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1、11到33平方数记忆Il2=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361212=441222=484232=529242=576252=625262=676272=729282=784292=841312=961322=1024332=1089两数积一定，差越小，和i幽小。两数和一定，差越小，积越大。平方差公式2-b2=(+b)(b)完全平方公式22(a+b)=a2+2ab+b2(ab)=a2-2ab+b2平方与立方数列求和公式I2+2232+42+MJ】i】)6l3+23+33+43+n3=(I+2+3+4+n)2二弊
2、产勾股定理q2+力2=c232+42=5252+122=132等差数列通项公式n=1+(n1)dn=(nQl)d+1sn=(1+an)n2山顶金列求加l+2+3+.+n+3+2+l=n2奇数列求和公式(天下无双，个数平方，必须从1开始)l+3+5.+(2n-l)=n2偶数列求和公式2+4+6+.+2n=n2+n同补速算(头同尾合十)如：51X59=30095(5+1)=3019=09补同速算如：34X74=2516(3X7+4)=254X4=16几位数乘几个“9的速算，去一填补。如：35X99=34655678999999=5678843211重码数速算abcabc=abcX100labcda
3、bcd=abed10001abcabcabc=abc1001001n个1Xn个1111-111X111-111=123.n.321（nW9）如：IllllX11111=123454321n个Xn个9相乘111.111X999.999=1111088889n个9n-l个1n-l个8如：1111X9999=11108889n个3Xn个34相乘333.333.334=111.1222.2n个“3”n-l个3n个1n个2如：3333X3334=11112222373n=nmi（n是19的自然数）如：3739=999854713n=nnnnnn（n是19的自然数）如：8547X134=444444123
4、456799n=nnnnnnnnn（n是19的自然数）如：1234567994=444444444n个9Xn个9相乘2992X99.9=99.9800.01n个9n个9n-1个9n-1个0如：9999999999=9999800001现有lg，2g,4g,8g,16g糖果各一包，整包出售，可以卖的克数有多少种？211-l种如：lg,2g,4g,8g,16g25-1=31种100以内质数25个2357111317192329313741434753596167717379838997局部特殊数的分解111=3X371995=35X7X191001=7ll131998=23333710001=73
5、X1372007=33X22310101=3713372023=22X2X25111111=41X2712023=513X31111111=371113372023=2X19X532023=2*2*2*2*2*3*3*72023质数分数的裂项裂和:裂差:+ba,b11=十=一十一bbbbab-aba11bbbab（a 1、a 2为n的公约（a 1、a 2为n的公约数）1_a1+a2_a1+a2nn(ala2)n(ala2)n(ala2)数）如:4_4X(1+3)_1+11515(1+3)-15丁51_a1-a2_a1_a2nn(a1-a2)n(al-a2)n(a1-a2)如:3_3x(4-l)
6、_12_3_1_12020(4-l)-6060152O数的整除特征1 .能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数2 .能被5整除的数的特征：个位是O或5。3 .能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。4 .能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。5 .能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。6 .能被Il整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。假设奇数位和小于偶数位和方法一：添加11的倍数给奇数位和然后再减偶数位和。方法二：偶数位和减奇数位和后余数再取1
7、1的补数7 .能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。假设奇数段和小于偶数段的和方法一：添加7/11/13的倍数给奇数段和然后再减偶数段方法二：偶数段减奇数段和后余数再取7/11/13的补数8 .能被99整除的数的特征：一个整数从后两位开始两位一截所得的所有数的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数（同时能被11整除）注意：“牛吃草问题常用的公式“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。“牛吃草问题是小学应用题中的难点。解“牛吃
8、草”问题的主要依据：（1）草的每天生长量不变；（2）每头牛每天的食草量不变；13）草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值，新生的草量=每天生长量X天数。同一片牧场中的“牛吃草问题，一般的解法可总结为:（1）设定1头牛1天吃草量为“1”;(2) 草的生长速度=(对应牛的头数X较多天数一对应牛的头数X较少天数)(较多天数一较少天数)；(3) 原来的草量=对应牛的头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数；(4) 吃的天数=原来的草量(牛的头数一草的生长速度)；(5) 牛的头数=原来的草量吃的天数+草的生长速度。“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只
