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1、外接球专项训练参考答案一.选择题1、球0的半径为2,圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面,圆M和圆N的面积分别为2%和万，那么IMNl=OA.IB.3C.2D.5【答案】D1/2+1=R2【解析】因由球心距与截面圆的半径之间的关系得:,=J12+J=8-3=5,故dl+2=R-一MN=J片+理=6应选考点：球的几何性质及运算。2、在三棱锥-AC中，Jn*.1*-J=K=2,4C中点为M，那么此三棱锥的外接球的外表积为OA.B.2哥&6石D.h【答案】C【解析】如图，易知8M=(AC=1,PM=22-l=3,由余弦定理可得PB=Jl+3-2Q*等=2,因PB2+Ap=PA2,故P8_LA4；同理P
2、2+CB2=Pd,故P8_L8C,所以尸,A,8,C是棱长为Ji的正方体的四个顶点，其外接球就是正方体的外接球，半径为R=F,所以外接球的面积为S=4;FXg=6%，应选Co4考点：球与几何体的外接和外表积的计算公式。3、球0的球面上有四点S,A,8,C,其中O,A,8,C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，面SAZ?_L面ABC,那么棱锥S-ABC的体积的最大值为0A.-y-B.Jc.23D.4【答案】A解析】设球心和ABC的外心为0，延长CO交AB于点P,那么由球的对称性可知PDAB,继而由面SAB_L面ABC可得PDLMBC所在的平面，所以PO是三棱锥的高；再由0,A8,C四点共面可知
3、。是ABC的中心，故OP=乎,R=手，当三棱锥的体积最大时，其高为Po=J(W)2-(f-=1,故三棱锥的体积的最大值为gx宇x22XI=乎，应选A。考点：几何体的外接球等有关知识的运用。【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。此题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。解答此题时要充分利用题设中提供的有关信息,先确定球心。的位置是三角形ABC的外心，再求外接球的半径R=W-并确定当Po为三棱锥的高时，该三棱铢的体积最大并算出其最大值4、在三棱锥P-ABC中，F4L面ABC,PCLAB,假设三棱锥PA
4、BC的外接球的半径是3,S=Sbc+Sbp+Sacp,那么S的最大值是0A.36B.28C.26D.18【答案】D【解析】因为4_L面4BC,所以Q4_LA4,P4_LAC,又因为PC_LAM,所以A3_L平面PAC,所以ABAC,所以有A82+AC2+a尸=(2x3)2=36,那么由根本不等式可得SSc+Slip+Scp=ABAC+ABAP+APAC）AB-+AC2+AP-）=?,当且仅当AB=AC=AP时等号成立，所以S的最大值是36,应选D.考点：1线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质：3.根本不等式.【名师点睛】此题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、根本不等式，中档
5、题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用根本不等式来求解.5、如下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体外接球的外表积为（）A.8乃B.16;rC32;rD.64乃【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为2近，外表积为4仪2应产=32，选C考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为
6、平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体量的关系，列方程（组）求解.6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，那么该几何体外接球的外表积为O20质CC19乃A.B.8/rC.9/rD.33【答案】D【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如下图，0为球心，E为等边三角形BCo的外心,由图可知N =0尸2+c/21919;TV，故外接球面积为丁 123考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为X,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质
7、求；而其它不规那么图形的外心，可利用正弦定理来求.假设长方体长宽高分别为a/,c那么其体对角线长为JY+U+M:长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.7、如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图，那么该四面体的外接球半径为OA.2B.C.JiTD-2J3【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体，如图，其中正/N尸的边长为4,其外接圆的半径4=等，同样正AM|N6的外接圆的半径是4=符，由球的对称性可知球心O必在正方体的对角线AC上，且Aa=Z=尊,CQ=必=手，该球经过
8、六个点M、N,P,M,N,P,设球心。到平面N出的距离为4;球心0到平面NP的距离为乙，而两个平面MN尸和/N/之间的距离为d=4j-(/J+%)=T=4+%,那么由球心距、垂面圆半径之间的关系可得*=片+总内=/+片，所以d；-d:=L-G2=8,即d；-d：=8,又%+%=华，将其代入/-:=8可得乙一4=2石，由此可得2=W,所以f2-+=y+=y=Jl1所以外接球的半径我=VTf,应选C.考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算.【易错点晴】此题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道
