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1、概率论与数理统计课程综合复习资料一、单选题1设某人进行射击，每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为（）。守守B.3（）7C.G*7g）3答案：B2.设占，X2,X“为来自总体X的一个样本，G为样本均值，EX未知，则总体方差DX的无偏估计量为（）。A-X（Xy-X）2,i-1Z=IB.-i-fC.-（Xi-EX）2=1D-（Xz-EX）2答案：A3.设XpX2，X为来自总体M，/）的一个样本，G为样本均值，4o己知，记S1-=S（Xi-反）2,sJe（Xj-N）2,则服从自由度为i的r分布统计量是（）。时If=I勺=1. B. 丁X - HOX-S2 nl答案：D4
2、.设总体XJ（x,6）,6为未知参数,Xl,X，X.为X的一个样本，2（X,/，X），6（X,2,，X”）为两个统计量，力为，的置信度为a的置信区间,则应有（）。A.FOg=B.P=-aC.P=aD.P=-a答案：D5.某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率（）。ByXl答案：C6.设X和y均服从正态分布XN(,22),yN(,32),记P=PX上B.对任何实数都有P0,则必有（）。A.P（八）P(AB)D.P（八）P(A8)答案：D8.已知事件4,B相互独立，P(B)0,则下列说法不正确的是()。A.P(AB)=P(4)P(8B.P(AB)=P(4)P(5C.
3、4,B互不相容D.P(B)=P(X)答案：C9.甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是()。A.0.6B.5/11C.75D.6/11答案：C10.己知P（八）=I/3,P(BlA)=I/5,P(AlB)=I/2,求PGAUB)=O。A.1/4B.3/5C.2/5D.1/3答案：C11.甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.5和0.6,则目标被命中的概率是()。A.0.9B.0.7C.0.55D.0.8答案：D二、填空题1设X、Y的概率分布分别为8（x）=,；1禽次y）=,；色则E（x2-4y）=O=答案：9
4、-32.批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。则恰有一次取到次品的概率为（）。答案：10/363.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则至少取到一个正品的概率为（）。答案:65/664.设X的概率分布为/（%）=e*x,则X的分布函数（X）=Oo0,x0答案：F（V） =1-不0,X 0XSO5.己知随机变量X的分布列为0120. 30. 50. 2则：随机变量X的期望EX=Oo答案：0.96.已知随机变量X的分布列为0.40.2P则：DX=（）,答案：1,847.个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，
5、每次取一个（无放回），则取到的两只球至少有一个黑球的概率为（）。答案：17/458.设对于事件4、B、C有P（八）=P(B)=P(C)=L,P(AB0=,412P(AB)P(BC)P(AC)则A、8、C都不发生的概率为()。答案：13/24l+x,-1JtO9.设随机变量X/(x)=A-x,01,则常数A=(),0,其它答案：110.己知事件A,B满足P(45)=P(A团，P（八）=p,则P(三)=()。答案：1-p11.己知随机变量X的分布列为I-1O2I0.40.2P则：EX=Oo答案：0.412.己知随机变量X的分布列为Xol2J030?502则：随机变量X的方差DX=Oo答案：0.49
6、13.一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个(无放回)，则第二次取到黑球的概率为()。答案：1/514.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(有放回)。则两次都取到次品的概率为()。答案：1/3615.设随机变量XN(1,2?)则EX?=()o答案：5三、解答题O,XO、厂辽八1/3,OX1q1.设X的分布函数为/(X)=I,求:1/2,1Jt2cX的概率分布；133(2)PX-.PX-.PlX-答案：(1)X的概率分布列为%O12P1/31761/211X-F(一)=122333iFX-=PX-PXl=-22oPx-P1X+PX
7、=)-2.设随机向量(X,Y)的概率密度为C,OxV1,0C=1,/(2)办当0*i时,有.&(X)=/(My)方=J：今=2*其他情况时，/(%)=0口知4其他同理亦(y)j2Q其他由于f(国y)金人(X)X万(y)知X与F不相互独立。3.已知rvX、y分别服从正态分布N(0,32)和N(2,4),且X与F的相关系数0xr=-l2,设Z=X3+Y2,求：（1）数学期望区，方差QZ；（2）X与Z的相关系数OxZo答案：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得EZ=Eg+）=E（争+成）=$0+上2=1DZ=ZX-+-)=ZX-)+D(一)+2Cov(-,-)；DX+-DY+2pDX/DY
8、34=l+4-2=3=4x3?+44?+2xXX322232(2)Cov(X,Z)=CoV(X,gx+gy)=gcov(X,X)+gcov(X,Y)-DX+-PyyyfDXyfDY=032从而有X与Z的相关系数pxzCoV(X,Z) =o DXDZ4.设X，X2,X.为X的一个样本,X/（XM）（%+M,o为未知参数,求0, 其它/1的极大似然估计量。答案：设用，占，X.为x,XzX观测值，则构造似然函数1.=(尤+1)”由看/J=IHInL=ln(1)九工Inxf=1令dInLnA1C=+YInX；=0d兄+1解的尤的极大似然估计量为i=-1-lnXj5.设X，XX”X是来自正态总体N（o,
