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1、第2章 时变电磁场,亥姆霍兹定理的基本内容,一个矢量场只可能有两种源旋度源和散度源，此外，再无其它类型的源。若在给定边界空间中，一个矢量场的旋度和散度都给定了，则该矢量场的解是唯一确定的。,为电导率:,为介电常数:，其中,为磁导率:，其中,本构关系式（与媒质有关的特性方程）,第2节 麦克斯韦方程组,麦克斯韦方程组的积分形式直观地给出了方程的物理意义,2.1 麦克斯韦方程组的积分形式,麦克斯韦方程组是电磁现象的基础，可以用来解释所有的电磁现象。,麦克斯韦（1831-1879)，伟大的英国物理学家、数学家。麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。麦克斯韦在
2、前人成就的基础上，对整个电磁现象作了系统、全面的研究，将电磁场理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存在，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。麦克斯韦于1873年出版了科学名著电磁理论。系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经典物理学的重要支柱之一。建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。,法拉第电磁感应定律：导体回路l中的感应电动势等于该回路所围面积的磁
3、通量的时间变化率的负值。,麦克斯韦方程组第一方程,法拉第(17911867)，英国物理学家、化学家，也是著名的自学成才的科学家。法拉第于1831年发现了电磁感应定律。这一划时代的伟大发现，使人类掌握了电磁运动相互转变以及机械能和电能相互转变的方法，成为现代发电机、电动机、变压器技术的基础。法拉第于1833-1834年连续发现电解第一和第二定律，为现代电化学工业奠定了基础。1845年发现磁致旋光效应（法拉第效应）。法拉第名言：希望你们年青的一代，也能象蜡烛为人照明那样，有一分热，发一分光，忠诚而踏实地为人类伟大的事业贡献自己的力量。,法拉第被称为是19世纪最伟大的实验物理学家，他的照片在1991
4、年至2001年时，被印在20元的英镑纸币上,麦克斯韦修正的安培环路定律：磁场强度沿闭合回路l的环流量等于通过l所包围面积的传导电流与位移电流。,麦克斯韦方程组第二方程,传导电流密度,位移电流密度,全电流密度,安培(17751836)，法国物理学家。安培最主要的成就是18201827年对电磁作用的研究：发现了安培定则；发现电流的相互作用规律；发明了电流计；提出分子电流假说；总结了电流元之间的作用规律安培定律。安培被誉为“电学中的牛顿”。,高斯电场定律：电场通过闭合曲面S的净通量等于S所包围体积V中的总电荷。,麦克斯韦方程组第三方程,体电荷密度,高斯磁场定律：通过闭合曲面S的磁通量横为零。,麦克斯
5、韦方程组第四方程,高斯磁场定律说明磁单极子不存在。,S,B,N,S,2.2 麦克斯韦方程组的微分形式,描述了空间电磁场与场源之间的关系,高斯（17771855），德国数学家、物理学家。在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高斯被誉为“数学王子”。高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有地磁概念和论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律等。,物理意义：任何从一闭合面流出的电流都意味着该闭合面内的电荷的减少量。,电荷既不能被创造也不能被
6、消灭，可表达为：,电荷守恒定律,电荷密度与电流密度的关系,电流连续性方程可由麦克斯韦第二、第三方程导出：,反映了电荷和电流之间满足电荷守恒定律。,电流连续性方程的推导,麦克斯韦方程组实际上是由法拉第电磁感应定律、安培环路定律和高斯定律构成。完整描述电磁场的特性同时需要法拉第电磁感应定律、安培环路定律、高斯定理和电荷守恒定理。,关于麦克斯韦方程组微分形式的几点讨论：,只适用于场量和源一阶可微的情况，否则只能利用积分形式反映了场与源之间的局部特性J为磁场的旋度源之一，为电场的散度源(磁场无散度源)，时变电场与时变磁场互为对方的旋度源满足线性叠加原理便于计算,限定形式的麦克斯韦方程组,(H)=0,(
