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1、1.一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,6.2.4 一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,(1)线性齐次方程,2.一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),(2)线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,求下列微分方程满足所给初始条件的特解:,解,于是,将方程标准化为,求下列微分方程满足所给初始条件的特解:,解,于是,将方
2、程标准化为,故所求特解为,由初始条件,得,例3 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,已知函数.,解,原方程实际上是标准的线性方程,其中,直接代入通解公式,得通解,求解方程,解,方程变为,这个方程不是一阶线性微分方程,不便求解.,如果,方程改写为,则为一阶线性微分方程,于是对应齐次方程为,解,利用常数变易法,设题设方程,分离变量,即,并积分得,代入原方程,积分得,的通解为,得,故原方程的通解为,例6 求方程,的通解.,解:注意 x,y 同号,由一阶线性方程通解公式,得,故方程可,变形为,所求通解
3、为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,6.2.5 伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,得,解得,两端除以,令,得,故所求通解为,解,上式即变为一阶线性方程,求方程,的通解.,令,则,于是得到伯努利方程,令,其通解为,解,上式即变为一阶线性方程,求方程,的通解.,令,其通解为,回代原变量,即得到题设方程的通解,例10 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,小结:,1.一阶线性方程,方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2
4、用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,1.判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,思考题,解,思考题,2.求微分方程 的通解.,3.求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,思考题,4.设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解:1)先解定解问题,利用通解公式,得,利用,得,故有,思考题,2)再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3)原问题的解为,(雅各布第一 伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,练 习 题,练习题答案,
