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1、3.2平面向量基本定理学习目标核心素养1 .了解平面向量基本定理及其意义.（重点）2 .能应用平面向量基本定理解决一 些实际问题.（难点）1 .通过学习平面向量基本定理提升 数学抽象素养.2 .通过平面向量基本定理解决实际 问题，培养直观想象素养.新知初探平面向量基本定理如果e/, &（如图所示）是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量。，存在唯 对实数九，22，使。=九6|+丸202（如图所示），其中 不共线的向量G，62叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.思考:若存在九，AzR, , /2R,且。=2】61+220, a=e+e,那么A, , 2, 2有何关系？提示由
2、已知得 e +2e2=e +2e2f 即(九一 1)e1 =(z2T2)e2.ei 与 02 不共线,*A W=O, 2 一丸2=0,. =, 21=/2.一初试身手1 .设g, 62是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底 的是()A. g, 2 B. +e2,3e+3e2 C. e,5e D. e e-e 答案B2 .设。为平行四边形ABC。的对称中心，n=4e, BC=6e2,则213也 等于()A.& B.OB C.OC D.ODDCf If If fB 如图，OB=IoB=,(ABBC)=20一3及.ab3 .已知向量。与是一组基底，实数X, y满足(3x4y)+(2
3、-3y)b=6+ 3b,则 Ly=.3 由原式可得，3-4y=6, 2-3y=3tx=6tIJ=3,所以 xy=3.4 .已知向量。与方不共线，且48=a+4b, BC=-a+9b, CD=3a-bf则 共线的三点为.合作探究2提素养- Z*4 Vi * VaW VIBI *B.对向量基底的理解【例1】 设0是平行四边形ABCO两对角线的交点，给出下列向量组:石与6；51与病；&与法；而与6, 其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()B.A.C.D.B 命与G不共线；& = 一诟，则尾与而共线；&与6不共线； (S)OD=-OBf则与罚共线.由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向
4、量才能构成一组基底，故 满足题意.规律方法考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个 平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示 出来.金跟踪训练豺1 .设e, 02是平面内一组基向量，且=e+2e2,力=-e1+e2,则向量e + e2可以表示为另一组基向量a, b的线性组合，即e+e2= + b.2 1W 一1由题意，设e+e2=+汕.因为 =e+2e2,8=e+e2,所以 e +e2=fn(e + 2ei)+n(e+ ei)=(m-i)e+(lm+ri)e.r _2m-n=fny由平面向量基本定理，得C l 1所以1 2m+=1,i
5、I=一?“E2用基底表示向量 1 * 1 【例2】 设M、N、P是AABC三边上的点，它们使BM=铲C, CN=QC4, 1 -AP=AB1 若AB=0, AC=b,试用 m 将MN、NP、PM表示出来.- If 2-*,解I 如图，MN=CN-CM=-QAC-mCBIf 2 f -= -A C-W(AB-Ac)aI -* 2 f 12=PC一铲 8=下-/同理可得NP=5_*M Cf f f f PM= -MP= -(MN+NP)=a+jb.规律方法平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示，转化时一定要看清转化的 目标，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合实 数与
6、向量积的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.Q跟踪训练2.如图所示，梯形ABC。中，AB/CDf且AB=2CO, N分别是DC和AB 的中点，若AB=a, D=b,试用 q, b 表示DC, BC, MN. /解I如图所示，连接CM 则四边形ANC。是平行四边J f - f 1形.则。C=AN=BC=NC-NB=AD-B=b-a/ L LAl* J f I(I 1MN=CN-CM=-AD-CD=-AD-AB=-a-b.“嘲3平面向量基本定理应用探究问题11 .如果eI，e2是两个不共线的非零向量，则与e/, 62在同一平面内的任一向 量出能否用勿，。2表示？依据是什么？
7、提示能.依据是平面向量基本定理.2 .如果打，62是共线向量，那么向量能否用4，62表示？为什么？提示不一定.当Q与e/, 62中的一个非零向量共线时可以表示，否则不能表示.3 .基底给定时，向量分解形式唯一吗？ 提示向量分解形式唯一.【例3】 如图，在AABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC, AM与BN相交于点P,求AP ： PM与8尸：PN.解 设俞=e, CN=e2f 则嬴=i+(=-3e2-e, BN=BC+CN=2e +e2.VA, P, M 和 3, P, N 分别共线，存在实数九使得筋=几=一及1一3屁2,BP=NBN=2e +ez.故 BA=B 尸+/=BP
8、-AP=(l+2)e+(3l+)c2.而B4=BC+CA=2c+3e2,由平面向量基本定理,：.AP=AMf 而=|赢：.AP : PM=4 ： 1, BP ： PN =3 : 2.母题探究1 .(变设问)在本例条件下，若国=。，汗=4试用。，b表示2 .(变条件)若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求A尸：PM与BP ： PN.解 如图，设局=e, CV= e2,则局=丘+ 为=-2及一0，V=BC+C=2e+2,VA, Pf M和8, Pf N分别共线，存在实数乙使得/=丸元;=一屁1一2屁2, BP=BN=2e+e2.故而=命+R =淳一筋=a+2)ei+(2A+)e2.A而最=辰
9、:+a=2e+2e2,由平面向量基本定理，+2=2, 2+ = 2t2 -2 -,AP=铲M, BP=mBN,：.AP ： PM=2, BP ： PN=2.规律方法用向量解决平面几何问题的一般步骤(1)选取不共线的两个平面向量作为基底.(2)将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题.(3)利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解.(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.1 .对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：一组基底是两个不共线向量；基底的选择是不 唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的 一组基底的条件.(2)零向量与任意向量
10、共线，故基底中的向量不是零向量.2 .准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个 不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题 时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得 以解决.当堂达标。国巩基1 .判断(正确的打“，错误的打“X”)(1)任意两个向量都可以作为基底.()(2)平面向量的基底不是唯一的.()(3)零向量不可作为基底中的向量.()答案(1) (2) (3)2 .下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为
11、一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.A.BSC.D.C 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确.3 .已知向量e, 62不共线,实数X, y满足(2x3y)e+(3-4y)ez= 6e+3e2,则 x=, y=.-15 -12 向量力，及不共线,2-3y=6, o ZI o解得 3-4y=3,4 .如图所示，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且=；A8,点、N在BCk,且8N=g8C求证：M, N,。三点共线.证明iAB=ef AD=Ci9 则8C=AD=e2.向量MN与MQ共线，又M是公共点，故M, N,。三点共线.
