征函数,缔合Laguerre多项式,其中,归一化条件,考虑,例如,第3节 氢原子,径向概率密度,图略，见书p75图20,例题1 求基态氢原子的最可几半径。,基态径向波函数：。,第3节 氢原子例题,氢原子波函数,例题题 求氢原子中电子的电流密度和相应的磁矩和回磁比,几率流密度矢量,电流密度矢量,定态时变为,电流环的磁矩,第3节 氢原子例题,例题3 氢原子的典型物理量量纲分析,第3节 氢原子例题,例题4 简单常数
6、代换,氢原子中所有结果中,类氢原子,介子原子、电子空穴对、等等,第3节 氢原子例题,例题5 一维氢原子,三维氢原子结果,例题6 二维氢原子,例题6 碱金属原子原子实+价电子,零级近似就是氢原子结果,与氢原子的差别,（1）能量由（n,）两个量子数决定，主量子数相同，角量子数不同的能级不相同。各能级均低于氢原子相应能级。,（2）对同一n值，不同值的能级，值较大的能级与氢原子的差别较小；对同一值，不同n值的能级，n值较大的能级与氢原子的差别较小。,（3）n很大时，能级与氢的很接近，少数光谱线的波数几乎与氢的相同。,即:n很小时,差别大,且值越小,原子序数越大,能级和波数与氢原子的差别越大;n很大时，能级和波数几乎与氢的相同。3d后就几乎与氢的相同。,碱金属原子,
