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1、1.3 基本方程、分界面上的衔接条件,1.3.1 基本方程(Basic Equation),静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。,Basic Equation and Boundary Condition,静电场的基本方程为,微分形式（旋度、散度）,积分形式（环量、通量）,构成方程,下 页,上 页,返 回,矢量 A 可以表示一个静电场。,能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场?,例1.3.1 已知 试判断它能否表示静电场？,解:根据静电场的旋度恒等于零的性质,思考,下 页,上 页,返 回,4、的衔接条件,设 P1 与 P2 位于分界面两侧，,由，其中,图1.3.3 电位的衔接条件,下 页
2、,上 页,返 回,说明（1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；,图1.3.4 导体与电介质分界面,例1.3.2 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。,解:分界面衔接条件,导体中 E0，分解面介质侧,（2）导体表面上任一点的 D 等于该点的。,下 页,上 页,返 回,解：忽略边缘效应,图(a),图(b),例1.3.3 试求两个平行板电容器的电场强度。,下 页,上 页,返 回,图1.3.5 平行板电容器,1.4 边值问题、惟一性定理,1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程(Poissons Equation and Laplaces Equation),泊松方程,拉普拉斯算子,Boundary
3、 Value Problem and Uniqueness Theorem,下 页,上 页,返 回,1.4.2 边值问题（Boundary Problem),边值问题,微分方程,边界条件,初始条件,场域边界条件(待讲）,分界面衔 接条件,强制边界条件 有限值,自然边界条件 有限值,泊松方程,拉普拉斯方程,下 页,上 页,返 回,场域边界条件,1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet),2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann),3）第三类边界条件,已知边界上电位及电位法向导数的线性组合,已知边界上导体的电位,已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或电力线),下 页,上 页,
4、返 回,计算法,实验法,解析法,数值法,实测法,模拟法,边值问题,下 页,上 页,返 回,例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。,解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题,（阴影区域）,下 页,上 页,返 回,图1.4.1 缆心为正方形的同轴电缆,通解,例1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。,解：采用球坐标系,分区域建立方程,边界条件,参考电位,下 页,上 页,返 回,图1.4.2 体电荷分布的球体,电场强度（球坐标梯度公式）：,得到,图1.4.3 随r变化曲线,下 页,上 页,返 回,答案:（C）,1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem),例1.4
5、.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？,惟一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。,下 页,上 页,返 回,图1.4.4 平板电容器外加电源U0,1.5 分离变量法,分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解，当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。,1.5.1 解题的一般步骤：,Separation Variable Method,分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；,解常微分方程，并叠加得到通解；,写出边值问题（微分方程和边界条件）；,利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。,下 页,上 页,返 回,
6、例1.5.1 试求长直接地金属槽内电位的分布。,解:边值问题,1.5.2 应用实例,1.直角坐标系中的分离变量法（二维场）,下 页,上 页,返 回,分离变量,设,-分离常数,代入微分方程，,下 页,上 页,返 回,代入边界条件，确定积分常数,通解,沿 x方向作正弦变化，,下 页,上 页,返 回,图1.5.2 双曲函数,比较系数,当 时，,当 时，,下 页,上 页,返 回,若金属槽盖电位，再求槽内电位分布,通解,等式两端同乘以，然后从 积分,左式,当 时，,下 页,上 页,返 回,右式,代入式（1）,代入通解,n奇数,下 页,上 页,返 回,图1.5.3 接地金属槽内的等位线分布,解：取圆柱坐标