9、有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。进制转化N化10,看数位，个十百，1,n,n2如I：(463)8=()io=482+681+380=256+48+3=30710化N,看余数，前到后，个十百。如：865等于五进制的多少？865=(11430)进制计算，加减乘除，逢n进L借1当n。平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数。64=26,约数个数为6+1=7个78=2131131,约数个数为(1+1)(1+1)X(1+1)=8约数个数及约数求和任意整数N可以如下分解N=Pi1XP22XPFX,p1Pr是不同的质数,“卜Qr是正整数。N的约数个数是：3+1)X
10、&+1)X(ar+1)N所有约数的和是：(1+P1+pl+P11)X(l+p2+P2+P?2)X(l+pr+Pr+Prr所有奇约数的个数和奇约数的和例如：例如:360=23325奇约数32X5,奇约数个数为(2+1)(1+1)=6奇约数的和为(30+31+32)(50+51)=78所有偶约数的个数和偶约数的和例如：360=23325,偶约数个数为3X(2+1)X1+1)=18偶约数的和为(2122+23)X(3o+31+32)X(50+51)=1092所有约数的乘积例如：168的所有约数的乘积是多少？168=2337,先求处约数个数为4X2X2=161,2,3,56,84,168配对I-168
11、,2-84,共8对为1688约数为奇数个数的数为平方数，平方数的约数个数为奇数。64=82=26,约数个数为7个经典例题l23+234+345+910ll=-123(4-0)+234(5-1)+345(6-2)+9104IlX(12-8)1、/=-910ll124=2970浓度三角形甲乙甲：乙=10:20田7.建肪的盾也三阶幻方解法“萝卜法一居上行正中央，依次填在右上角，上出框时下边填，右出框时左边放，斜出框时下边放(出角重复个样)排重便在下格填。“萝卜法适用于所有奇数阶幻方(真牛)，比方9阶(了解)47586980112233445576879911223344466778810213243
12、5456777182031425355666171930415263657616272940516264755262839506172744153638496071733142537485970812132435幻方的其它概念：中心数和黄金三角的规律只适用于3阶幻方1 .中心数：中心数为对称两边数的和除以2比方8+2/2=5NLZJLIJ2 .黄金三角：黄金三角顶点的数为两腰之和除以2比方7+9/2二8归纳与递推计数一、欧拉定理平面图形：顶点数+区域数一边数=1二、求最多交点数(n条直线n(n-l)2三、分平面1、直线分平面：1+n(n+l)22、封闭图形圆分平面：2+nX(n-l)椭圆分平面
13、：2+2n(n-l)三角形分平面：2+3n(n-l)四边形分平面：2+4n(n-l)M变形分平面：2+Mn(n-l)四、多边形分三角形(n个内点)四边形：4+(n-l)2M边形：M+(n-l)2一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时,回来时顺水,比去时每小时多行驶8千米因此第2小时比第1小时多行驶6千米,求甲乙两地距离根据条件可知,这艘船第一小时时是不能到达B港的,只能到达的丙地（假设）.也就是说这艘船第二小时行的路程有两局部：第局部路程是以原速度逆流而上从丙到乙；第二局部路程是以新速度顺流而下从乙到甲.第二小时比第一小时多行的6千米,不可能在第一局部多行,必定是在第二局部路程（返回的路程）多
14、行的.返回时,每小时多行8千米,行多长时间才能多行6千米呢?由此可求出返回用的时间是,68=3/4（小时）那么在（第二小时内）行第一局部路程用的时间就是：1-3/4=1/4（小时）第二小时比第一小时多行了6千米,除去同样多的局部（甲丙间），多出来的6千米就是两个丙、乙间的路程.可求出丙、乙间的路程是：62=3（千米）去时的速度是：31/4=12（千米/小时）甲、乙两港间的距离：121+3=15（千米）页码问题王先生在编一本书，其页数需要用6869个字，问这本书具体是多少页？A.1999B.9999C.1994D.1995方法一:假设这个页数是A页,那么：A+（A-9）+（A-99）+（A-99
15、9）=6869,求出A=1994方法二：68692889,所以，把所有的数字看作是4位数字，缺乏4位的添O补足4位，1、2、3、，9记为OOO1、OOO2、0003、.0009这样增加了3*9=27个010、1。12、99记为O（H0、OOlk0012.0099增加了180个0100、101、999记为OIO0、OlOk-0999增加了900个0（6869+27+180900）/4=1994总结：一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页,N2889时,用添加0计算。4 .在1-5000页中，出现过多少次数字3?解析：每十个数里的个位上有一个3,5000个数就有5000/10=500个3,每一
16、百个数里的十位上会有30到39,10个3,所以（5000/100）乘10=500个3,每一千个数里的百位上会有300到399,100个3所以（5000/1000）乘IOc）=500个3,在千位上的3就有3000到3999,IOoO个3,所以500+500+500+1000=2500个35 .一本书有4000页，问数字1在这本书里出现了多少次？解析：我们看4000分为千，百，十，个四个数字位置千位是1的情况：那么百、十、个三个位置的选择数字的范围是0-9共计10个数字。就是10*10*10=1000百位是1的情况，千位是（0,1,2,3）4个数字可以选择。十位，个位还是0-9,10个数字可以选择
