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1、第三节 向量的内积和Schmidt正交化,一、内积的定义和性质二、向量的长度和性质三、正交向量组的概念和求法四、正交矩阵和正交变换五、小结 思考题,定义1,内积,一、内积的定义及性质,说明,1 维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义,内积的运算性质,定义2,令,向量的长度具有下述性质：,二、向量的长度及性质,解,单位向量,夹角,正交的概念,正交向量组的概念,正交,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组,三、正交向量组的概念及求法,证明,正交向量组的性质,性质2:正交向量组单位化后仍是正交向量组,叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。,是标准正交向量
2、组，,则,例如,就是一个标准正交向量组。,（1）正交化，取，,4、Schmidt正交单位化方法,设,是线性无关向量组，构造新,的向量组,，使两个向量组等价,且,是正交向量组。,（2）单位化，取,标准正交向量组。,解 先正交化，,取,施密特正交化过程,再单位化，,得规范正交向量组如下,例,解,再把它们单位化，取,例,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,证明,定义4,定理,四、正交矩阵与正交变换,为正交矩阵的充要条件是 的行向量组是标准正交向量组,例 判别下列矩阵是否为正交阵,定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,所以它是正交矩阵,由于,例,解,1将一组线性无关向量规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将向量组正交化，然后再将其单位化,五、小结,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,求一单位向量，使它与,正交,思考题,思考题解答,
