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1、1.2空间向量基本定理典型例题考点1：空间向量基底的概念及辨析1 .若伉。是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是()A. b +c,b,-b -CB. a a + b abC. a + b a-b cD. a + b,a + b + c,c【答案】C【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对选项A： ,因此向量力+c,仇-b-C共面，故不能构成基底，错误；对选项B： ,因此向量夕，a + b -心共面，故不能构成基底，错误；对选项C：假设c = l( + 4 + (-b),c = ( +)a-)b,这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对于选项D： (a +
2、 b) + c = a + h+c ,因此向量+ b,+Z?+e,d共面，故不能构成基底，错误；故选：C2.已知凡d是空间的一个基底，则可以与向量W = + 2 c构成空间另一个基底的向量是()A. 2a + 2b-cB- a+46 + WC. b-cD. a-2b-2c【答案】C【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.【详解】因为24 + 25一c = ( + 2与 + (4-c),a + 4b + c = 2(a + 2b)-(a-C)a-2b-2c = 2( - C) -a + 2b),所以向量2 + 2力一 d，a + 4b+c 0-2-24?均与向量?，共面.故选：C3
3、.已知SAJ_平面ABG ABJ.AC, SA = AB = t BC = G 则空间的一个单位正交基底可以为()A. 1a*AC,AsB. 43,ACASC. j AB,I AC,IA5 jD,卜S,AB,苧 8C 【答案】A【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.【详解】因为SAj_平面ABC AB. AC都在面48。内，所以 S_LAe, SA AC.因为 A8工 AC, AB = B BC = 5 所以 AC = 2,又 SA=1, 所以空间的一个单位正交基底可以为（ar/acas.故选：A4.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向
4、量共线，则这三个向量一定共面B.若“0,则是钝角C.设他,A,c是空间中的一组基底，则+儿b+c,c + a也是空间的一组基底D.若对空间中任意一点O,有OP = ,OA+ O3 + （C则P, A, B, C四点共面【答案】ACD【分析】根据向量共面的定义可判断A,利用向量夹角的取值范围判断B,根据基底的定义可判断C,根据 共面定理可判断D.【详解】对于A,因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；对于B,若0,则是钝角或是180，B错误；对于C,因为,b,c是空间中的一组基底，所以,b,c不共面，假设+b力+ d,c + d 共面，则 + = /!（ +c） + （e + a）,
5、 =1即，1 1 矛盾，所以 + b,b + c,c + 4不共面，Z = 12 + z = 0所以M +6b + c,c + 也是空间的一组基底，C正确；对于D,因为OP = LoA+J8 + ,C且!+,+,=1 , 6326 3 2所以P, A, B, C四点共面，D正确;故选:ACD.考点2：用空间向量基底表示向量c,则 BE=（）【答案】A1 1 .B. -ci Hb+c22I ,D. a + b + c2【分析】由空间向量线性运算即可求解.【详解】由题意可得BE = BBI+BA+AE = BB+ BA + gAG= Bl+BA + -AC = Bl+BA + -(C-BA = -
6、BA + -C+B. =-a + -c+b.1 212、7 221 22故选：A.6.在平行六面体ABC。-A/GR中，M为AG与。的交点，若A8 , AD = h，=c,则下列向量中与相等的向量是（）11,11,1I111 1A. -a + -b + cB. a + -b + cC. ab + cD. ab + c22222222【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体A8CO A8CR中，M为AGBBR的交点,5.如图，在直三棱柱ABC-AqG中，E为棱AG的中点.设BA = , BB1 =bf BCBM = A + Ai +AyM
7、 =-AB +AAy + (1B1 + AiDi) = -a + c+-a + -b = -a + -b+c .故选：B7.如图，三棱柱A8C 18C中，M、N分别是叫、Ae的中点，设A8 a，AC = /?, 4 =C,贝IJNM=.【答案】a-b + -c 22【分析】由空间向量的线性运算即可求解.【详解】NM = NA+AM =-AN + B+BM =-C+AB+-AA =a-b+-cf 2222故答案为：-；/? + ； AH = AD CF = (-)CB f CG = (I-A)CDt 2(0,l).求证：E、F、G、四点共面.(2)若九二；，设M是EG和777的交点，。是空间任意