17、即4*10*10=400十位和个位都跟百位一样。那么答案就是1000+400*3=2200总结：因为在页码1-99中，1、2、3、4、5、6、7、8、9均会出现20次；在页码IOo-999中，I、2、3、4、5、6、7、8、9均会出现20*9+100次。上面两题均可以用公式,关于含“1的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/10乘以（数字位-1）,再加上10的（数字位数-1次方。如三位数：总页数的1/10乘以（3I）+IO的（3-1）次方四位数：总页数的I/10乘以（4一I）+10的（4-1）次方那么第4题：（5000/10）*3+1000=2500：第5题：（4000/10）*3+1000
18、=2200在1-5000页中，含3的页数有是多少？在页码199中，数字3出现了20次，即有19个含3的页码（33页要去掉一次）；在页码IOo-999中，分两种情况考虑：（1）首位数字是3,那么，后面两位就不用管了，一共有含3的页码100页：（2）首位数字不是3,那么必须考虑后两位数字含3,而前面知道，1-99中，有19个含3的页码，由于首位数字这时有I、2、4、5、6、7、8、9这么8种可能性，所以应该是19*8个含3的页码。此题，在1-999中，含3的页码哄19+19*8+100=19*9+100页；再引申到IooO-5000,也分两种情况：（I）千位是3,那么有1000页：（2）千位不是3
19、,那么只可能是I、2、4,只考虑后3位，有（19*9+100）*3个含3的页码。所以，合计是：19*9+100+（19*9+100）*3+1000=2084页7.99999中含有多少个带9的页面？答案是40951,排列组合学的不是特别好的同学可以牢记公式：（19*9+100）*9+1000*9+10000=40951规律很简单：19*9+100,代表1-999里含I、2、3、4、5、6、7、8、9的页码数：（19*9+100）*9+1000,代表1-9999里含1、2、3、4、5、6、7、8、9的页码数；(19*9+100)*9+1000*9+10000,代表l99999里含1、2、3、4、5
20、、6、7、8、9的页码数。2位数是19页，然后每多位数就乘以9,再加上10的N次方，N=位数减L一本300页的书中含“1的有多少页？19*2+100=138页将所有自然数，从1开始一次写下去得到：，试确定第206786个位置上出现的数字？A.3B.0C.7D.4解析：方法一：9999*4VloOOO*4=40000v206786v99999*5,那么肯定是5位数了。I,2,3,9记位00001,00002,00003z.00009这样增加了4*9=36个010 z11,12,.99记为OOOlO,00011z00012,.00099增力Il了270个0100,101,.999记为Oolooz0
21、0101,.00999增力Il了1800个OIOo(MOO1,，9999记为OloOO,01010,.09999增力口了9000个O(206786+36+270+1800+9000)/5=217892/5=43578余2,说明206788位置上的数就是第43579的第2个数字3方法二设有A页，那么：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)+(A-9999)=2067885A-(9+99+999+9999)=206786A=43578余数是2说明206786位置上的数就是第43579的第2个数字3一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次？解析：共有19
22、89/3+36=699页。即出现：(700/10)*(3-1)+100=240次11 .印刷一本书用了1992个数字，在这本书中出现数字2的页码有多少页？A.214B.226C.230D.240解析：有1992/3+36=664+36=700页，含有数字2的页码：6*19+100=214A小数化分数分成两类L类：纯循环小数化分数,循环节做分子：连写几个九作分母,循环节有几位写几个九.例：0.3(3循环)=3/9(循环节的位数有一个,所以写一个9)0.347(347循环)=347/999(3位循环节写3个9)另一类：混循环小数化分数,小数局部减去不循环的数字作分子；连写几个9再紧接着连写几的数是
23、几个就写几个0n-l! n!个0作分母,循环节是几个数就写几个9,不循环(小数局部)例0.2134(34循环)=(2134-21)/9900.所有分数中，不含有质因数2或5的数为纯循环小数。欧拉放错信封问题信封数放错可能10213249544N封信放错可能为n!X(l-+-+-+行程问题之猎狗追兔问题问题表达：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位：米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路程差速度差=追及时间”求解。单位的统一：在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。例如：相同路程内
24、，猎狗跑四步（狗步）=兔子跑七步（兔步），据此可以求出狗步与兔步的比，相同时间内（可以认为单位时间内）兔子跑3步（兔步），猎狗跑2步（狗步）进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步（或狗步）关键：具体是统一为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，假设路程差的单位为狗步那么速度要统一为狗步，反之统一为兔步。假设路程差为米或千米，那么统一成狗步或兔步都行。杀人问题1、直线型杀1留I2n杀2留工3n23杀3留14n24n34n杀m留1（m+1）m（m+1）2、环形杀工留12型，留末尾非2”型，变成2型（总数2“）22023人,杀1留L（2023q）2=1982杀2留工3”型，2X3型留末尾非3型，2X3“型，变成3型，2X3型（总数3）2X3或（总数23）2333人,杀2留1（33）+2X3=9号乎型100人杀2留1（100-2X33；23=692X3r型最小公倍数和最大公约数类型题目四部曲（a,b）=ka=mkzb=nk（mzn）=la,b=mnk
