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1、第三章 金属塑性变形的力学基础,3.1 应力分析3.2 应变分析3.3 平面问题和轴对称问题3.4 屈服准则3.5 塑性变形时应力应变关系3.6 真实应力-应变曲线,塑性理论的研究内容,塑性力学是研究物体变形规律的一门学科，是固体力学的一个分支。它研究变形体受外界作用（外载荷、边界强制位移、温度场等）时，物体形状及相关物理量在变形体内发生变化的规律（应力场、应变场、应变速度场等）。塑性力学的基本假设 变形体连续 变形体均质和各向同性 变形体静力平衡 体积力和体积变形不计,塑性理论涉及到的理论知识,与其它工程力学（理论力学、材料力学、断裂力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。弹塑性力学的研究
2、对象是整个（而不是分离体）变形体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。,静力学 变形体静力平衡，平衡方程几何学 变形体连续，几何方程、连续方程物理学 应力应变关系，本构方程、屈服准则,物体受力变形的力学分析 已知：外力、位移边界条件 求解：应力、位移、应变,外部载荷,位移约束,几何方程,塑性应力应变关系,弹性应力应变关系,应力应变曲线,应力平衡微分方程,屈服准则,协调方程,弹性、塑性变形的力学特征,可逆性：弹性变形可逆；塑性变形不可逆-关系：弹性变形线性；塑性变形非线性与加载路径的关系：弹性无关；塑性有关对组织和性能的影响：弹性变形无影响；塑性变形影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加
3、、形成织构等）变形机理：弹性变形原子间距的变化；塑性变形位错运动为主弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑性变形与工模具的弹性变形共存。,3.1应力分析,一、应力和外力,a.外力,面力（作用于表面）。可以是集 中力，通常是分布力；,体积力（作用于质点）,b.内力在外力作用下，物理内各质点之间产生的相互作用的力(N)。方向、大小。应力单位面积上的内力(N/mm2)。方向、大小,1.单向受力的应力及其分量（截面法）,设C-C截面上某一质点，周围切取一小面积dA，则在该面积上内力的合力为dP,全应力S分解，法向上的正应力和垂直法向的切
4、向量,令C-C截面平行于xz平面，N法向与y轴平行，则该质点的微分面称为y面，是全应力S的应力分量。,y,yx,yz,分量中用2个角标表示，第一个表示分量所在的微分面，第二个表示其作用方向。,单向拉伸的应力 设一圆柱体内一质点Q，受两向拉伸力P，过Q点作任一切面C1-C1，其法线N与拉伸方向成角，面积为A。由于均匀拉伸，则过C1-C1截面的应力为均布应力,结论：根据式子可知，在单向均匀受力条件下，可用来表示点的应力状态,P,P,c1,c1,c,c,0,2.多向受力下的应力分量,以某质点Q为中心，做三向互相正交的微分面，组成单元体，棱边分别平行与三根坐标轴。,根据应力分析，可知3个微分面上共有9
5、个应力分量，其中正应力3个，切应力6个，如图,应力（stress）应力S 是内力的集度 内力为矢量，应力为张量，都有方向和分量 应力的单位：1Pa=1N/m2=0.10197kgf/mm2 1MPa=106 N/m2应力是质点坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。应力是质点在坐标系中方向余弦的函数，即同一点不同方位截面上的应力是不同的。,这9个应力分量可用矩阵表示如下：,应力作用面,x,y,z,应力作用方向,x,y,z,提示：正应力是以拉为正，压为负；切应力在单元体是均是正,二、点的应力状态,点的应力状态指：受力物体内一点任意方位微分面上所受的内力情况。,设斜微分面ABC的外法线方向为N，其
