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1、四边形动点问题(初三上)1.如图，四边形ABCD中，ADBC,AD=15,BC=25,AB=DC=IO,动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动.设运动的时间为t(秒).(1)当t=2时，求AAPQ的面积;(2)假设四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；(3)当t为何值时，以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：(1)过A作AE_LBC于E,先求出等腰梯形的高AE,当t=2时可求出AP的长，进而可求出APQ的面积.(2)如果
2、四边形ABQP为平行四边形那么可得出AP=BQ,从而可列出关于t的方程，解出即可得出t的值.(3)将AP、AQ、PQ分别用t表示出来,然后讨论,AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ,分别解出t的值即可得出答案.解答：解：(1)过A作AE_LBC于E,VAB=DCtADZ/BCt.四边形ABCD是等腰梯形，又.AB=DC=10,AD=15,BC=25,.BE=(BC-AD)=5,在RTAABE中，AE=JAB2一BE*5，当t=2时,AP=AD-t=13,.,.APQ的面积=LpXAE=6W22(2).四边形ABQP为平行四边形,AP=BQ,即AD-t=BC-2t,A15-t=25-2t,解得:t
3、=10秒.(3)由题意可知:AP=15-t,AQ=J(20-2t)2+2；PQY(5-t)(脂)2：当AP=AQ时,t不存在;当AP=PQ时，t=25；4当AQ=PQ时，t,=15(舍去)，G=筌；3综上可知当当t=茎或t=2t,以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.43点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的性质、勾股定理及等腰三角形的性质，也结合了一元二次方程的应用，综合性较强，有一定难度，在解答此类动点型题目时，要注意利用时间t表示出有关线段的长度，然后根据线段的几何关系列出等式.2.如图，在ZU8C中，点0是AC边上(端点除外)的一个动点，过点0作直线MV况设,柄交N3O的平
4、分线于点E,交NZQI的外角平分线于点F,连接AE、AF=那么当点。运动到何下时，四边形力况F是矩形？并证明你的结论。【答案】当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时，四边形AECF是矩形2分证明：.CE平分NBCA,.N1=N2,3分又.MNBC,.N1=N3,Z3=Z2,AEO=CO.5分同理，FO=CO6分AEO=FO又OA=OC,二四边形AECF是平行四边形7分又.=N2,N4=N5,Z1+Z5=Z2+Z4.8分又丁Nl+5+N2+4=180Z2+Z4=90a9分.四边形AECF是矩形10分3.如图1,1k，h,L是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4
5、个顶点A,B,C,D都在这些平行线上.过点A作AF_1h于点F,交k于点H,过点C作CE_LlZ于点E,交L于点G.(1)求证：4ADF0ZCBE;(2)求正方形ABCD的面积;(3)如图2,如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为hhh3,试用hh2,h3表示正方形ABCD的面积S.考点：全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质。解答：证明：(1)在RtAFD和RtZXCEB中，VAD=BC,AF=CE,RtAFDRtCEB;(2).NABH+NCBE=90,ZABH+ZBAH=90o,ZCBE=ZBAh又.AB=BC,ZAHB=ZCEB=90oABHBCE,同理可
6、得，ZXABH且ZBCE0ZCDG0ZDAF,S正方彩BCD=4SajiH+S正方彩ImGF=4121+1X12=5；(3)由(D知，AFD5CEB,故h=h3,由(2)知，ZXABH且ZkBCEgZXCDG且DAF,S正方彩AKT=4Sabh+S正方彩IIEGF=4X1(h+hJ*h+h=2h-+2h+h?.24、，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为0.(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFB和ACDE各边匀速运动一周.即点P自A-F-B-A
7、停止，点Q自C-D-EfC停止.在运动过程中，点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求I的值.假设点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm,abWO),A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式.考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质。专题：几何综合题:动点型。分析：(1)先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长：(2)分情况讨论可知，当P点
8、在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可：分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式.解答：(1)证明：Y四边形ABCD是矩形，ADBC,.ZCAD=ZACB1ZAEF=NCFE,.EF垂直平分AC,垂足为0,AOA=OC,A0EC0F,工OE=OF,.四边形AFCE为平行四边形，又.EF,AC,.四边形AFCE为菱形，设菱形的边长AF=CF=Xcm,那么BF=(8-x)cm,在RtABF中，AB=4cm.由勾股定理得4+(8-x)02,解得x=5,AF=5cm.(2)显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形：“Qd
9、bf工同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，.以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA,7点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，4PC=5t,QA=I2-4t,5t=12-4t,解得t=3,4.以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，亡=3秒.由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上.分三种情况：i)如图L当P点在AF上、Q点荏CE上时,AP=CQ1即a=12-b,得a+b=12;ii)如图如当P点在BF上、
10、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12;iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12.综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12(abO).点评：此题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用5.如图，在梯形ABCD中，ADBC,AD=6,DC=10,AB=82,NB=45.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.(1)求BC的长.(2)当MNAB时一，求t
11、的值.(3)试探究：t为何值时，AMNC为等腰三角形.分析：(I)作梯形的两条高，根据直角三角形的性质和矩形的性质求解：(2)平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；(3)因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况.结合路程=速度X时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解.解答：解：(1)如图，过A、D分别作AK_LBC于K,DH_LBC于H,那么四边形ADHK是矩形.,.KH=AD=6.在RtZABK中，AK=ABsin45o=8历近8,BK=ABcos45=8衣叵8.在RtZXCDH中，由勾股定理得，HC=J102_g6.BC=B
12、K+KH+HC=8+6+6=20.(2)如图，过D作DGAB交BC于G点，那么四边形ADGB是平行四边形.MNAB,.MNDG.BG=AD=6.GC=20-6=14.由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t,CM=20-2t.VDGMN,.NNMC=NDGC.又NC=NC,MNCGDC.CN:CD=CM:CG,即_L=空二竺.解得，t=三.101417(3)分三种情况讨论：当NC=MC时，如图，即t=20-2t,t=2.当MN=NC时，如图，过N作NE_LMC于E.解法一：由等腰三角形三线合一性质得：ec=1mc=1(20-2t)=10-1.在Rtcen中，22cosC=EC:NC=(10-t
13、)：t,又在RtDHC中，cosC=CH:CD=3:5,/.(10-t)：t=3：5.解得t=&.4解法二：YNC=NC,NDHC=NNEC=90,NECDHC.NC:DC=EC:HC,即口上上at=三2.1064当MN=MC时，如图，过M作MF_LCN于F点.FC=INC=It.22解法一：(方法同中解法一)cosC=FC:MC=lt:(20-2t)=W25解得t=120.17解法二：VZC=ZC,ZMFC=ZDHC=90o,MFCDHC.FC:HC=MC:DC,即It；6=20-2t）：10,2t=12.L17综上所述，当t=理、t=或t=将时，ZXMNC为等腰三角形.3417点评：此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及梯形的性质、解直角三角形，注意梯形中常见的辅助线：平移一腰、作两条高.构造等腰三角形的时候的题目，注意分情况讨论.此题的知识综合性较强，能够从中发现平行四边形、等腰三角形等，根据它们的性质求解.
