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1、,41 根轨迹与根轨迹方程42 绘制根轨迹的基本规则43 广义根轨迹44 利用根轨迹分析系统的性能,第四章 根轨迹法,基本要求：,1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点的概念及其相互关系。2.正确理解和熟记根轨迹方程(模值方程及相角方程)。熟练运用模值方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。,4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。了解运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算的方法。5.了解绘制广
2、义根轨迹的思路、要点和方法。,本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法。,根轨迹法概述,4-1 根轨迹与根轨迹方程,问题2:如何按希望性能,将闭环极点配置到合适的位置?,闭环极点（即闭环特征根）,闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性,问题1:当系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，不方便,有没有简便分析方法?,根轨迹:是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。,系统特征根的图解方法!,4-1-1 根轨迹,常规根轨迹：当变化的参数为开环增益（且其变化取值范围为0到）时，所对应的根轨迹为常规根轨迹。,
3、广义根轨迹:开环传递函数中其它变化参数形成的根轨迹。,零度根轨迹：闭环系统为正反馈时对应的根轨迹。,180度根轨迹：闭环系统为负反馈时对应的根轨迹。,K0时,两个负实根,K值增加相对靠近移动,离开负实轴，分别沿s=-1/2 直线向上和向下移动。,一对共轭复根,0,-1,例1:二阶系统的结构图如图所示，试绘制其根轨迹图。,-0.5,S平面,系统的相关动、静态性能信息,过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；,临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；,欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。,2）当K值确定后，根据闭环极点的位置，该系统的阶跃响应指标便可求出。,3)当K值确定之后,essr便可求出。,1）闭环极
4、点不可能出现在S平面右半部，系统始终稳定。,4-1-2 闭环零极点与开环零极点的关系,R(S)C(S)-,K*为根轨迹增益,请问：根轨迹增益K*与开环增益K之间有什么关系？,闭环系统根轨迹增益开环系统前向通路根轨迹增益,闭环零点开环前向通路传函零点反馈通路传函极点,闭环极点与开环零点、开环极点和开环根轨迹增益都有关,根轨迹法的基本任务：如何由已知的开环零极点分布和根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。,12,稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc。,4-1-3 根轨迹
5、与系统性能,稳态性能 开环系统在坐标原点若有一个极点，则属型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。,13,动态性能 当01/4时，特征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。,根轨迹方程：,m个零点,n个极点（nm）,4-1-4 根轨迹方程,特征方程：,绘制根轨迹的幅值条件和相角条件：,m个零点n个极点（nm）,幅值条件,1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；2）必要条件,相角条件（k=0,1,2,）,1）相角
6、条件只与开环零、极点有关2）充要条件,幅值条件成立！,不是根轨迹上的一点，但,是根轨迹上的一点,幅值条件是必要条件,幅值条件不但与开环零、极点有关，还与 有关,前例1:,-2,相角条件:绘制根轨迹的充要条件,依相角条件绘制根轨迹，幅值条件定K值,（k=0,1,2,）,例4-2:,任取一点s1如果相角条件成立，则s1即根轨迹上的一个点。,1开环零点至s1的相角,1、2、3、4：开环极点至s1的相角。,由幅值条件,单位反馈系统的开环传递函数,一个开环极点 P1=0,负实轴上点 s1,s2=-1-j,负实轴上都是根轨迹上的点！,负实轴外的点都不是根轨迹上的点！,例4-3:,解：根据模值方程求解K值,例4-4：已知系统开环传递函数 当 变化时其根轨迹如图所示，求根轨迹上点 所对应的K值。,模值方程,所以,综上分析，可以得到如下结论：绘制根轨迹的相角条件与系统的 大小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。,绘制根轨迹的幅值条件与系统 值的大小有关。即 值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置。,(3)由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。画根轨迹时请记住以下结论：,1）依据的是开环零、极点的分布；2）遵循的是不变的相角条件；3）画出的是闭环极点的轨迹。,