6、方向余弦分别为l、m、n，即,设ABC面积为dA，则QABdAz=ldAQAC=dAy=mdAQBC=dAx=ndA,N,现设斜微分面ABC上的全应力S，在三个坐标轴上的分量：Sx、Sy、Sz,根据静力平衡条件，,推导：,因此可求得全应力S的正应力和斜微分平面的切应力,点应力状态表达式,应力边界条件当在物体边界上，表面力的分量为Fx、Fy、Fz，法线方向余弦为l、m、n，则应力边界条件为,练习：受力物体内一点的应力张量，试求法线方向余弦未lm1/2，n=1/2的斜切平面上的全应力、正应力和切应力,ij,解：根据题意，应力分析如图，,因全应力,根据静力平衡，有如下关系,将数值代入求得,所以全应力
7、,根据点的应力状态方程,三、张量和应力张量,（一）张量的基本知识,1.角标符号,2.求和约定,在算式的某一项中，如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标自1m的所有元素求和。例如，,课堂练习：,解：,得,3.张量的基本概念,张量是矢量的推广，与矢量类似。由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所组成的集合,Xi（ix，y，z）坐标系，旋转任一角度得新坐标系Xk（kx,y,z)。因两坐标系之间夹角余弦两两相通，所以Xi坐标系与Xk坐标系中的9个分量Pkr有如下变换关系,该物理量P就是张量，其矩阵表示：,张量的阶数由下角标的数量表示，矢量是一阶，标量是零阶,4.张量的基本性质,a.存在张量不变量,
8、张量的分量一定可以组成某些函数f（Pij），这些函数值与坐标轴的选取无关，这样的函数称为张量不变量。,b.张量可以叠加和分解,同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一同阶张量，两个相同的张量之差定义为零张量,c.张量可分对称张量、非对称张量、反对称张量,d.二阶对称张量存在三个主轴和三个主值,（二）应力张量,定义：在一定的外力条件下，受力物体内任意点的应力状态已被确定，如果取不同的坐标系，则表示该点应力状态的9个应力分量将有不同的数值，而该点的应力状态并没有变化。,设受力物体在Xi（ix，y，z）坐标系中的9个应力分量为ij（i，jx，y，z），当坐标系变换到另一个坐标系Xk（kx,y,z)，其
9、应力分量kr（k，rx,y,z），则应力张量式为：,根据张量的定义，其应力张量ij，矩阵表示式,其中3个主轴（3个方向），3个主值（主应力x，y，z），3个独立的应力张量不变量,对于轴对称体，可以采用圆柱坐标系，坐标轴取为,z。,圆柱坐标系,四.主应力、应力张量不变量和应力椭球面,1.主应力,特殊条件，全应力S和正应力重合，0，则该平面称为主平面。主平面上的正应力为主应力，法线方向为应力主轴,设斜微分平面ABC是主平面，0，全应力S，则,SxScos(N,x)=lSyScos(N,y)=mSzScos(N,z)=n,根据静力平衡条件,将式子矩阵表示如下,根据齐次方程求解法，可知行列式,有非零解
10、，才可满足题目要求,所以，可得,化简,（应力状态方程）,2.应力张量不变量,应力状态方程中J1、J2、J3分别为应力张量的第一、第二、第三不变量。,对于一个确定的应力状态，根据张量不变量的定义，只有一组主应力，其大小、方向是不随坐标系变化的。,斜微分平面上应力分量化简为,取主应力方向为坐标轴，则应力张量ij为,应力张量不变量可化为,根据应力张量不变量的性质，可以通过应力张量不变量来判断应力状态是否相同。例，,求下列应力张量不变量，,3.应力椭球面和主应力图,应力椭球面的实质是点的应力状态几何描述。,因为,可得,变换,（椭球面方程）,对于应力椭球面来说，1、2、3是其主半轴长度,单向应力状态 点
