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1、实数与二次根式拔高讲义模块一实数的概念及其分类1 .实数的概念实数：有理数和无理数的统称.2 .实数的分类实数整数有理数分数正整数O负整数 正分数 负分数有限小数或无限循环小数无理数.正无理数负无理数无限不循环小数【例1】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示.其中错误的说法的个数是（）41B.2C.3D.4模块二平方根、算术平方根、立方根平方根：如果一个数的平方等于品那么这个数叫做d的平方根，记作五，正数有两个平方根,负数没有平方根，。的平方根是0算术平方根：正数a的正平方根，记作
2、&；0的算术平方根为0立方根：如果一个数的立方等于2那么这个数叫做a的立方根，记作指，正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根，0的立方根是0.【例2】设。是整数，则使场为最小正有理数的。的值是.【例3】已知。-2的平方根是3,勿+6+7的立方根是2,求心+可的算数平方根.【解析】一2=（3）2,.=11;2a+O+7=23且=ll,.b=-2f.T=ll+(-21)=i模块三二次根式的基本概念及化简二次根式概念二次根式的概念：形如而(。之。)的式子叫做二次根式.二次根式的基本性质：(1)后之。)双重非负性；(2)(G)2=(40)；(3)4a=a=a”)1 1-a(O,:.a0【答案】。,
3、b0Ix2-2x+4巩固】当X时，V7有意义.【解析】对二次根式定义的考察，通过观察可以发现/-2x+4=(x-1)2+330,.要使2440x-3,x-30即可，.x3.【巩固】如果式子YIi根号外的因式移入根号内，化简的结果为()A.y-aB.夜-1C.7D-l-【例6】化简：-4x+4+1-其中icbc=ab)c(c0).-Jajb=4ab(a0,b0)t(3)yfbNb(aO,bO)(4)(7)2=r(0)同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念.二次根式的运算是在有理式(
4、整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等.，=l22l2212,【例7】已知)匕X4-5X,则i+y2二.,X2-2=O,y=2X2+y2=6上心之0由题可知：l4-5x总结：二次根式有如下重要性质：(1),说明了耳与同、一样都是非负数；(2) (G)2=(0),解二次根式问题的途径一通过平方，去掉根号有理化；(3) 2=a,揭示了与绝对值的内在一致性.著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题.腼化简卜*康，所得的结果为（）111+A,n+1B.+1C,n+1 + 11
5、5 + 1)2L1%2I11+l2k丁丽二匕i-Lnn+6+43+32(6+3)(3+2)【例9】计算:M+i7-ii-?(2)i+14+15+T3+3+5+3+75+57+4947+47493I5-10-26+3-2+18(4)5+23 + l33+32【解析】若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口.而+6I,一一（1）原式=(/6+J3)(J3+y2)(6+3)(y3+y2)(J+)(/6+/3)=(G-应)+(_)=#_应.=(6+7)-6(6+7)(-6)(4+7)(2)原式一2(+7
6、)+(5+7)-(应+-)(有+)（3）考虑一般情形(2+l)(2-1)(2-I)J(2+1)J2r+1J2n-1(J2+1+J2n-1)(2+l-2”1)(2z+l-2h-1)LI1、-，=-=-()y2n+y2n-(2n+1-2w+1)22?+12n-122w-l2zz+l4*-+-+(者-面=左9号；二(371?-加)+(18-2#)+(36-扬(4)原式+23+l(36-返)(6 + 26 +1) _ 3g _小+2小+1636-应)+2向3?-伪+(3?-应)5+23+l模块五化简求值a+b-2-7-1-4Jb-2=3Jc-3-c-5【例10】已知2,求4+b+c的值.【解析】已知条
