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1、第16讲,定积分的概念,引言 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程,定积分的定义牛顿-莱布尼兹公式,一、曲边梯形的面积,青稞、小麦、豌豆、油菜,1.曲边梯形的面积,已知:y=f(x)a,b求面积 A.,各种复杂图形的面积都可以化为曲边梯形来计算:,分割 a,b,近似代替,任取 ixi-1,xi,则 Aif(i)xi,取极限,（当区间a,b被无限细分时),即得曲边梯形面积 A.,(0 表示 a,b 被无限分细),其中=maxx1,x2,xn,2.变速直线运动的路程,1999年10月20日“神州”火箭发射和回收成功,列车在某时间间隔内行驶的路程,已知：速度 v=v(t),求在时间区间 t0,T 内火
2、箭上升的速度.,1.若作匀速直线运动:v=常数,则高度=速度 v时间(T-t0),2.若作变速直线运动，采用分割时间区间t0,T的方法,分割 t0,T,在 ti-1,ti 内，近似匀速：,Siv(i)ti,其中iti-1,ti 为任取。,于是区间 t0,T 内火箭上升的高度为：,其中=maxt1,t2,tn,曲边梯形的面积：,变速直线运动的路程：,实际背景不同，数学模型相同,由此抽取出定积分的概念.,二.定积分的定义,设 y=f(x)在a,b 上有定义,任取 ixi-1,xi,记,=maxxi,若极限 存在.,若极限 存在.,称 f(x)在 a,b 上可积,称此极限值为 f(x)在a,b 上的
3、定积分,记为:,f(x):被积函数a,b:积分区间 a:积分下限 b:积分上限 x:积分变量,由此定义知,曲边梯形面积：,(其中f(x)0),(这也是定积分的几何意义),变速直线运动的路程：,注1:定积分是一个数值(与不定积分不同),此数值与a,b的分法无关,与i 的取法无关.,只依赖于f(x)和 a,b.,注2:定积分 与积分,变量无关.,这类似于：,注3:定积分的几何意义,当 f(x)0 时,曲边梯形面积A,注3:定积分的几何意义,当 f(x)0 时,(A为面积),当 f(x)符号不定时,例如,=A1A2A3A4A5,A1 A2A3 A4A5,注4:定积分存在定理,若 f(x)在a,b 连
4、续,或,者至多有有限个第一类间断点,则 f(x)在a,b 上可积,即,存在.,三.牛顿-莱布尼兹公式,若,f(x)连续,则,定理2 牛顿 莱布尼兹公式,积分上限的函数及其导数,则变上限函数,定理1.若 f(x)a,b连续,则(x)是a,b 上的一个原函数,证:,则有,因为 f(x)a,b连续,若,f(x)连续,则,定理2 牛顿 莱布尼兹公式,根据定理1,证,例1,解释:路程函数 S=S(t),速度函数v=v(t)=,从 t=a到 t=b,路程为,S(b)S(a),另一方面,路程为,故,说明:,定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.,变限积分求导:,例2,例3,=1+1=2,例4,与不定积分的计算过程相似,小结,1.定积分的定义,2.定积分的几何意义,3.牛顿-莱布尼兹公式,4.变限函数计算,