11、平面应力状态 椭圆或圆轴对称应力状态 旋转椭球面球应力状态 球面,4、主应力图,存在九种主应力状态，主应力状态的不同对金属的塑性有一定影响。单向应力状态 纯剪切应力状态 平面应力状态 轴对称应力状态 球应力状态 一般应力状态,总结和讨论：1、可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的；2、三个主平面是相互正交的；3、三个主应力均为实根，不可能为虚根；4、应力特征方程的解是唯一的；5、对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性；6、应力第一不变量J1反映变形体体积变形的大小，与塑性变形无关；J3也与塑性变形无关；J2与塑性变形有关；7、应力不变量不随坐标而改变，是确定点的应力状态异同的判据。,J1
12、15，J2 60，J3 54,ij,1,2,3代入方程求方向,例 求主应力,?,因式分解法，卡尔丹公式,五、主切应力和最大切应力,切应力达到极值的平面称为主切应力平面，其平面上作用的切应力称为主切应力,取应力主轴为坐标轴，则切应力公式为,因，代入公式，得,对l、m求一阶偏导，求极值,分析讨论1)lm0，n1，第一组解，切应力为0；2）12 3，0，无解；3）12 3，则l 1/2，所有与1成45（或135）的平面都是主切平面；4）一般情况，12 3 a.l0，m0，则12，条件不符合，无解；b.l0，m0，斜微分平面始终垂直于1主平面，则m 1/2，故l0，mn 1/2；c.l 0，m0，同上
13、可得m0，ln 1/2；d.n0，ml 1/2。,将b、c、d结果代入应力状态简化方程中，可求得主切平面上的正应力和主切应力值。,对应的结果值可参考书本P70表3-2,三个主切应力中绝对值最大的一个，就是所有方位切面上切应力最大值，称为最大切应力（max）；若123，则最大切应力为,练习：,六、应力偏张量和应力球张量,物体受力左右那个变形，变形分为两部分：体积变形和形状变形。,单位体积改变存在：,v：材料的泊松比；E：弹性模量。,设m为三个正应力分量的平均值（平均应力），则,因J1是应力张量不变量，故m为张量不变量，公式变为,应力张量改写为,若取应力主轴坐标，可改写为,ij应力偏张量，与原应力
14、张量相同，改变物体形状；ijm静水应力状态（应力球张量）。,应力球张量 ij m 是一种静水应力状态，无切应力存在，只使物体产生体积变形，不能使物体产生形状变形。,m 是不变量、是单值。,应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等与应力张量相同，不能使物体产生体积变形，只能使物体产生形状变形，塑性变形只能由偏张量引起。应力张量的分解将引起弹性体积变形和引起形状变化的两种张量分解开（物理意义）。应力张量分解的应力球张量和应力偏张量都只有一个，但应力张量可用静水应力作任意的分解，分解出的静水应力有无穷多个。,应力偏张量是二阶对称张量，同样存在三个张量不变量J1、J2、J3,，,，,，
15、,若取应力主轴坐标，可改写为,讨论：,练习：,J1表明应力分量中已经没有静水应力成分；J2屈服准则相关张量不变量；J3决定物体变形的类型。,决定变形类型：0，伸长类变形；=0，平面应变变形；0，压缩类变形；,七、八面体应力与等效应力,1、八面体应力,主轴坐标系下，八个等倾斜面构成八面体，面上的应力八面体应力。,主应力主切应力八面体应力,特殊面上的应力，是不变量,等效应力是一个不变量；等效应力在数值上等于单向均匀拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）应力1，即=1。等效应力并不代表某一实际平面上的应力，因而不能在某一特定的平面上表示出来；等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用，或主应
