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1、第一讲探寻规律解决问题知识引领探寻给定事物中隐含的规律，在分析、猜测、归纳中寻求最正确的解决问题的策略.经典题例例1如下表，表格中的数是按一定规律排列的，按此规律在空格处填上相应的数.解析观察规律得52-3=7, 7X2 35711 I 1935= 11, 11X2 3 = 19, 19X2-3=35,，得出规律为+=2a,-3,这样空格处的数应为35X2-3=67,672-3=131.例2如图，填在图中三个正方形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律，填出B、C,然后确定A,那么A是几？解析观察前i91有3个君202B么第三A3样的规律，所以，B=4,C=5.又发现前面两,角的数是另两数=5
2、X(3+4)=35.例3计算:23-199834-1995-BC一+8+76-5+4+3-2-1解析算式中共有2000个数相加减，规律是两加两减，根据算式和数的特征，正好把这2000年数按照每4个数(两加两减)分为一组，共可分为20004=500(组)，每组的得数都是4,所以，原式的结果为500个4之和.例4自然数1,2,3,4,排成下面的数阵：行行行行 一二三四 第第第第12343456567878910那么48排在数阵的第几行？左起第几个位置？解析观察这个数阵中的排列规律知：每行的第2列数都是偶数，并且是每行序数的2倍；每行的4个数是4个连续自然数从小到大排列的；除2以外，其他偶数出现2次
3、.那么48会在2个位置出现，由482=24,即48可能在24行左起第2个位置，也可能在第23行左起第4个位置.例5如图，按照图中排列的规律，问：第11行最左边的数是几？解析观察图中排列/最右边数是IOXlO=I00.526137489好是行数X行数.第10行第3行应用与探究，10111213141516第4行1.24,21,18,15,(_,.、一，一2.2,17,4,14,6,11,(8),(8).3.下面方格内都有一个数字，并且相邻两格内的数相加，和都是14,这八个数的和是多少？第四个方格内应该填的数字是几？(8X4+6X4=56)868686864.细菌第一个小时繁殖2个细菌，第二个小时
4、繁殖3个细菌，第三个小时繁殖6个细菌,第四个小时繁殖7个细菌，第五个小时繁殖14个细菌，那么第六个小时繁殖多少个细菌？(15个)5.观察以下数，找出规律，在括号里填上适宜的数：2,6,18,54,(162)6.观察以下数，找出规律，在括号里填上适宜的数：4,6,10,18,(34)7.观察以下数，找出规律，在括号里填上适宜的数：1,6,5,10,9,14,(13),(18)8.第99个图案是什么？)26在空20真上力34数：41136569824,43073, 2, 1,30 I见律*15幽粗1 0 .观察下面图L1 1 .以下是一组按9.观察下面图中数的变化规律，在空白处填上适宜的数：1，1
5、,2,1,1，2,由左至右第100个数是几？(D解：1+3+17+19=1001 2 .如图，一次智力测验, 应是多少？ 1 3 .有一串5主持 RHriTr428四次吞刀7匠!FF在牌子中，空白处表示的数2473633823多少个？ （33解：503=162, 16X2+1=33 （个）4655子,426卜536 I加3,，1的数行14.小华每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出后，经过一分钟有一半破了，经过两分钟还有5个没有破，经过两分半钟肥皂泡全部破了，小华在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡有多少个？解：100+50+5=155(个)第二讲速算与巧算知识
6、引领在平时的计算过程中，我们可以通过寻求运用定律和性质，进行简算或巧算.而速算与巧算需掌握的常用方法有：分解或合并，利用特殊数，添括号或去括号等等.经典题例例1计算：25X96X125解析在计算乘、除法时，我们通常可以运用2X5、4X25、8X125来进行巧妙的计算.原式=25X4X3X8X125=(254)3(8X125)=1003XlOOO=300000例2计算：1234+3142+4321+2413解析数字1,2,3,4在个位、十位、百位、千位上均各出现一次.原式=1111+2222+3333+4444=llll(l+2+3+4)=llll10例3计算：214X670+7860X67解析