7、E)=,麦克斯韦方程组的正弦稳态相量形式,第3节 电磁场定理,静电场和恒定磁场的特性,积分形式,微分形式,电位移矢量的通量特性-电场的高斯定理,静电系统的守恒定理,静电场的守恒特性：当电荷在电场中移动一周时，电场力所做的功为零，电场能量既不增加也不减少。说明当场源一定时，电场也为固定值。,静电场的基本方程,积分形式,微分形式,磁感应强度的通量特性-磁场的高斯定理,恒定磁场与电流的关系,恒定磁场的基本方程,对点电荷q产生的电场,任取一闭合面积分：,q在S内,q在S外,证明：,一、电场的高斯定理,若S内有N个点电荷q1、q2、qN，则,将点电荷推广到分布电荷v、S、l，可得,注意：方程右边的被积函
8、数及积分区域均是左边的闭合面所包围的,如当闭合面内充满体电荷时，的外包围面即是S,对上式应用散度定理，可得高斯定理的微分形式：,高斯定理的一般积分形式：,这表明：电位移矢量在空间某点的变化率等于电荷的体密度。,静电场的散度源是电荷，电荷密度不为零的点能发出或汇聚电力线。,注意：E 应在体积中连续,适于解决：由电场分布求解体积中的体电荷密度。,由一个闭合面内穿出的电通量等于闭合面所包围的全部体积内的净电荷量。,D,适于解决：平面对称、轴对称、球对称的电场问题。,闭合面外的电荷对场的影响,电力线的性质：,E线不能相交;,E线愈密处，场强愈大;,E线与等位线（面）正交；,E线起始于正电荷，终止于负电
9、荷;,E线的方向即为电场的方向。,求线电荷密度为l的无限长带电直线的电场。,解：（1）建立适当的坐标系,电荷分布具有轴对称性，选柱坐标系,（2）分析场的分布特征,电场沿径向分布，只有E分量，E=a E,（3）根据场分布作一闭合面高斯面,取高度为1的闭合圆柱面，即S=a S侧+azS上底-azS下底,（4）代入高斯定律中计算：,即,l0 时,例,无限大平面均匀带电，电荷面密度为，求电场强度。,解：（1）电荷分布具有平面对称性，,选取直角坐标系,（2）均匀面电荷产生的电场垂直于带电平面,（3）以带电平面为对称面，作一平行六 面体，设其侧面面积为S。,x,s0,结论：无限大均匀带电平面在两侧产生反向
10、均匀电场,例,半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为,求电荷密度(r)。,解：,例,磁场高斯定理的积分形式为：,应用散度定理，可得高斯定理的微分形式：,二、磁场的高斯定理,表明磁场为无散场,磁通连续性方程,电流回路 c 产生的磁场为,在此磁场中任取一闭合面,(B C)A=B(C A),求磁感应强度穿过任意闭合面的通量,证明：,=0,B=0,(B C)A=B(C A),磁通连续性原理,穿出闭合曲面的磁通量恒为零。这意味着所有的磁力线都是闭合的，即磁场中没有独立的源(孤立的磁荷)存在。,磁场高斯定律的物理意义：,磁力线的性质：,B 线是闭合的曲线;,B 线不能相交；,闭合的 B 线与交链
11、的电流成右手螺旋关系；,B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。,一载流导线 I 位于无限大铁板上方的磁场分布（B 线）,长直螺线管磁场的分布（B 线）,两根异向长直传输线的磁场分布,两根同向长直传输线的磁场分布,两对上下放置传输线的磁场分布,两对平行放置传输线的磁场分布,三、原始的安培环路定律,安培环路定律的积分形式,（I 与 c 呈右手螺旋关系时为正，反之为负）,安培环路定律的微分形式,表明磁场是有旋度的场，给出了源和场之间的关系。,当电流连续分布时，利用斯托克斯定理，得,安培定律的物理意义：,磁场强度沿任意闭合路径的环流量等于回路所包围的电流的代数和。,安培定律表明：磁场的涡旋源是电流，磁场是
12、有旋场。,半径为 a 的无限长直导体圆柱均匀通过电流 I，计算导体内外的B。,解：,电流分布具有轴对称性，选柱坐标,分析磁场的分布,z,a,I,沿磁感应线取B的线积分,沿 方向,a 时,a 时,例,解：选用圆柱坐标系，,试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。,例,由上例,由上例,得,与安培环路的交链的电流为,3)R2 R3,2)R1 R2,1)0 R1,四、修正的安培环路定律,引入位移电流,位移电流,位移电流为时变电场的变化所引起的真实的电的流动，其密度定义为：,定义,位移电流密度,位移电流,全电流密度,引入位移电流的意义,从数学公式上将电和磁对偶起来,在理论上直接推论出电磁波的存在,在理论