16、力、主切应力的综合效果。,2、等效应力,关于等效应力的一些内容1.等效的实质？是（弹性）应变能等效（相当于）。2.什么与什么等效？复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效3.如何等效？等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。4.等效的意义？屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。,3.2应变分析,一、位移和应变,（一）位移及其分量,位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量.一般用u、v、w或ui表示,M(xi),M(xi+dxi),ui,M1,M1,ui+ui,u,v,w,u,v,w,x,y,z,设物体内任一点M（x，y，z），小变形到M1，位移分量ui（x，y，z
17、）M无限接近M，变形后位移分量ui（x+dx,y+dy,z+dz）,Ui按泰勒级数展开，略去高阶微分部分，得,M点相对M点的位移增量,ui可写成,（二）应变及其分量,1.名义应变及其分量,名义应变,线应变,切应变,单元体变形,棱边长度变化,两棱边夹角变化,单元体棱长的伸长或缩短称为线变形r，单位长度上的线变形称为线应变（正应变）,所以（r1-r）/r=r/r,因此，三向的线应变为,相对切应变（工程切应变）：单位长度上的偏移量rt或两棱边所夹直角的变化量yx,定义：,因此，应变分量共9个分量，其应变张量表示,由于实际物体变形时其角度变化量不是均匀变化，需要引入一个新概念刚体转动角,2.对数应变,
18、相对线应变：（r1-r）/r=r/r,真实的线应变是阶段性变化，存在多个微分应变1、2、3等，总线应变不是单纯的各微应变相加而得，因此，需要一个新的量来表示真实应变对数应变,设dl是每一阶段应变的长度增量，则物体的对数应变为,真实应变定义：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下的应变增量总和。,相对应变与对数应变的区别：,1）不能表示实际变形情况，而且变形程度愈大，误差愈大，可通过和的曲线比较看出；,2）不可叠加，可叠加；,3）不可比，可比。,二、点的应变状态和应变张量,1.点的应变状态,设任意点a(x，y，z)应变分量aij，由a引一线元ab，长度r方向余弦l、m、n；端点b为a无限
19、接近的一点，坐标为(x+dx,y+dy,z+dz)，则ab在三向坐标的投影为dx,dy,dz，方向余弦分别为,若该线元ab发生变形，则r1r+r，偏转角r,则变形后线元a1b1的三向投影分别是,线元a1b1的长度r1,整理,位移增量代入，得线应变,可设r1，则rr,Ma1=r=1，转动角r可变为,讨论：1）若存在刚性转动，则rr+z 2）若排除刚性转动，则rr,因此,相对位移增量分量,刚性转动引起的位移增量分量,三、塑性变形时的体积不变条件,设变形前体积V0dxdydz,变形后体积V1rxryrzdxdydz(1+x)(1+y)(1+z),体积变化率(V1-V0)/V0=x+y+z,高阶微量,
20、故体积不变的条件是0,采用真实应变替换，得l+b+h0,讨论：a.三个应变量为0，条件不符；b.三个应变量各不相等，则绝对值最 大的与另外两者符号相反。,例题:一块长、宽、厚为120mm36mm0.5mm的平板，拉伸后在长度方向均匀伸长至144mm，若宽度不变时，求平板的最终尺寸。,解：求出各方向上真实应变,体积不变条件l+b+h0，得l-h,所以有,则平板的最终尺寸是：144mm36mm0.417mm,四、点的应力状态与应变状态相比较,1.主应变、应变张量不变量、主切应变和最大切应变、主应力简图,1）主应变与主应力相似，将应力主轴作为坐标轴，则线应变称为主应变（1、2、3），则应变张量则为,