7、此题可以运用“积不变的规律，即一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同倍数，积不变的规律求解.解法一原式=2140X67+7860X67例4 解析= (2140+7860) X 67= 1000X670=670000用简便方法计算：99999 X 77778+33333 6666633333 X 66666 = 33333 3 22222 = 99999 X 22222原式=99999 X 77778+33333 3 22222=99999 X (77778 + 22222)=99999X100000解法二 原式=214X670+786X670 =(214+786)X670 = 10000X67
8、= 67UO0O=9999900000例5计算：3(527)(7!11)(1115)解析观察发现，算式中每个括号里的除数都是下一个括号里的被除数，根据运算性质彷c)=6Xc,计算时可以消去括号.原式=35X77X1111X15=3515=3X155=9例6从1起，把奇数依次加起来，1+3+5+7+9+一直加到第100个奇数，和是多少？解析你能从以下图中找到巧妙的计算方法吗？1+3+5+7+9=5X5=25因为1+3=2X2,+y+a=3X3,)+3+5+7=44.所以:i金连续奇数的蠢狷100100ilOQQfi解法一第100个奇数是2X100-1=1991+3+5+7HF199=100100
9、=10000解法二原式=(1+199)X1002=10000应用与探究1.(20022002)5(20020)2.4500(25X90)(2)3.1+(11X111)1111(Ill)4.2-4+6-8+10-12+1998-2000+2002(1002)5.2+22+222+2222+22222(24690)6.33333X666(222199778)7.1440X572288(2860)8.327280+6730X28(280000)9.87+97+ll7(4)10.2999+999X9999(9992000)11.1-2+3-4+5-6H1-99-100+101(51)12.(48758
10、1)(242527)(18)13.1(23)(34)(45)(56)第三讲应用题解法探索假设法知识引领利用题目条件与所求目标，分析、收集、整理题目中已有信息，探索假设某种数量关系的存在，寻求解决问题的突破口.经典题例例1有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？解析假设任意三袋糖块的数量分别为20块、20块.21块，那么另一袋至少也有21块.因为另一袋假设小于21块，那么任意三袋的和就不能超过60块.因此，这四袋糖块的总和至少有20+20+21+21=82（块）.答：这四袋糖块的总和至少有82块.例2小宇去游山，他从东坡上山，每小时行2千米，到山顶玩1小时，
11、又从西坡下山，每小时行3千米，全程共行19千米，共用9小时.求上山、下山的路各几千米？解析由于小宇在山顶上玩1小时，所以他上、下山的时间共8小时.假设8小时都是上山，走了2X8=16（千米），比实际少（19-16）=3（千米）.因此，下山走3（3-2）=3（小时），下山路有33=9（千米），上山路有19-9=10（千米）.答：上山路有9千米，下山路有10千米.例3某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分小刚参加了这次竞赛，得了82分问：小刚做对了几道题？解析做错或不做一题应少得5+1=6（分）.假设20道题全做对了，应得5X20=100（分），比实际多了UO