9、是一个三棱锥(四面体)是没有任何用的通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体，如图，正/NP的边长为4I,其外接圆的半径4皆，同样正AMN/的外接圆的半径是G=,，由球的对称性可知球心。必在对角线上，且经过六个点M,N,P,M,M/,设球心。到平面AMN/的距离为4；球心0到平面,NP的距离为4:,而两个平面MNP和M1N1P1之间的距离为d=4石-（九+他）=、一=4+弘，那么由球心距垂面圆半径之间的关系可得R2=drR2=d；十,所以d；一42=02一g=8,即-J12=8,又4+&=丁，将其代入*-年=8可得4-4=2后，由此可得乙=*，所以解=4+=-+-=-=11,所以外接球
10、的半径A=Jn,其中计算%,他时可用等积法进行.8、一直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球0的外表上，那么球0的半径为OA.B.6C.VD.3【答案】A片=（?+（也.3户nR=变【解析】球0的半径满足232考点:外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体量的关系，列方程（组）求解.9、假设某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和正昆图
11、图I侧视图如下图，那么此几何体的外表积A.24B.24n+8JiC,24K+4侦UD.32答案：C10、三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2,SA=S8=SC=2,那么三棱锥的外接球的球心到平面A8C的距离是（）（八）y-(B)1(C)3(D)竺【答案】A【解析】因为三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2,.S在面ABC内的射影为AB中点，.SH_L平面ABC,.S上任意一点到AB,C的距离相等.SH=6CH=I,在面SHC内作SC的垂直平分线MO,那么O为S-ABC的外接球球心.SO=之陋OH=立SC=2,.SM=1,NQSM=3
12、0。，一33,即为。到平面ABC的距离，应选A.考点：球内接多面体；点到面的距离的计算.名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系.(2)假设球面上四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条恻棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，那么球心必在此垂线上.11、三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，A8=2,SA=SB=SC=2,那么三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是()t(B)1(C)收(D)笠【答案】A
13、12、某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥外接球的外表积是()71734JA.乃B.34C.乃D17J34r2 3【答案】B【解析】几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为4,3,3,因此四棱锥外接球直径为长方体对角线，即2R=j32+32+42,外表积是4/TR2=34%.选B.考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄消球的半径（直径）与该几何体量的关系，列方程（组）求解.13
14、、三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,那么此棱锥的体积为）&妻A.-B.C.D.6632t答案】A【解析】连接OAo民。e，那么由得OA=OB=OC=A8=8C=AC=1,可知三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为手，那么三棱锥s-ABC的高为手，所以三棱锥S-ABC的体积为XX-X-.3436考点：三棱锥外接球.14、半径为1的三个球AB,C平放在平面a上，且两两相切，其上放置一半径为2的球0，由四个球心AB,C,0构成一个新四面体，那么该四面体外接球0的外表积为（）243A. 冗23243 C 1K69B. 乃 C.
15、97T D. 一-乃9223【答案】A【解析】由条件可知，该四面体是底面边长为2的等边三角形，且侧棱长为3.该四面体外接球半径计算公式为R=匕生，其中X为底面外接圆半径，力为高此题中X=手,人=牛，故4 23R =漫 4百=4公.6946Z +381-69243熏4-23-2323考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥S-ASC中，M是SC的中点，且AM_LS8,底面边长AB=20,那么正三棱锥S-ABC的外接球的外表积为()A.6tB.12tC.32乃D.36;T【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出ACj_SB,结合SBJ_AM,得到SBj_平面SAC,因此可得SA、SB、SC三条