13、上宣告电磁场理论体系基本构建完成,修正的安培环路定律,解：忽略极板的边缘效应和感应电场,位移电流密度,位移电流,电场,传导电流与位移电流,已知平板电容器的面积为 S,相距为 d,介质的介电常数，极板间电压为 u(t)。试求位移电流 id；传导电流 iC与 id的关系是什么?,例,一个点电荷 q 绕O点以角速度匀速转动，求 O点的位移电流密度。,O点的电位移矢量为,解：,例,海水的电导率为=4 S/m，r=81F/m，求f=1MHz时传导电流与位移电流的比值。,解：,设,例,讨论,良导体,良介质,理想导体,绝缘体,五、法拉第电磁感应定律,涡旋电场,电动势的定义：,Ein 感应电场，也称涡旋电场，
14、非保守场,总电场 E=Ec+Ein,1.法拉第电磁感应定律的积分形式,S 不随时间变化静止系统S 以速度 v 运动运动系统,沿闭合回路产生的感应电动势等于穿过这个回路所包围的总的磁通量的时间变化率。,2.法拉第电磁感应定律的微分形式,静止系统（e，E）：,回路以速度 v 相对磁场运动（e，E）：,3.法拉第电磁感应定律的积分形式,感生电动势,动生电动势,4.运动系统中的法拉第电磁感应定律,总结,引起磁通变化而产生电场的原因有三类：,称为感生电动势，这是变压器工作的原理，又称为变压器电势。,回路不变，磁场随时间变化,感生电动势,称为动生电动势，这是发电机工作原理，又称为发电机电势。,回路切割磁力
15、线，磁场不变,动生电动势,磁场随时间变化，回路切割磁力线,实验表明：感应电动势 e与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生。,第4节 边界条件,4.1 不同媒质分界面上的边界条件,边界条件总结,任何分界面两侧的电场强度的切向分量总是连续的任何分界面两侧的磁感应强度的法向分量总是连续的分界面上存在面电荷时，电位移矢量的法向分量不连续分界面上存在面电流时，磁场强度的切向分量不连续对于时变电磁场，只要电场强度的切向分量满足边界条件，那么磁感应强度的法向分量的边界条件也必然满足；若磁场强度的切向分量满足边界条件
16、，则电位移矢量的法向分量也必然满足边界条件。所以求解电磁场时，只需应用电场强度和磁场强度的切向分量边界条件即可。,4.2 理想介质表面的边界条件,0，s=Js=0,4.3 理想导体表面的边界条件,，E2=0,B、H 与 t 无关，可看作附加的恒定磁场，不予考虑,结 论,理想导体外侧的电场只可能有法向分量；,理想导体外侧的磁场只可能有切向分量；,理想导体内不能存在电磁场；电磁波投射到其表面时总是发生全反射而没有功率进入导体。,同轴线内导体半径 a=1mm，外导体半径b=4mm，内充均匀介质r=1，r=2.25，=0。已知内外导体之间,验证此电磁场满足理想导体的边界条件；求出单位长度内外导体上分布
17、的l(a)、l(b)和面电流i(a)、i(b)。,解：,E=a E n,满足 Et=0,H=a H t,满足 Hn=0,例,第5节 电磁场能量,一、时域的玻印廷定理,J外源=0,玻印廷矢量（能流矢量）,玻印廷定理,完纯介质中，=0,物理意义：外界经闭合曲面S流入V内的全部电磁功率等于V内导体的焦耳热与V内的电磁场能量的时间变化率之和电磁场中的能量守恒定律。,二、玻印廷矢量的平均值,对时谐场,与电路比较,定义复玻印廷矢量,第6节 动态矢量位和标量位,麦克斯韦方程的求解,方法一：直接求解麦克斯韦方程组复杂、困难方法二：采用数值计算方法，直接得到场的分布需借助于计算机和计算软件方法三：引入辅助的位函
18、数,动态矢量位 和标量位,达朗贝尔方程,的源是，的源是,例：已知无源空间中的电场强度利用麦克斯韦方程求H及常数。,解：E的复数形式：,由复数形式麦克斯韦方程，得,又由，得,将上式与已知电场E相比较，得：,所以得到：而磁场的瞬时表达式为：,例：在均匀的非导电媒质（0）中，已知时变电磁场为,解：将E和H用复数表示：,且媒质的r=1，由麦克斯韦方程求出和r。,比较（1）与（3），（2）与（4），得：,所以：,由复数形式的麦克斯韦方程，得：,例 在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中，已知电场强度，式中E0和 kx为常数。试求：（1）磁场强度H；（2）两导体表面上的电流密Js。,解：E的复数形式：,由复数形式麦克斯韦方程，得,磁场的瞬时表达式为：,（2）z=0处的导体表面的电流密度为：,z=d处的导体表面的电流密度为：,