12、O82）=18（分），做错了186=3（道），做对了（203）=17（道）.答：小刚做对了17道题.例4箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过假设干次以后，箱子里还剩下3只白球、53只红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少只？解析假设每次取的红球是白球的3倍：3X7=21（只），那么剩下的红球应是剩下白球的3倍多2,即3X3+2=11（只），比现在少53一=42（只），这是由于每次多取21-15=6（只）红球，所以共取了426=7（次），红球比白球多（15-7）X7+53-3=l06（只）答：箱子里原有红球比白球多106只.例5抗日
13、战争期间，一支敌后武工队为了更灵活有效地打击敌人，把68人分成了14个战斗小组，这些小组有的3人，有的5人，有的7人，而3人和5人小组的组数相同.问：三种战斗小组各有几组？解析由于3人组和5人组的组数相同，我们可以看成这些组里平均每组4人.这样我们就可以把分组情况分成两类：4人组和7人组.4人组的组数为：（714-68）（7-4）=10（组）于是，3人组与5人组各有102=5（组），7人组有14-10=4（组）.答：3人组和5人组各有5组，7人组有4组.应用与探究1.从09这10个数字中选择适宜的数字填入以下方框，使等式成立，被选取的数字不能重复使用.+=666（127+539=666,不止一
14、个答案）2.实验小学四年级某次数学竞赛共有20道题，规定：答对1题得3分，答错1题扣1分,未答的题不计分.考试结束后，东东得了41分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是奇数个.请你帮助东东计算一下，他答错了几道题？（4道）未答有几题？（1道）3.有一堆糖果，把它们5等分后还剩5颗，取其中的3份再4等分后还剩3颗，再取其中的2份5等分后还剩2颗.问：这堆糖果至少有多少颗？（50款）4.四（1）班有象棋、飞行棋共14副，恰好可供全班40名同学同时进行活动.象棋要2人下一副，飞行棋要4人下一副，那么飞行棋和象棋各有几副？解：飞行棋：（40-28）（4-2）=6（副），象棋：14-6=
15、8（副）.5.暑期到了，四（1）班同学可以从本班图书角借图书，如果每个小组借5本，那么最后少4本；如果前2个小组每个小组借15本，余下每个小组借2本，这些图书恰好借完.那么共有图书多少本？解：（15-2）2+4（5-2）=10（组），510-4=46（本）.6.100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组.问：高、低年级学生各有多少人？解：高年级：（41X3-100）（3-2）2=46（人），低年级：100-46=54（人）.7.甲、乙两人中有一个人来自真话村，另一个人来自谎话村，谎话村里的人从来不说真话，真话村里的人从来不说谎话.甲说：我们两人中至少有一个人在
16、说谎谁来自真话村？（甲）谁来自谎话村？（乙）8.四（1）班的同学集体去公园划船，如果每条船坐10人，那么多出5个座位；如果每条船少坐1人，那么正好坐满.共需几条船？解：5（10-9）=5（条）9.甲、乙、丙三人摘苹果，共摘121千克.甲比乙多摘12千克，丙比乙少摘8千克.甲、乙、丙三人各摘苹果多少千克？解：乙：（121-12+8）3=39（千克），甲：39+12=51（千克），丙：39-8=31（千克）.10小明和小英共有图书45本，小英比小明少3本.两人各有图书多少本？解：小英：（45-3）+2=21（本），小明：45-21=24（本）.11.实验小学录取一年级新生104人，分成甲、乙两个班
17、，如果从甲班转2个学生到乙班，两班学生人数就一样问：甲、乙两班原有学生各多少人？解：乙：（104-22）2=50（人），甲：104-50=54（人）.12.一个书架分上、下两层，共放有图书34本.如果从上层取出8本图书放入下层，那么下层就比上层多2本.问：原来上、下两层各有图书多少本？解：8X2-2=14（本），下层：（34-14）2=10（本），上层：34-10=24（本）.13.实验小学四年级学生共植树108棵，一班比二班多植树11棵，三班比二班少植树5棵.这三个班各植树多少棵？解：二班：（108-11+5）3=34（棵），一班：34+11=45（棵），三班：34-5=29（棵）.第四讲应