16、侧棱两两互相垂直.最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的外表积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的外表积.取AC中点,连接BN、SN,YN为AC中点，SA=SC,AC1SN,同理ACJ_BN,.SNCBN=N,.ACJ_平面SBN,.SBu平面SBN,ACSB,YSB3rCD.16乃3 3【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得AC=2,4厅+8e2=AC2,满足勾股定理，ZABC=90,PA_L底面ABC,所以PA_L8C,那么8C_L平面PAB,所以8C_LP8,那么直角三角形尸ACP8C有公共斜边PC,所以三棱锥的外接球的球心就是PC的中点0，PC是其外接球的直径，PC=4,
17、所以外接球的外表积S=4欣2=16乃，应选D.考点：球与几何体17、直三棱柱ABC-AlBCl的6个顶点都在球O的球面上，假设AB=3,AC=4,ABlAC,AA1=12,那么球O的外表积为为OA.153;TB.160%C.169乃D.360;T【答案】C【解析】由题意，三棱柱ABC-AFlG为直三棱柱，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱，那么四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为2色2+4+122=132那么三棱柱ABC-AlBlClI外接球的外表积是4万/?2=169;TCm2.应选C.考点：几何体的外接球18、如图，A8CO-AgGA是边长为1的
18、正方体，S-ABCD是高为1的正四棱锥，假设点S,A，4,G，2在同一个球面上，那么该球的外表积为O“9n254981A.TfB.*C.一D.JT16161616t答案】D【解析】按如下图作辅助线，0为球心，设0Gl=X,那么Oq=So=2-x,同时由正方体的性质知用GL那么在Rmo鼻G中，OBf=G1S12+OG1-,Sp(2-x=+半J,解得尤=：,OGl所以球的半径R=O4=二，所以球的外表积为S=4iK=77i,应选D.考点：1、球内接多面体的性质：2,球的外表积公式.19、在平行四边形A6C。中，ABBDf4AB2+2BD1=,将此平行四边形沿BD折成直二面角，那么三棱锥A-BCD外
19、接球的外表积为()A.B.笈C.211.42【答案】A【解析】因为平行四边形ABCD中，ABLBD,沿BD折成直二面角A-BD-C,所以三棱锥A-BCD的外接球的宜径为AC,且AC2=AS2+GO+82=248?+8L2=L,所以三棱锥2A-Bs的外接球的半径为三-，所以三棱锥A-BeD的外接球的外表积为4%x77=u:应选A.4162考点：1.平面图形的折叠问题：2.多面体与球的组合.20、如图,在菱形ABC0中，/84。=60,43=2质,为对角线6r的中点,将4也沿8r折起到APBD的位置，假设NPEC=I20,那么三棱锥P-BCf的外接球的外表积为()A.28jtB.32%C.16,D
20、.12乃【答案】A【解析】设M,N分别是等边三角形PBnCBD的外心，那么QN=I,NC=2画出图象如下列图所示，由图象可知，NAfaN=I20,NoQlN=60,故ON=Itan60=3,R=OC=-Jon2+NC2=3+4=7,外接球面积为4也片=4万7=2&r.考点：球的内接几何体.21、从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60。角，且分别与球O相切于A,B,C三点.假设球0的体积为36兀，那么。，P两点间的距离为（）（八）3（B）33（C）3（D）6【答案】B【解析】连接OP交平面ABC于O,由题意可得：ABC和AftAB为正三角形，所以OA=穹巨=弯C.因为AOLPO,OALP
21、A,所以奈=黑，所以AP_OP=OA-=0A.又因为球的体积为36万，所以半径OA=3,所以0P=3J.AOr考点：点、线、面间的距离计算.【思路点睛】连接OP交平面ABC于O,由题意可得：Os=正竺=乌C.由33AO1PO,QA_LB4可得,根据球的体积可得半径QA=3,进而求出答案.OAAO22、在半径为1的球面上有不共面的四个点A,B,C,D且AB=CO=X,BC=DA=y,CA=BD=z,那么Y+V+Z2等于（）A.16B.8C.4D.2【答案】B【解析】如图，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为,b,c,那么/+U+c2=22=4,根据题意，a2+b2=x2,b2+c2=y2,a2
22、+c2=z2,那么x?+y2+?2=2（。？+/）=8：应选B.考点：多面体与球的组合23、牟合方盖是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其直观图如下图，图中四边形是为表达其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是0【答案】B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆，所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线且为实线的正方形；
23、应选B.考点：三视图.24、某一简单几何体的三视图如下图，该几何体的外接球的外表积是OA.I3*B.6-C.2$*D.2Zt【答案】C【解析】从三视图可以看出该几何体是底面对角线长为4正方形高为3正四棱柱,故其对角线长为I=32+42=5=2/?,故该几何体的外接球的面积为S=4欣2=25乃，选C.考点：三视图与几何体的外接球.25、如图，边长为2的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点4AED,EBF,ZUD分别沿DE,EF,FD折起，使A,B,C三点重合于点A,假设四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，那么该球的半径为（）A.忘B.或C.史D.亚222【答案】D【解析】因为折