21、2）应变张量不变量同样，应变张量特征方程存在3个解，分别是第一、第二、第三张量不变量,3）主切应变和最大切应变与主切应力相似，主切应变存在于与应变主方向成45的方向上，共3对，相互垂直。,在3对主切应变中，绝对值最大的主切应变称为最大切应变，故存在若,2.应变偏张量和应变球张量,对应变张量进行分解,应变球张量，单元体体积的变化,应变偏张量，单元体形状的变化,其中，平均应变,应变偏张量是二阶张量，存在3个不变量,五、塑性加工中常用的变形计算方法,实际变形量可以采用以下集中计算方法,1.绝对变形量 变形前后某主轴方向上尺寸改变的总量,压下量：h=H0-h宽展量：B=b-B0管材拉拔时，减径量：D=
22、D0-h1减壁量：t=t0-t1,2.相对变形量 某方向尺寸的绝对变化量与该方向原始尺寸的比值,相对压缩率：,相对伸长率：,相对宽展率：,3.用面积比或尺寸表示的变形量,自由锻时的锻造比：KA0/A辊锻及轧制时的延伸系数：A0/A1挤压时挤压比或毛坯断面的缩减率f,3.3屈服准则,一、屈服的概念,在一定的变形条件下（变形温度、变形速度等），只有当各应力分量之间符合一定关系，质点才可以进入塑性状态。,所以，可用函数表示塑性状态f（1、2、3）C,二、屈雷斯加屈服准则（最大切应力不变条件）,当受力物体（质点）中的最大切应力达到某一定值时，该物体就发生屈服。,材料处于塑性状态时，其最大切应力是一不变
23、定值,C：常数，与变形条件下的材料性质有关而应力状态无 关的常数,在某一变形温度和变形速度条件下，材料单向均匀拉伸时，当拉伸应力达到材料屈服点s时，材料就开始进入塑性状态,max1s，min0,整理，,K：材料屈服时最大切应力值（剪切屈服强度）,推广：主应力大小不明确情况下的屈服准则,任意坐标的屈雷斯加屈服准则可写成,三、米塞斯屈服准则（能量准则）,在一定的变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第二不变量J2达到某一定值时，该点就开始进入塑性状态。,方便计算改写成主应力方式,物体在外力作用下产生弹性变形，若物体保持平衡且无温度变化，则外力缩做的功将会全部转换成弹性势能。设物体单位体积内总的
24、变形位能位An，其中包括体积变化位能Av和形状变化位能A（弹性变形能）,An Av+A,选应力主轴为坐标轴，则,根据广义虎克定律,整理，,因为，Av3/2（mm）,整理，,当弹性变形能满足该公式时，进入塑性状态,四、屈服准则的比较,a.一般韧性材料（铜、镍、铝等）与米塞斯屈服准则符合较好；有些材料（如退火软钢）符合屈雷斯家准则较好。总体来说，大部分金属符合米塞斯屈服准则。b.在工程计算中，一般对于主应力大小顺序已知时，使用屈雷斯家屈服准则；若考虑中间应力的影响，加入修正系数，则米塞斯屈服准则可写成,对于应力修正系数，在单向受拉或受压及轴对称应力状态时，1，两屈服准则重合；在纯切状态和平面应变状
25、态时，1.155，两准则相差最大。故的取值范围为11.155，平均值1.077。,五、应变硬化材料的屈服准则,对于实际材料变形，当材料产生应变硬化后，屈服准则将发生变化。因此，对于应变硬化材料和理想塑性材料的屈服准则可以表示为,对于真实应力Y，同时也是材料应变硬化后的瞬时屈服应力，也称为后继屈服应力。,对函数求偏导，判断极值可有如下情况：a.当df0时，为加载，表示应力状态由初始屈服表面向外移动，发生塑性流动；b.当df0时，为卸载，表示应力状态从屈服表面向内流动，发生弹性卸载；c.当df=0时，表示应力状态保持在屈服表面上移动，对应变硬化材料来说，既不产生塑性流动，也不发生弹性卸载，这个条件称为中性变载。,3.4真实应力应变曲线,一、基于拉伸确定真实应力应变曲线,1.标称应力应变曲线2.真实应力（Y）应变（）曲线a.确定屈服点s（略去弹性变形）,b.对于均匀塑性变形，确定各阶段各瞬间的真实应力和对数应变的关系,c.断裂时k的真实应力及其对数应变的关系,讨论：1)在均匀塑性变形阶段，应力与应变沿整个试件均匀分布，在缩颈处的真实应力Y大于（标称）条件应力。2)在集中塑性变形阶段，由于塑性变形发生在某一局部，形成缩颈。,Y,