18、用题解法探索平均法-知识引领，在日常生活中，我们会经常遇见关于解决平均数的问题.这类问题的解决，一定要掌握涉及这类问题中的总数、份数和平均数三者之间的关系.经典题例例1实验小学有28位女教师，平均年龄35岁，有4位男教师，平均年龄27岁.这些教师平均年龄是多少岁？解析要求平均年龄，先要求出所有教师的年龄总和：女教师的年龄和+男教师的年龄和，再用年龄总和除以所有教师的人数.（3528+274）（28+4）=34（岁）答：这些老师的平均年龄是34岁.例2小云爬山，从山脚出发，上山路长18千米，每小时行3千米.到山顶后沿原路下山，每小时行6千米.问小云上山、下山的平均速度是多少？解析注意不可以用（上
19、山速度+下山速度）2,正确的平均速度应该等于总路程总时间.总路=18X2=36（千米），总时间=183+186=9（小时）平均速度=369=4（千米/小时）答：小云上山、下山的平均速度是4千米/小时.例3某次考试，张、王、李、陈四人的成绩统计如下：张、王、李平均91分，王、李、陈平均89分张、陈平均95分.问：张得了多少分？解析先求出四个人的总分再减去其余三个人的总分，就是张的成绩.四人的总成绩为（91+89）3+9522=365（分）所以张的成绩为365-89X3=98（分）答：张得了98分.例4暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离做了记录.如果他在暑假最后一天游670米，那么平均每
20、天游495米；如果最后一天游778米，那么平均每天游498米.如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多少米？解析因为平均每天所游的距离提高498-495=3（米），需要多游778-670=108（米），所以暑假一共有1083=36（天）.如果平均每天游500米，那么要在最后一天游（500-498）X36+778=850（米）.答：最后一天应游850米.例5有两组数，第一组16个数的和是98,第二组的平均数是11,两组中所有数的平均数是8,那么第二组有多少个数？解析第二组有（16X8-98）+（11-8）=10（个）答：第二组有10个数.例6每次考试总分值是100分，小明4次考试的平均成绩
21、是89分，为了使平均成绩尽快到达94分（或更多），他至少要再考几次？解析小明一共还差（94-89）X4=20（分）.为了尽快使平均分到达94分，每次考试应尽可能都是总分值，这样每次考试可多余100-94=6（分）.由于206=32,说明至少还要考3+1=4（次）.答：他至少要再考4次.应用与探究1.一个同学的语文成绩是85分，数学成绩是93分，体育成绩是92分，那么他三门学科的平均成绩是多少分？解：（85+93+92）3=90（分）2.植树节10个好朋友去植树，种两棵树的有2人，种三棵树的有3人，种四棵树的有2人，种五棵树的有1人，种七棵树的有2人.那么平均每人种了几棵树？解：（22+33+4
22、2+5l+72）（2+3+2+1+2）=4（棵）3.小明语文、数学、音乐、体育四科成绩的平均分是92.5分，假设语文、音乐、体育的成绩分别为96、95、80,那么小明的数学成绩是多少分？解：92.54-96-95-80=99（分）4.三个数的平均数是120,加上一个数后，四个数的平均数是115,加上的数是多少？解：1154-1203=1005.30人组成的老年学习班中，老爷爷的平均年龄是70岁，老奶奶的平均年龄是75岁.假设老爷爷与老奶奶的人数相同，那么他们的平均年龄是多少岁？假设老爷爷是12位，那么平均年龄是多少岁？解：（70+75）+2=72.5（岁）（70X12+75X18）+30=73
23、（岁）6.一辆汽车越过一个土丘，上坡的距离是60千米，上坡的距离是下坡距离的一半，上坡速度为30千米/小时，下坡速度是40千米/小时，那么上、下坡平均速度是多少？解：（60+120）+（60+30+120+40）=36（千米/小时）7.甲、乙、丙、丁四个数的平均数是10,甲、乙的平均数是8,求丙、丁两数的平均数.解：（10X4-82）2=128.有5个数的平均数是20,如果把其中一个数改成4,这时候5个数的平均数是18.问：改动的数原来是多少？解120X518X5+4=149.有7个数，它们的平均数是18.去掉一个数后，剩下6个数的平均数是19；再去掉一个数后，剩下的5个数的平均数是20.求：