24、起后AB,C三点重合，所以4E,AE,A0两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为1,1,2的长方体的外接球，球半径R满足4/?2=F+f+22=6,R=中，应选D.考点：几何体外接球的性质.26、三棱锥S-ABC,满足SASB,SBSC,SClSA,且SA=SB=SC,假设该三棱锥外接球的半径为代，Q是外接球上一动点，那么点Q到平面ABC的距离的最大值为（）643A.3B.2C.3D.3I答案】D【解析】因为三棱锥S-ABC中，SASB,SBSC,SCSA,且SA=SB=SC,所以三棱锥的外接球即为以SA,S8,SC为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为道，所以正方体的对角线长为2
25、JJ,所以球心到平面ABC的距离为gx手=弓，所以点Q到平面ABC的距离的最大值为6+*=f,应选D.33考点：球的性质及组合体的应用.27、一个直棱柱的三视图如下图，其中俯视图是一个顶角为120。的等腰三角形，那么该直三棱柱外接球的外表积为OA.20%B.今叵乃C.25%D.255【答案】A角形的外接圆宜径为上力Sin 3【解析】由三视图可知，该三棱柱为底面为顶角为彳，两腰为2的等腰三角形，高为2,底面三4,半径为2,设该三棱柱的外接球的半径为R,那么A?=2?+11=5,所以该三棱柱的外接球的外表积为S=4%朋=20%，应选A.考点：L三视图：2.球的切接问题：3.球的外表积.【名师点睛】
26、此题主耍考查三视图、球的切接问题、外表积公式及空间想象能力、运算能力，中档题；识图是数学的根本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，此题将这些能力结合在一起，表达了数学的实用价值，同时也考查了学生对球的性质与外表积公式的掌握与应用、计算能力.28、某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，那么此四面体的外接球的体积为O4;TW乃A.3B.2C-疗D.3乳【答案】B【解析】由题意此四面体是棱长为石的正四面体，其外接球半径为冬H/所以9X金Y=率应选B考点：三视图，外接球，球体积.【名师点睛】正四面体的内切球与外接球：（1）正四面体的内切球，如图.位置关系：正四面体的
27、四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为，高为人；球的半径为R,这时有4R=A=-;（可以利用体积桥证明）（2）正四面体的外接球，如图5.位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为。，高为；球的半径为R,这时有4R=31=J%:（可用正四面体高R减去内切球的半径得到）29、如下图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC_LBC,BC=BB=2,AC=4,点M是线段AB的中点，那么三棱锥M-ABC的外接球的体积是（）“2O5广4A.36%B.%&06%D.一133【答案】A【解析】由题意可知MA=M8=3AB=
28、逐，取AB的中点0，连接MD,CD,在直角CD中，MC=Rmd1+CD2=，所以点M在平面ABC内的射影是AABC的外心,即为AB的中点，设三棱锥M-ABC的外接球的球心为O,由球的截面性质可得（MO-厅+e02=/,即（1-r）+5=/,解得=3,所以其外接球的体积为V=一%*=36%,应选A.考点：棱锥与球的组合体及球的体积.【方法点睛】此题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积，考查了考生的空间想象能力属于中档题.此题解答的关键是根据条件求得M4=MB=MC,从而判断点在平面ABC内的射影位置，而MBC又是直角三角形，其外心位于斜边的中点上，据此可知三棱锥M-ABC外接球的球
29、心在MD上，根据球的截面性质得到球的半径，求得其体积.30、球面上有四个点A,B,C,D,球心为点0，0在CO上，假设三棱锥A-BCD的体积的最大值为：，那么该球O的外表积为OA. 4B.16;TC,16/r32%D.【答案】B【解析】设球的半径，首先因为0在C。上，所以CQ为球0的直径，ABCO为直角三角形，CO=2r,假设使三角形的面积最大,那么点B到边Co的距离最大即可，因为B,C,0三点共面.所以最大距离为半径，三角形BC。面积的最大值为;2rr=/;当点A距离平面BeD最大时为11O，那么三棱锥A-88的体积的最大值为产=/=5，f=2,所以该球的外表积为3334-4=16,选B.考
30、点：L球的外表积：2.棱锥的体积.31、一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下列图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.那么这个四面体的外接球的外表积是OA.2nB.3nC.4兀D.511【答案】B【解析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为6,利用球的外表积公式得s=4万（亭）2=3乃，应选b.考点：球的结合体.32、在四棱锥P-ABa）中，P8_L底面ABC0，底面ABeD是边长为2的正方形.假设直线尸C与平面PDB所成的角为30。，那么四棱锥P-ABe的外接球的外表积为.【答案】12【解析】连结AC交BD于，那么可证得ACj平面PDB,连接P,那么NCP就是直线PC与平面PO8所成的角，即NCPH=30,C=,.PC=2,.PO=2JJ,.四棱锥P-ABCD的外接球的半径为G,那么所求外接球的外表积为12%，故应填12%.考点：四棱锥的外接球的面积及求法.33、矩形ABCD的顶点都在半径为R的球。的球面上，且48=6,8C=2J,棱锥O-ABCD的体积为86,那么R=.【答案】4V-x6x23-83,=2【解析】由题可得四棱锥的侧棱为R,那么3,再山，2+(2回=4考点：多面体与外接球.