7、件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.原式可化为：(T)2-2T+1+(2)2-22三T+22+-(c3)2-23c3+92=02(Ja-1-1)+(Jb22)2+(JC-3-3)2=0/即2,因此有Q-1=。，得2；b-2-2=0,得力=6；c3-3=0j得c=2.故+0+c=2+6+12=20.一+1212/TimHmnn2+1 3 + 5 正一1 2【例11】设近T的整数部分为例小数部分为，求2的值.2/5-1)=5即2故原式222【例12】己知“&+1,求代数式Y+3x-5的值.Aa+1=&-1,得x+l=应故原式=(x+1)
8、2+(x+D-7=()2+-7=-5【例13】X 已知及+1,求代数式K的值.化简x=-l,一+所以丁=-=(-l)+(应+l)=2故原式122242m+frnn若m0,n0f且而(而+5而=3而而+5M),求?_3+的值【解析】由已知等式，可得?+2向-15=即（而-3而（而+5而=O又因为，%0,n0故+50所以-3J=0,得利=9，2X9+yj9n222n22故原式9n-3+9-97-9y/S1X3+X1X=X=114若2,求X4的值.小-1【解析】设产丁，则Q=I，+y=x3+x+,x2l+yx2+xx+lx+yl+yx故原式/dVXX2XX例5我+2+1+办2一1+五2一2工+1,求
9、/+/+/(2。11)的值;1_a-b_a-b【解析】注意到“H+/(a2+ab+b2)(a-b)a3-b3原/(幻可化为：fM =M(+y/(x+i)(x-i)+#(1)2(T)2+(xT)27T-11x+l-(x-l)fe（l）（3）+/（2OU）T距-而）+丽-蚯）+（标-频）模块六多重二次根式双重二次根式：形如病至，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式.多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式.双（多）重二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法.【例16】化简：（l）5+26J9-4-【例化简：（1）9-214 J
10、I 6-4?【答案】 7-2 . 7K)-6【巩固】化简：（1） 一厉小23-6/0 + 4行-2点（1）原式二;(回-)25 2)【解析】【解析】（1）原式=J（6+应）2=G+&；原式=J9-2闻=J（百-J）2=必2化筒.J4-JlO + 2f+ +【例18】【解析】设原式=Xa),则X2=(4-10+25)+(4+J10+2百)+27(4-y0+2)(4+/10+25)=8+26三2A=8+2(-l)=625=(+l)2x0,.原式=返+1巩固化简：13+2+27+235【解析】被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2,可以看成是将a+血+6平方得来的,因此用待定系数法来化简.13+
11、25+27+235=xr+y+z两边平方得x+ y+ z = 13Xy = 5=7zx = 3513+25+27+235=x+z=2xy+2xz+27j7x=5)，=1所以解得Iz=7,所以，原式+正+【例19】求根式-/+亚-亚+厂的值.【解析】用构造方程的方法来解.设原式为M利用根号的层数是无限的特点，有y2-y2+x=Xgp2-=2+x,两边再平方得/-4x2+4=2+%所以J4f+2=0观察发现，当J=-1,2时，方程成立.因此，方程左端必有因式+l)(x-2),将方程左端因式分解,有(x+l)(x-2)(x2+x-l)=OX=-LX=2,X=4x=-l,X=2,X=所以2,又因为x2
12、,所以2都舍去.1y/SX=所以2,【例20】若同表示实数。的整数部分，则IjI6-6.等于().A.1B.2&3D.4.【难度】311_3+7【解析】业-6/j32-237+(7)2(3-7)23-42173,.23+(3-2)2+(4-3)2+y(y5-f4)2(6-5)+6-疵+(8-7)2+7(9-)2/21+V2+5/4/3+yjs-tl+3=3-1=2巩固求婀丽FM而E港小T的值.三1本体的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味的蛮算.设根号内的式子为A,注意1二2-1,及平方差公式(十份(一份=6一，所以A=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(2256+1)+