24、去掉的两个数分别是多少？解：187-196=12,196-205=1410.原来四人小组的平均分是70分，参加一人后，平均成绩提高了2分，新参加的同学成绩是多少分？解：2X5+70=80（分）11.A、B、C、D、E五个数，前三个数的平均数是12,后三个数的平均数是9,中间三个数的平均数是10,那么首、尾、中间三个数（即A、C、E）的平均数是多少？解：因为A+B+C=12X3=36,C+D+E=93=27,B+C+D=103=30,所以A+2B+3C+2D+E=93,A+C+E=93-2（B+C+D）=932X30=33,即A、C、E平均数为333=11.12.有7个数排成一列，它们的平均数是
25、32,前3个数的平均数是28,后5个数的平均数是33.求第三个数是多少？解：335+283-327=25第五讲年龄问题-知识引领解年龄问题往往是和差问题、和倍问题、差倍问题的综合应用，解题分析时，一定要抓住其年龄差在几年前或几年后是不变的这个关键.-经典题例例1小勇比妈妈小24岁，妈妈现在的年龄正好是小勇的3倍，妈妈和小勇现在分别是多少岁？解析题目中第一个条件是年龄差且年龄差是不变的，那么只要找到倍数差，就可以求出两人的年龄了.而“妈妈的年龄是小勇的3倍这个条件告诉我们，把小勇的年龄看作1倍，妈妈的年龄那么为3倍，他们年龄的倍数差为3-1=2倍，所以用年龄差倍数差就可以求出两人的年龄分别是几岁
26、了.小勇的年龄：24（3-l）=242=12（岁）妈妈的年龄：123=36（岁）答：小勇现在12岁，妈妈现在36岁.例2王刚今年9岁，李英今年13岁，当两人的年龄和是40岁的时候，王刚和李英分别是多少岁？解析题目中分别告诉我们王刚和李英的年龄.那么我们就可知王刚和李英的年龄差为13-9=4（岁）.而当他们两人年龄和为40岁时，两人的年龄差还是4岁.这时我们可以用和差问题的方法，来求出两人的年龄.李英：40+（13-9）2=22（岁）王刚：40-22=18（岁）答：王刚18岁，李英22岁.例3盛爷爷有三个孙子，大孙子22岁，二孙子20岁，小孙子15岁.25年以后，三个孙子的年龄之和比盛爷爷那时年
27、龄的2倍还少60岁，问盛爷爷今年多少岁？解析25年后，三个孙子的年龄和应为：22+20+15+25X3=132而那时，盛爷爷的年龄为：（132+60）2=96（岁）所以盛爷爷现在的年龄为：9625=71（岁）答：盛爷爷今年71岁.例4小鲸鱼对大鲸鱼说：妈妈，我到您这么大时，您就31岁啦！大鲸鱼对小鲸鱼说:我像你这么大时，你才只有1岁呢问：小鲸鱼和大鲸鱼现在各多少岁？解析从小鲸鱼的话中可知，大鲸鱼的年龄+（大、小鲸鱼的年龄差）=31；从大鲸鱼的话可知，小鲸鱼的年龄一（大、小鲸鱼的年龄差）=1.因此小鲸鱼从1岁开始，再加上大、小鲸鱼的年龄差就成为小鲸鱼现在的年龄，再增加一个年龄差就成为大鲸鱼现在的
28、年龄，再增加一个年龄差就成为31岁了，所以（31-1）就是3个年龄差.求出了年龄差，再求大、小鲸鱼的年龄也就不难了小鲸鱼：（31-1）3+1=11（岁）大鲸鱼：11+（31-1）3=21（岁）答：小鲸鱼现在U岁，大鲸鱼现在21岁.例5甲的年龄比乙的年龄的4倍少3.甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄.问：甲、乙现在各多少岁？解析甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄说明甲比乙大6岁.甲如果再增加3岁，那么就是乙的年龄的4倍.问题化为差倍问题.年龄差：9-3=6（岁）乙的年龄：（6+3）（4-1）=3（岁）甲的年龄：6+3=9（岁）答：甲现在9岁，乙现在3岁.-应用与探究1爸爸和妈妈的年龄和是69岁，十年
29、后，爸爸比妈妈大3岁，那么爸爸现在多少岁？解：（69+3）2=36（岁）2.哥哥今年15岁，弟弟今年11岁，当兄弟俩岁数的和是100岁时，哥哥和弟弟分别多少岁？解：哥哥：100+（15-11）2=52（岁）；弟弟：52-4=48（岁）3.儿子与妈妈今年的年龄之和是42岁，6年前妈妈的年龄是儿子年龄的9倍，妈妈今年多少岁？解：儿子：（42-6X2）（1+9）=3（岁）；妈妈：39+6=33（岁）4.父亲与弟弟的年龄和是58岁，父亲比哥哥大23岁，哥哥比弟弟大5岁，那三人的平均年龄是多少岁？解：父亲：（58+23+5）+2=43（岁）；弟第:58-43=15（岁L哥哥：15+5=20（岁）平均年龄
