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1、第6章 方差分析ANOVAThe Analysis of Variance,数理统计课题组,本章大纲,6.1 单因素方差分析6.2 多重比较6.3 双因素方差分析6.4 非参数方法,6.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA),例 6.1 研究扑尔敏（氯苯吡胺，Chlorpheniramine）药片的剂量，从7个药厂生产的扑尔敏药片中，各抽取10片做检验，测量出每片中含有氯苯吡胺的剂量（mg）。,实验指标Y：定量变量，本例为药片的剂量。实验因素(Factors)：定性变量，本例为单因素，只有药厂（Labs）一个实验因素。因素水平：实验因素的不同取值，本例为Lab1，Lab2,Lab7，
2、也称为处理（Treatments),6.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA),例 6.1,6.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA),一般情况,6.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA),例 6.1箱线图Boxplots,6.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA),统计模型：,其中ai是第i个水平的效应，满足,平方和分解式：,其中：,6.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA),构造F统计量,Pooled sample variance,6.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA),6.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA),
3、6.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA),当各处理的样本量Ji不全相等时,平方和分解式：,其中：,6.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA),构造F统计量,Pooled sample variance,6.2 多重比较(Multiple Comparisons),6.2 多重比较(1 LSD Method),Fisher提出的最小显著差异(Least Significance Difference)方法，简记为LSD,则认为i1水平与i2水平有显著差异,6.2 多重比较(1 LSD Method),6.2 多重比较(2 Tukeys Method),服从参数为I和I(J-
4、1)的学生化极差分布（Studentized range distribution）,其上侧100a分位数记为,则认为i1水平与i2水平有显著差异,6.2 多重比较(2 Tukeys Method),6.2 多重比较(3 Bonferroni Method),两两比较共有,则认为i1水平与i2水平有显著差异,对显著性水平a，取每个两两比较的显著性水平为a/k，则k个两两比较合计犯弃真错误的概率不超过a。,6.2 多重比较(3 Bonferroni Method),6.2 多重比较(3 Bonferroni Method),6.3 双因素方差分析(Two-Way ANOVA),6.3.1 无交互
5、作用6.3.2 有交互作用,6.3 双因素方差分析6.3.1 无交互作用,例6.2 用3种电烤箱烧烤3种菜肴，考察用电量（千瓦小时）,6.3 双因素方差分析6.3.3 无交互作用,可加模型（无交互作用）：,其中ai是A因素第i个水平的效应，满足,bj是B因素第j个水平的效应，满足,6.3 双因素方差分析6.3.3 无交互作用,平方和分解式：,其中：,6.3 双因素方差分析6.3.1 无交互作用,构造F统计量,Pooled sample variance,6.3 双因素方差分析6.3.1 无交互作用,6.3 双因素方差分析6.3.1 无交互作用,SPSS方差分析表,6.3 双因素方差分析6.3.
6、1 无交互作用,Excel方差分析表,6.3 双因素方差分析6.3.2 有交互作用,当两因素A与B间存在交互作用(interactions)时,为了考察交互作用就要做重复实验，如果每个处理的实验次数K都是相等的则称为平衡(balanced)实验.,6.3 双因素方差分析 6.3.2 有交互作用,例6.2 考察两种铁 Fe3+和Fe2+在3种剂量（Dosage）10.2、1.2、0.3 下的保存百分比。,6.3 双因素方差分析6.3.2 有交互作用,对数变换,6.3 双因素方差分析6.3.2 有交互作用,有交互作用模型：,其中ai是A因素第i个水平的效应，满足,bj是B因素第j个水平的效应，满足
7、,dij是A因素第i个水平与B因素第j个水平的交互效应，满足,6.3 双因素方差分析 6.3.2 有交互作用,平方和分解式：,其中：,6.3 双因素方差分析6.3.2 有交互作用,在正态假设下对参数做极大似然估计,对数似然函数为:,得参数估计,6.3 双因素方差分析 6.3.2 有交互作用,构造F统计量,6.3 双因素方差分析 6.3.2 有交互作用,6.3 双因素方差分析6.3.2 有交互作用,6.3 双因素方差分析6.3.2 有交互作用,6.3 双因素方差分析6.3.2 有交互作用,6.3 双因素方差分析6.3.2 有交互作用,6.3 双因素方差分析6.3.2 有交互作用,两条线段平行时无
8、交互作用;两条线段不平行时有交互作用;,6.3 双因素方差分析6.3.3 随机区组设计,人为划分的时间、空间、设备等实验条件称为区组（block）。区组因素也是影响实验指标的因素，但并不是实验者所要考察的因素，也称为非处理因素。任何实验都是在一定的时间、空间范围内并使用一定的设备进行的，把这些实验条件都保持一致是最理想的，但是这在很多场合是办不到的。解决的办法是把这些区组因素也纳入实验中，在对实验做设计和数据分析中也都作为实验因素。,6.3 双因素方差分析6.3.3 随机区组设计,随机化区组设计是指实验中含有一个实验因素A和一个区组因素B，对A和B的每一种水平搭配，以概率均等的原则，随机地选择
9、实验单元。随机化区组设计可以是重复实验，也可以是无重复实验。如果要考查实验因素和区组因素的交互作用就必须做重复实验。,6.3 双因素方差分析6.3.3 随机区组设计,例7.3 研究药物减轻皮肤瘙痒的作用，实验因素A是药物种类，共有5种药物，同时还有不用药的空白水平（No Drug），和使用安慰剂（Placebo）的安慰对照水平，共7个水平。区组因素B是受试个体。使用药物种类的顺序是随机的。,6.3 双因素方差分析6.3.3 随机区组设计,6.3 双因素方差分析6.3.3 随机区组设计,没有重复实验，把Interaction作为误差,6.4 非参数方法(Nonparametric Method),单因素方差分析 A Nonparametric Method-The Kruskal-Wallis Test,Rij是Yij的秩,当H0成立时近似有 kc2(I-1),6.4 非参数方法(Nonparametric Method),6.4 非参数方法(Nonparametric Method),随机区组设计（双因素方差分析）A Nonparametric Method-Friedmans Test,对第j个区组，Rij是I个Yij的秩,当H0成立时近似有 Qc2(I-1),