13、1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1).(2256+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)(2256+1)+1=(2256-1)(2256+1)+1=22x256_1+1=22x256所以，原式=啡诲=2?=4.模块七与二次根式有关的最值问题【例22】代数式+&万+J=的最小值为()A.0B.1+应C.1D.不存在的【解析】本题是借用取值范围求最值.由二次根式有意义的取值范围知，被开方数必须非负所以xT,x-2解得x2被开方数越小，算术平方根的值就越小所以当=2时J7+x-1+Jx-2取得最小值,其值为1+&,故选B【例23】设Ky都是正整数，且使4T16+Jx+100=
14、y,则7的最大值是.【解析】本题采用了因式分解与枚举法结合求最值得方法.因为筋/是正整数，又不在被开方数中，不易直接讨论，我们先用换元法把它有理化处理，再相机处理之.令x-l16=,Jx+100=b6为正整教则X=/+116,x=_OO./2+116=-100即加一=2i6=2M33因式分解得：S+)S-)=2333而匕一。奇偶性相同,右边是偶数所+、力-。同为偶数且h+H7+a=223233j2232/=55;29;21b-a=221,23解得1/?=53;25;15所以y=108,54,36,故加=1。8【例24】若J+y2=20,则而二T+J23y的最大值是.【解析】本题借用基本不等式求
15、最值.本题是条件最值问题,变量小/需满足一定的条件.先采取变量换元,令JII-X2=,23-=b(070)则11炉=/,23_y2两式相加得34-/一丫2=/+/因为9+y2=20所以/+从=43+4=14+2而由基本不等式知2加+从=14,当且仅当=b时,而达到最大,此时JllT*23-丁即J*”又X2+9=20解得/=16且V=4故JlJx2+J23-V达到最大值为+=2.1+炉+/_J1+Yt例25若x0,求的最大值是.X【解析】本题采用倒数法求最值.易知原式取最大值须满足。此时+2+-iT7y+2+X4VlX4出+“F7由此可知，当一嚏二(即X=I)时，上式的最小值为6+应.26实数a
16、满足J:一方+1+J36T26/+片=K)Tb+3Tb-2,则十从的最大值为.三1首先根据数的开方的基本公式：值T4把原条件等式等价转化为：|fl-l|+|t7-6|+|/?+3|+|Z-2|=10由绝对值的性质kl+k-63T)T-6)=5Ib+3+B-23+3)-S-2)=5所以T+”6+b+3+R-210此等号成立的条件为：6,-3212+=*=1是有理数;+汇方=啦啦=。是有理数._1_ 【练习3】已知“6 + 2,求l+3-5x + 3 的值.【解析】由条件得4=正-2,即x+2=5,两边平方并整理得x2+4x-1=0=x(x2+4x-l)-(x2+4x-l)+2故原式=(d+4x2
17、-X)-(X2+4x-1)+2=2【练习4】计算：2F+103y2+2310099+99i11【解析】先看通项(+1)6+1+而yj +1 - y/nyjn +1 friJ1_G n + -Jn+1-ynJn+fn(yJn+G)(Jn+1一品)故原式=QW)+6-3 +喘-焉)句1To910练习5】已知：2002x5=2003y3=2004z3,取0,2002+20033*3+2004z3=2002+2003+2004+-求XyZ的值.解析】设2002V=2003/=2004z3=(k0)3K3y39X=V=,Z=则2002,20032004,/Ppa_Cn：CAn、a112002+2003+
18、2004XW2002x+2003y+20043二Y200220032002+2003/+2004z=+003+004.,2002003004=.002+003+004炉火33KK石X=V=,Z=3,2002,20032004120021_#2003120042002+:2003+20041+1+1XyZ=1=阴=耳.解：原式1计算+1)2001-2(+1)2000-2(y3+1)1999+2011=(3+1),999(3+1)2-2(3+1)+1-3+2OI1(3+1),9w(3+1-1)2-3+2O11=2O11化简.11+2l8第式+2=(眄+=3+y2752-22(1)J2(6-2币-2正+VU)4小+1解析(1)72(6-23-25+15)=12-43-45+2f5=74+3+5-22-225+2=(2-3-5)2=2-3-5=3+5-22-25+lf(5 + 2)(-l) V(5 + l)(5-l)卜小-2)(小-1)V(5+l)(5-l)-yj(y2-)22+=共有2011层Ia的值.a=J2+1,/.=丘1【解析】先计算几层，看一看有无规律可循.应+1I49+=J?-1+2=2+l=tz2+=J2-1=-=y2-a,所以，不论多少层，原式a