7、系，边值问题,根据对称性,例1.5.2 垂直于均匀电场 E 放置一根无限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内外 和 E 的分布。,下 页,上 页,返 回,图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒,当 时，,当 时，,代入微分方程,分离变量,设,通解,取 n2=常数，令,下 页,上 页,返 回,根据，比较系数得到,当 时，,根据,利用给定边界条件确定积分常数,当 时，,通解,下 页,上 页,返 回,比较系数,当n=1时，,当 时，An=Bn=0，则最终解,由分界面 的衔接条件，得,下 页,上 页,返 回,图1.5.5 均匀外电场中介质圆柱内外的电场,介质柱内电场均匀，并与外加电场 E0 平行，且 E2 E1
8、。,下 页,上 页,返 回,1.6 有限差分法,1.6.1 二维泊松方程的差分格式(Difference Form of 2D Poissons Equation),（1）,二维静电场边值问题,Finite Difference Method,基本思想：将场域离散为许多网格，应用差分原理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解网格节点上 的代数方程组的问题。,（2）,下 页,上 页,返 回,1.6.1 有限差分的网格分割,令 h=x-x0，将 x=x1 和 x3 分别代入式(3),（3）,由式（4）+（5）,（6）,（7）,同理,沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为,下 页,上 页,返 回
9、,将式(6)、式(7)代入式(1)，得到,当场域中,即,即,若场域离散为矩形网格，差分格式为,1.6.2 矩形网格剖分,五点差分格式,下 页,上 页,返 回,1.6.2 边界条件离散化（Discrete Boundary Condition),第二类边界条件,第一类边界条件,分界面衔接条件,对称边界条件,其中,图1.6.5 介质分界面,下 页,上 页,返 回,图1.6.3 对称边界,图1.6.4 对称分界,1.6.3 差分方程组的求解方法(Solution Method),1、高斯赛德尔迭代法,式中：,迭代过程直到节点电位满足 为止。,2、超松弛迭代法,式中：a 加速收敛因子（1 a 2）,下
10、 页,上 页,返 回,图1.6.5 网格编号,收敛速度与 a 有明显关系：,收敛因子（a）1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次数（N）1000 269 174 143 122 133 171 发散,最佳收敛因子的经验公式（不唯一）,（正方形场域、正方形网格）,（矩形场域、正方形网格）,收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；,迭代次数与工程精度 有关。,下 页,上 页,返 回,边界节点赋已知电位值,赋节点电位初始值,累计迭代次数 N=0,N=N+1,按超松弛法进行一次迭代，求,打印,N,Y,程序框图,下 页,上 页,返 回,上机作业要求：,1.试用超松弛
11、迭代法求解接地金属槽内电位的分布。,给定边值：如图示；,已知：,计算：迭代次数 N=?,分布。,给定初值：,误差范围：,下 页,上 页,返 回,图1.6.6 接地金属槽的网格剖分,给定边值：如图示；,已知：,2.按对称场差分格式求解电位的分布,计算：1)迭代次数 N=?,分布；,给定初值：,误差范围：,2)按电位差 画出槽中等位线。,下 页,上 页,返 回,图1.6.7 接地金属槽内半场域的网格剖分,3.选做题,已知：无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体的横截面如图示，且给定参数为,图1.6.8 无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体的横截面,要求 用超松弛选代法求解无限长矩形屏蔽空腔 中长直矩形导体周
12、围的电位分布;,画出屏蔽腔中矩形导体周围等位线分布;,下 页,上 页,返 回,1.7 镜像法与电轴法,1.7.1 镜像法（Image Method),1.平面导体的镜像,图1.7.1 平面导体的镜像,Image Method and Electric Axis Method,方程相同，边界条件相同，解惟一。,下 页,上 页,返 回,空气中除点电荷外,，,a,Laplace 方程,镜像法和电轴法是静电场唯一性定理的最直接应用，通过虚设某种电荷分布所产生的静电场，来模拟实际的电场分布。,Dirichlet条件,高斯定理,地面上感应电荷的总量为,（方向指向地面）,例1.7.1 试求空气中点电荷 q
13、在地面引起的感应电荷分布。,解：设点电荷 q 镜像后,图1.7.2 地面电荷分布,下 页,上 页,返 回,2.球面导体的镜像,点电荷位于接地导体球外的边值问题,（除q点外的空间),设镜像电荷 如图，球面电位表达式为,下 页,上 页,返 回,图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像,将 r1,r2 代入方程，得,联立求解,得到,下 页,上 页,返 回,球外任一点 P 的电位与电场为,图1.7.5 球外的电场分布,镜像电荷放在当前求解的场域外。,镜像电荷等于负的感应电荷总量。,图1.7.4 球外的电场计算,下 页,上 页,返 回,例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。,则,任一点场强
14、,解：边值问题,（除q点外的空间),通量为零（大小相等）,球面等位（位于球心）,思路,图1.7.6 不接地金属球的镜像,下 页,上 页,返 回,用镜像法求解下列问题，试确定镜像电荷的个数，大小与位置。,图1.7.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图,任一点电位,球面电位,思考,下 页,上 页,返 回,图1.7.8 点电荷对导体球面的镜像,3.不同介质分界面的镜像,根据惟一性定理和分界面衔接条件,图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像,下 页,上 页,返 回,图1.7.10 电场分布图,中的电场由 q 与 q 共同产生，q等效替代极化电荷的影响。,中的电场由 q”决定，q”等效替代自由电荷