30、：（43+15+20）3=26（岁）5.爸爸今年35岁，儿子今年11岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？解：5倍时儿子：（35-11）+（5-1）=6（岁）；11-6=5（年）6.哥哥5年前的年龄等于妹妹3年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的和是35岁，求哥哥、妹妹今年分别多少岁？解：哥哥：（35-4+3+8）2=21（岁）；妹妹：21-8=13（岁）7.江叔叔对小明说：我15年前的岁数和你6年后岁数相同，7年前，我的年龄是你的年龄的8倍.那么江叔叔今年多少岁？解：7年前小明：（15+6）+（8-1）=3（岁）；今年江叔叔：38+7=31（岁）8.小丽今年12岁，4年前妈妈的年龄是小丽的4倍
31、，几年后妈妈的年龄是小丽的2倍？解：4年前妈妈：（12-4）X4=32（岁）；2倍时小丽：（32-8）+（2-1）=24（岁）；24-12=12（年）9小唐5年前的年龄等于小勇7年后的年龄，小唐4年后与小勇3年前的年龄和是35岁，小勇今年多少岁？解：小唐：（35-4+3+12）+2=23（岁）；小勇：23-12=11（岁）10.哥哥对弟弟说：我像你这么大时，你才只有3岁.弟弟对哥哥说：我像你这么大时，你就36岁了哥哥今年多少岁？解：（36-3）3=ll（岁）哥哥：36-11=25（岁）第六讲追及与相遇问题知识引领追及问题是行程问题中的一个分类，它的特点是两个运动物体行进的方向相同，根本数量关系
32、式：追及路程=速度差追及时间相遇问题是行程问题中的另一个分类，它的特点是两个运动物体进行的方向相反，要注意的是路程和两个运动物体在同时走、同时停这段时间内所走的路程总和.在相遇问题中，两个物体有时做相向运动，有时做相背运动，但都是运用相同的数量关系式.路程和=速度和X相遇时间经典题例例1慢车以每小时45千米的速度从甲地开往乙地，3小时后快车以每小时60千米的速度也从甲地开往乙地，问多少小时后快车追上慢车？解析经过3小时，慢车已经走了453=135（千米），又知道快车每小时比慢车多行6045=15（千米），就可以求出用多少时间可以迫上135千米.（453）（60-45）=9（小时）答：9小时后快
33、车追上慢车.例2两辆汽车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时离甲地多远？解析要求小卡车追上大卡车时离甲地多远，必须先求出追及时间，再用小卡车的速度乘以追及时间就可以了.追及时间为（36X2）（48-36）=6（小时）距离为48X6=288（千米）答：当小卡车追上大卡车时离甲地288千米.例3小雯从甲地骑自行车到乙地办事，每小时的速度是20千米；回来时改骑摩托车,每小时的速度是40千米，比骑自行车少用2小时.求甲、乙两地的距离是多少千米？解析可以把这个问题看成是一个追及问题.假设A、B分别是骑摩托车和骑自
34、行车去乙地，B先出发2小时，A在乙地追上B,先求出A行完全程所需要的时间，再求出两地的距离.A从甲地到乙地所需时间为20X2（40-20）=2（小时）两地的距离为40X2=80（千米）答：甲、乙两地的距离为80千米.例4甲、乙两车分别从相距800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，问：（1）几小时后两车还相距200千米？（2）几小时后两车相遇？（3）几小时后两车相遇又相距400千米？解析（1）这一组题目要注意的是总路程的变化.相距200千米，说明还有200千米没有行，在800千米中必须减掉200千米.（800-200）（52+48）=6（小时）（2）两车布遇