9、32）的简单随机样本，X=0（X-2XJ2+M2X3X了试确定a、b使统计量X服从/分布,并指出其自由度。答案：依题意，要使统计量X服从/分布，则必需使42(X-2XI及*2X3-3XJ服从标准正态分布。由于X,X2,X*X,为简单随机样本，故相互独立，所以由正态随机变量的性质知2(X-2X?)N(0,(9+36),从而解得=1/45同理少2(2X-3X2)N(O(366+81b),从而解得b=1/117由V分布定义知,当0=A、人=击时，X=a(X-2X2)2+N2X3-3Xj2服从72分布,且自由度为26.已知工厂4、B生产产品的次品率分别为1%和2%,现从由A、B的产品分别占60%和40
10、%的一批产品中随机抽取一件，求：(1)该产品是次品的概率:(2)若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率。答案：设C表示“取到的产品是次品；A“取到的产品是A工厂的”；“取到的产品是B工厂的。则(1)取到的产品是次品的概率为P(C) = P(A)P(Cl A) + P(B)P(C | 8)6014027而X而+而X而一面(2)若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率为402P(BC)尸(B)P(C|8)而X而4P(C)P（八）P(ClA)+P(8)P(C8)_7_75007.批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：(1)两件都是正品的概率;(2)恰有一件次品的概率；(3)至少取到一件次
11、品的概率。答案：设A表示：“取出的两件都是正品是正品；B表示：取出的两件恰有一件次品”；C表示：“取出的两件至少取到一件次品；则(1)两件都是正品的概率P(A) =粤1522(2)恰有一件次品的概率P(B)G. _ 10式一运(3)至少取到一件次品的概率P(C)-I-P（八）-=l-=G：22228.批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(不放回)。求：(1)至少取到一个正品的概率；(2)第二次取到次品的概率；(3)恰有一次取到次品的概率。答案：设4表示：第i次取出的是正品”(i=l,2),则(1)至少取到一个正品的概率_一_7165I-P(A1A2)=I-P(A1)P(A2I
12、A1)=I-X-=-(2)第二次取到次品的概率为_1022I1P(AA2UAIA2)=F（八）P(&4)+PA)F(J4之M)-x77+77(3)恰有一次取到次品的概率为-102210，0P(A1A2jiA2)=P(Ai)P(A2A0+PWP(A2Al)=-+-=-9.一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1,2,2。现从袋中任意取球二次，每次取一只(有放回)，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：(1)X和y的联合概率分布；(2)关于X和Y边缘分布；(3)X和y是否相互独立？为什么？答案：(1)(X,Y)的所有可能取值为(1,1)、(b2),(2,1),(2,2)O=PX=LY
13、=1=-=,=PX=1.Y=2=-=3393392I2724n7l=PlX=2,y=l=-=-,O79=PX=2,Y=2)=-=-339339于是(X,Y)的概率分布表为(2)关于X和y的边缘概率分布分别为X和y相互独立a因为场，有口XPu=pg10.设,X，x“为总体X的一个样本，且X的概率分布为PX=(1-p)kp,k=l,2,3,。X,%，*为来自总体X的一个样本观察值,求P的极大似然估计值。答案：构造似然函数1.(p)=nP(X,，P)=11P(I-P)*-=p(l-p)InL=“Inp+(xi-)ln(l-P)=功p1-p解得P=/2七，因此P的极大似然估计值为6=Ex：11.已知某
14、种型号的雷管在一定刺激F发火率为4/5,今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X的概率分布。答案：X的可能取值为1,2,3,。记表示“第&次试验雷管发火”则4表示“第我次试验雷管不发火”从而得：.4Pj=尸X=】=尸（八）=W一-14p2=PX=2=P(A1A2)=P()P(A2P3=PX=3=P(AlA2Ai)=Pal)尸&)%/)=g)2Xtp*=PX=灯=PaI&田目)=g)JXS依次类推，得消耗的雷管数X的概率分布为PX=k=-(尸(A=123,)12.设占，X,，X,为来自总体X的一个样本，T为样本均值，试问Q=LE(X,.-反是否为总体方差DX的无偏估计量？为什么？答
15、案:Q=Lt(X,-TA不是总体方差OX的无偏估计量。设E*=u,DX=2,因为：EXE(-X=-EXiu1I0()=2；(v)=0,其它y求：E(X+F)和E(2X-3产)。答案：由于X服从U(l,3),故知EX=U=2；OX=J又Y服从参数为2的指数分布，所以EY=L、DY=-24因此得E(X+Y)=EX+EY=2+1/2=2；E(2X-3Y2)=2E(X)-3E(Y2)=4-3(DY+(EY)2)=4-=2-14.有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。答案：设A表示：“由甲袋取出的
16、球是白球”；8表示：由甲袋取出的球是黑球：C表示：从乙袋取出的球是白球。则，42+127XP=P（八）P(C)+P()P(CI)-X-+-X-=66+166+12115.甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8,乙击中敌机的概率为0.5,求下列事件的概率：(1)敌机被击中；(2)甲击中乙击不中；(3)乙击中甲击不中。答案：设事件A表示：甲击中敌机；事件8表示：乙击中敌机”；事件C表示：敌机被击中二则(1)P(C)=P(AUe)=I-P(AUB)=I-P(Afi)=1-0.1=0.9(2)P(AB)=P（八）P(8)=0.8(1-0.5)=0.4(3)P(,8)=P(Z)P(8)=(1-0.8)0.5=0.1