15、与极化电荷的作用。,图1.7.11 点电荷 q1 与 q2 分别置于 与 区域中,思考,下 页,上 页,返 回,1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）,(导线以外的空间),边值问题,下 页,上 页,返 回,1.7.12 长直平行双传输线,1.两根细导线产生的电位,以 y 轴为参考电位，C=0，则,令：C，等位线方程,图1.7.13 两根带电细导线,下 页,上 页,返 回,K 取不同值时，得到一族偏心圆。,a、h、b满足关系,整理后，等位线方程,圆心坐标,圆半径,图1.7.14 两根细导线的等位线,下 页,上 页,返 回,根据，得到 Ex 和 Ey 分量,图1.7.15
16、两细导线的场图,E 线方程,思考,若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？,若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。,下 页,上 页,返 回,2.电轴法,(以 y 轴为参考电位),例1.7.3 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。,b)圆柱导线间的电场与电位,电轴位置,下 页,上 页,返 回,图1.7.16 平行传输线电场的计算,例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。,图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置,解：,下 页,上 页,返 回,1）参考电位的位置；2）有效区域。,例1.7.5 试确定图示偏心电缆的电轴位置。,注意：,图1.7.18 偏心电缆电
17、轴位置,下 页,上 页,返 回,例1.7.6 已知平行传输线之间电压为U0,试求电位分布。,解：确定电轴的位置,所以,设电轴线电荷，任一点电位,下 页,上 页,返 回,图1.7.19 电压为U0的传输线,镜像法（电轴法）小结,镜像法（电轴法）的理论基础是：,镜像法（电轴法）的实质是：,镜像法（电轴法）的关键是：,镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区 域。叠加时，要注意场的适用区域。,用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；,静电场惟一性定理；,确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；,应用镜像法（电轴法）解题时，注意：,下 页,上 页,返 回,作业：P46：
18、172，175。,1.8.1 电容器的电容（Capacitance of Capacitor),Capacitance and Distributed Capacitance,1.8 电容及部分电容,电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。,工程上的电容器：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。,电容的计算思路：,设,下 页,上 页,返 回,解：设内导体的电荷为 q，则,同心球壳间的电压,球形电容器的电容,例1.8.1 试求同心球壳电容器的电容。,下 页,上 页,返 回,图1.8.1 同心球壳电容器,1.8.2 部分（分布）电容（Distributed Capacitance),图
19、1.8.2 三导体静电独立系统,多导体系统,静电独立系统,部分电容,基本概念,下 页,上 页,返 回,导体的电位与电荷的关系为,下 页,上 页,返 回,约束条件,1.已知导体的电荷，求电位和电位系数,下 页,上 页,返 回,矩阵形式,2.已知带电导体的电位，求电荷和感应系数,b 静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；,bii 自有感应系数，表示导体 i 电位对导体 i 电荷的贡献；,bij 互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i 电荷的贡献。ij ij,矩阵形式：,下 页,上 页,返 回,3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容,矩阵形式,部分电容的性质,静电独立系统中n1个导体有
20、 个部分电容,Ci j均为正值，,下 页,上 页,返 回,部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连；,部分电容可将场的概念与电路结合起来。,下 页,上 页,返 回,图1.8.3 部分电容与电容网络,例1.8.2 试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及等效电容。已知da,且ah。,解：部分电容个数,由对称性，得,图1.8.4 两线输电线及其电容网络,下 页,上 页,返 回,利用镜像法，两导体的电位,代入式（2），得,下 页,上 页,返 回,图1.8.5 两线输电线对大地的镜像,联立解得,两线间的等效电容：,下 页,上 页,返 回,所以,静电屏蔽在工程上有广泛应用。,图1.8.6 静电屏蔽,三导体系统的方程为：,4.静电屏蔽,当 时，,说明 1 号与 2 号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。,下 页,上 页,返 回,