35、，说明总路程就是800千米.800（52+48）=8（小时）（3）两车相遇又相距400千米，说明总路程除了800千米外，还必须加上又行的400千米.（800+400）（52+48）=12（小时）答：（1）6小时后两车还相距200千米；（2）8小时后两车相遇；（3）12小时后两车又相距400千米一例5甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，在离A、B两地中点3千米的地方相遇，求A、B两地的距离是多少千米？解析甲每小时的速度比乙快，因此相遇时甲一定走过中点，乙还没有到终点，那么从出发到相遇，甲多行了3X2=6（千米），甲比乙每小时多行64=2（千米），那么从
36、出发到相遇所用的时间是62=3（小时），最后就可以求出A、B两地的距离.相遇时间为（3X2）（6-4）=3（小时）距离为（6+4）X3=30（千米）答：A、B两地的距离为30千米.例6某小队外出野营活动，队伍长800米，行进的平均速度是每分钟60米.队伍最前面的联络员用5分钟时间跑到队伍末尾传达命令，联络员每分钟行多少米？解析队伍全长800米，说明联络员与队尾的距离是800米.他向队尾传达命令，就是联络员和队尾做相向运动，即相遇问题.只要求出联络员与队伍前进的速度和，再减去队伍的前进速度就是联络员的速度.8005-60=100（米/分钟）答：联络员每分钟行100米.-应用与探究1.A、B两地相
37、距80米，甲在A地，乙在B地，他们同时同向出发，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，甲追上乙要用多少秒？解：80（5-3）=40（秒）2小王和小李都在甲地，准备去乙地，小王每分钟行120米，小李每分钟行150米.小王先行5分钟后，小李才出发，经过多少分钟后小李追上小王？解：1205（150-120）=20（分钟）3.兔子和乌龟在一个200米的环形跑道上赛跑，它们从同一地点同时出发.乌龟每爬行5米，兔子超过它1圈.当乌龟爬完1圈时，兔子跑了多少圈？解：2005+l=41（K）4.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，5小时相遇.甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米.求A、B两地相距多少千米？解：（5
38、0+60）X5=550（千米）5.甲、乙两车从相距480千米的两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米.现要使两车在两地间的中点处相遇，那么乙车必须先行多少小时？解：240+60=4（小时）；24040=6（小时）；6-4=2（小时）6.小健和小壮同时从A地出发到B地去，小健骑自行车每分钟行200米，小壮骑摩托车每分钟行700米.行车途中，小壮因修车耽误了50分钟，这样两人同时到达目的地.求A、B两地相距多少千米？解：追及时间：2005（700-200）=20（分钟）；A,B距离：700X20=14000（米）=14（千米）7甲、乙两地相距918千米，A、B两车同时从两地相向而
39、行，6小时相遇.A车的速度是B车的2倍，那么A车每小时行多少千米？B车每小时行多少千米？解：B：9186（1+2）=51（千米/小时）；A：512=102（千米/小时）8.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出.第一次在离A地75千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后立即返回；第二次相遇在离B地55千米处.求A、B两地相距多少千米？解：753-55=170（千米）10.甲、乙两列火车从相距770千米的两地相距相向而行，甲车每小时行41千米，乙车每小时行45千米，甲车先出发2小时后，乙车才出发.乙车行几小时后与甲车相遇？解：770-41X2=688（千米）；688（41+45）=8（小时）11甲、乙
40、两人崎车同时从环形公路的某点出发，背向而行.甲骑一圈要48分钟，出发后32分钟两人相遇.问乙骑一圈要多少分钟？解：48-32=16（分钟）；481632=96（分钟）12.甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行.途中甲与乙相遇后3分钟又与丙相遇.问东、西村的距离是多少米？解：甲、乙相遇时，丙与他们之问的距离：（100+75）X3=525（米）甲、乙相遇时间为：525（80-75）=105（分钟）东、西村距离为：（100+80）X105=18900（米）第七讲植树问题知识引领植树问题是关于全长、株距间隔距离和棵数之间关系的应