8、一点，用。4、OB、OC、。表示OM【答案】(1)证明见解析4212(2)0M =-OA + -OB + -OC+-OD9999【分析】(1)证明出而而,即可证得结论成立;1EM EH 11(2)由(1)可得出EH二一尸G,可得出EH 尸G,则一=-,由此可得出EM= MG,再结合空 2MG FG 22 间向量的线性运算可得出。W关于04、OB、OC、0。的表达式.【详解】(1)证明：因为E = AH-AE = ;IAo-U8 = 23O,FG = CG-CF = (-)CD-(-)CB = (-)BD,所以EH=EFG ,则E”尸G，因此E、F、G、”四点共面.1 IllB 1 UU1 ,2
9、1(2)解：当a=L时，AE = -AB ,即 OE-OA = -(OB-OA),可得OE = -OA + -O8 , 33333因为 CG = gc,即 OG-OC = I(OQOC),可得 OG = gC + OQ,121由(1)知，EH=-BD, FG = -BD,因此 E”二 一户G, 332又因为EH、FG不在同一条直线上，所以，EHHFG,FM FH 111 /x则 J =-,则 EM=-MG,-OE = -(OG-OM,MG FG 222v7所以，OM =-oe+-og=-oa-ob+-oc+-od333(33) 333)42 1- 2 -=-OA+-OB+-OC+-OD.999
10、9考点3：用空间向量基本定理及其应用9 .已知直线43, BC, 不共面，若四边形34GC的对角线互相平分，AC1=-A2yBC3zCC1,则+y+z的值为(),52HA. 1B. -C. -D.636【答案】D【分析】由题意A3,8C,CCj为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.【详解】由题意，知A8，BC，不共面，四边形BBCC为平行四边形，CCl=BBi ,A3,BGCC1J为空间的一组基底.AC1= AB+BC+ CC1 ,又 AC1 = xAB + 2yBC + 3zCC1 ,.x = 2y = 3 = , . = l, V =, 211：.x+ y + z =.6故选：D
11、.10 .己知兄瓦。是空间的一组基底，其中A8 = 2-3A, AC = a-cf AO = 2Z? + /IA若A, B, C,。四点共面，则入=()【答案】D【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(x,v),使得AB = x4C +)，AO,结合向求的数乘运算和相等向量的 概念计算，即可求解.【详解】由题意，设存在唯一的实数对Q,y),使得A8 = xAC+ yAO,艮2a - 3b = x( 一+)( + 义。，贝IJ 2a - 3b = xa + 2yb + (y-x)c ,34贝ljx=2, y = -, y-x = O,解得4 = 一.故选：D.U.已知空间四边形A8CO的每条边和对
12、角线的长都等于1,点E,尸分别是8C, A。的中点，则ABB的 值为.【答案】-/-0.5【分析】BC- BD，丽两两成60角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.根据题意48C。为正四面体，BC, BD，8A 两两成 60 角，BA BC = BA BD = BC BD = g, 由 AE = BE 3A = (BC-BA,CF = BF-BC = -BA + -BD-BC , 22所以 AECF =+111111111 1=X 1 XXI= .故答案为：-T12.如图，E、尸、G分别是正方体48CT)-AqGR的棱A。、AB. CQ的中点，”是AG上的点，GC也平面 EfH
13、.若 A3 = JL 则 A/=.【答案】1【分析】设4 = /IAG ,其中0W4W1,将七尸、EH、GC；用基底卜仇AQ,1表示，分析可知Gg、EF、七”共面，则存在？、eR,使得团=?M + GG ,根据空间向量的基本定理可得出关于用、/1的方程组，解出;I的值，即可得出A4的长度. 1 _ 1【详解】设 A = ；IAG ,其中OW4W1, EF = AF-AE = -AB-AD , EH = AH-AE = AB-AD-AA-AD = AB + -AD + AAx , GCi=GC+ CCi =AB +A.,因为GG 平面EFH ,则GG、EF、E”共面，显然GC、石尸不共线,所以，存在加、eR,使得由=zM + GC；,即 4A8 + (;I-T)AD+ /IAA1 =AB-： AQ)+ (JA8+AA1=f- rn + ?! AB - mAD + nAAy ,11C-m+-n= 22因为48, AO,相；为空间中的一组基底，所以，,-n 解得2 = ；，n = A1/T因此，AH=-AC1= = L故答案为：1.