41、用题.在解题时，只要知道其中两个量就可以求出第三个量.解决植树问题首先要考虑植树的路线，其次要弄清植树的具体要求.经典题例，例1圆形溜冰场周长是400米，每隔20米装一盏灯，再在相邻两盏灯之间放3盘花，问共需要装几盏灯、放几盆花？解析圆形溜冰场周长400米，按每20米为一段，可以分成20段，分成的段数就是需要装灯的盏数.同时，因为每段内放3盆花，所以花的盆数就是段数的3倍.装灯40020=20（盏）放花3X（40020）=3X20=60（盆）答：共需要装20盏灯、放60盆花.例2两幢教学大楼相距100米，现在要在两幢楼房之间每隔10米种-棵树，需要种多少棵？解析两幢教学楼之间相距100米，按1
42、0米为一段，可以分为10段.由于是在两幢房子之间，等于是两端都不需要种树，所以种的棵数比段数少L需要种树100+10-1=9棵）.答：需要种9棵树.例3实验小学进行春季运动会入场式，四年级有运发动124人，排成4路纵队，前后每行间隔为2米，主席台长20米.他们以每分钟40米的速度通过主席台，需要多少分钟？解析这道题目其实是植树问题的变式题，可以用植树问题的思考方式来解决.124名运发动排成4路纵队（每4人为一行），可以求出这列队伍共有多少行（相当于种的棵树）.前后间隔2米（相当于每2棵树之间的距离），这样就可以求出入场式队伍的全长，再用入场队伍的全长加主席台的长度，就是每个运发动通过主席台所走
43、的路程，然后用路程除以运发动行进的速度，可以求出所用的时间.2（1244-l）=60（米）（60+20）40=2（分钟）答：需要2分钟.例4盛爷爷饭后有散步的习惯，一天他以均匀的速度在马路旁散步从第1棵树走到第13棵树用了12分钟（每棵树之间的距离相等），盛爷爷又向前走了几棵树后就往回走了.当他走到第5棵树时，共用了50分钟，问盛爷爷是走到第几棵树时往回走的？解析盛爷爷从第1棵树走到第13棵树，就等于走了12个间隔，共用了12分钟，也就是盛爷爷走一个间隔用了1分钟.由于回到第5棵树时，盛爷爷一共用了50分钟，那么如果盛爷爷回到起点的话，就要再多走4个间隔，多用4分钟.那么盛爷爷走一个来回一共要
44、用54分钟，即一个全程就是27分钟，走了27个间隔.说明一个全程里有28棵树，也就是盛爷爷走到第28棵树时往回走的.12（13-1）X（50+4）=54（分钟）542=27（个）27+1=28（棵）答：盛爷爷是走到第28棵树时往回走的.例5在一根长100厘米的木棍上，由左至右每隔6厘米染一个红点.同时，由右至左每隔5厘米染上一个红点，然后沿红点处将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的木棍有几根？解析由于5能整除100,所以每隔5厘米的红点从右往左染和从左往右染都相同.又由于5与6的最小公倍数是30,而每30厘米中有2根4厘米的小木棍，那么由10030=310,可知从左至右30X3=90（厘米）的木
45、棍可锯出2X3=6（根）4厘米长的小木棍，余下10厘米还可锯出1根4厘米长的小木棍，所以共有6+1=7（根）.答：长度是4厘米的木棍有7根.应用与探究1.在一条路的一边插彩旗，从头到尾一共插了45面旗，每相邻两面旗之间相距5米，那么这条路长多少米？解：5X（45-1）=220（米）2.在一条长42米的街道两边，每隔6米种-棵树（两端各种一棵），一共需要种多少棵树？解：4261=8（棵）；8X2=16（棵）3.在一条长100米的小道一边摆花盆，起点和终点都摆，一共摆了26盆，相邻两盆花之间的距离相等，那么相邻两盆花之间相距多少米？解：100（26-l）=4（米）4在A、B两城安排一班长途车，每隔5千米设一个站，A、B两城间共设了9个站，那么A、B两城多少千米？解：5（9+l）=50（千米）5.在一条路的一边每隔8米放一盆花，连两端在内共放了16盆.现在拿走花盆，种植松树，连两端在内共种了7棵，问相邻两棵松树相距多远？解：8X（16-1）=120（米）；120（7-l）=20（米）6.同学们种树，每6棵树间的总长是10米.照这样计算，种200棵
