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1、题型2奇函数+M模型问题Or1 .若对VX,yR.f(x+y)=f(x)+f(y)-4,则函数g(x)=f+/(力在-2018,2018上的最大值x+1和最小值的和为()A.4B.8C.6D.12【解析】解：,yeR.有/(x+y)=f(x)+f(y)-4,取x=y=0,则/(0)=(0)+f(0)-4,故/(0)=4,y=-xf则/(O)=/(x)+/(_%)-4,故/(x)+Jx)=8,令MX)=f(X)-4,则h(x)+h(-x)=O,故h(x)为奇函数，9r2g(x)=f(x)，设e(x)=-j,x+1x+1则g(x)=gc)+(x)+4,(-x)=-一奴工)，故次x)为奇函数，x+1
2、故y=奴x)+(x)为奇函数，故函数g(x)在-2018,2018上的最大值和最小值的和是8,故选：B.Px一x+9r24-+62 .已知函数/(%)=-一一，X-2020,2020,函数/(力的最大值、最小值分别为M,m,厂+3则M+7=()A.OB.2C.3D.4【解析】解：/(幻二W+6=Y+：+2(+3)=2+eX2+3X2+3X2+3令g()=ex-ex+x,则g(r)=ex-ex-x=-ex-ex+x)=g(X),可知g(x)在x-2020,2020上为奇函数，又y=炉+3在x-2020,2020上为偶函数，.?(JV)=二,”在X2020,2020上为奇函数，X2+3设以幻在x-
3、2020,2020上的最大值为f,则最小值为T,可得M=2+f,m=2-t,则+m=2+r+2-=4.故选：D.3 .已知/(幻=嘿需J+xosx(T轴1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M-N=SC.M+N=6D.M-N=6【解析】解：.g(x)=20102=4201091)二2=4Z_,由复合函数单调性的判断方法，知此20it+l2010+12010t+l函数在R上为增函数又y=xcosx为R上的奇函数，其最大值加最小值为0.M + N = g(-l) + g(1) =8-(-22010,+12、o z2 20102、o z22011/+；)=8-(+)
4、= 8- () = 62010+12010+1 2010 + 12011故选：C.4 .已知函数/(x)=*+Jl+2)+,+4在-8,8上的最大值和最小值分别为/、m,则M+m=(X)A.8B.6C.4D.2【解析】解：设尸(X)=/(幻一4,因尸(X)=加(x+l+f)+,为奇函数,X所以产(%)最大使+尸。何I=0,所以(X)最大值-4+(x)jft,Hft-4=0,所以+Z=8.故选：A.5 .5知函数/(x)=sinX：3。+2厂(是不为。的常数)，当w-2,2时，函数/(x)的最大值与最小值x+4的和为()A.+3B.6C.2D.3a【解析】解：函数/(X)=竺i;空运士生=胃辿+
5、，工+3,k+4X+4f+4.rt.,、asinx12x设g(x)=-7r+-rr,X+4X+4则g(x)在x-2,2上是奇函数，且为单调函数，所以g(2)+g(2)=0;当Xw-2,2Ht,函数/(x)的最大值与最小值的和为f(2)+/(-2)=g(2)+3+(-2)+3=6.故选：B.6 .已知OVaW1,函数/(x)=4+2+XCOSx(-掇k1),设函数/(x)的最大值是M,最小值是N,则(a+1)A. M+ N =8B. M + N = 6C. M-N = 8D. M-N = G47v+2ax-I【解析】用毕：/(x)=+cosx=3+C0SX,ax+1ar+1令g(x)=-+xco
6、sx,则g(x)是奇函数，av+1/.g(x)的值域为对称区间，设一加触(x)m(m0),则3-加烟(x)3+w,:.M=3+w,N=3m,.M+N=6,故选：B.7 .已知/(x)=3(C+eT)+2,f(a)=4,则/(-)=()A.-1B.0C.1D.2【解析】解：根据题意，/(x)=(+er)+2,则/(一幻=(一天)3(，+，)+2,相加可得/(x)+(-x)=4,则有f(a)+/(-。)=4,若/(a)=4,则/(-)=0,故选：B.8 .已知函数/。)=切(/-6-)+3,若/(一2)=4,则/(2)=()A.4B.3C.2D.8【解析】解：根据题意，函数/(x)=w(e*)+3
7、,则/(r)=m(一-)+3=-砥-一)+3,则有/(x)+(-x)=6,若/(-2)=4,则/(2)=6-4=2;故选：C.9 .已知函数/(x)和g(x)均为奇函数，力(X)=q(x)+Ag(x)+2在区间(0,+)上有最大值5,那么力(X)在(yo,0)上的最小值为()A.-5B.-1C.-3D.5【解析】解：F(x)=(x)-2=af(x)+(x),则尸(X)为奇函数.x(O,h)时，h(xi5,.X(O,+oo)时，尸(X)=h(x)-2,3.又K(-00,0)时，T(0,-K3),.F(-xa-F(x)3F(x).-3.故选：B.10 .设函数/(幻=(*T+sm的最大值为“,最小
8、值为？，则知+?=()x+1A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】解：函数#=*+sm+1,2x+sinX=1+,Jr+1设g(x)=2v:Sn,定义域为R,x+1g() + g(x) =-2x - sin X x2+l +2x + sin xx2 +1二0,则g(x)为奇函数,即有g(x)的最值为f,-I.则+m=l+r+l-r=2.2020r+,+2()911 .已知0,设函数/(X)=力20：；(XD的最大值为M,最小值为N,那么M+N=(A. 2020B. 2019C. 4040D. 4039202Om +2019【解析】解：函数/(X)2020+12020 X 2020+ 2020
9、-12020 +1= 2020-12020v+l令g(x)=!2020r+lg()+g(x)=l由于g(x)在x-4,时单调递减函数;g(a)fw+g(-叽V=I202。川+2019函数f(X)=2(PO,+1(xw-a,l)的最大值为M=2020-g(-lttv;最小值为N=2020-g(a)Wt加；那么M+N=4040-g(x)*+g(x)wru=4039;故选：D.12 .函数/(x)=+(x2-2x)Sin(X-I)+2x+l在0,2上的最大值与最小值的和为()x+1A. -2B. 2C. 4D. 6【解析】解：.函数f(x)=ln-+(x2-2x)sin(x-1)+2x1x+1=勿上
10、三+(X-I)2-lsin(x-l)+2xl,x+1./(2-x)=/z73(2-X)+(2-x-l)2-lsin(2-x-l)+2(2-x)+l(2-x)+l=InKX-I)2-lsin(x-l)5-2x,3-xf(x)+f(2-x)=ln-+(x2-2x)sin(x-l)+2x+l+/n-!-Kx-l)2-1sin(x-1)+5-2x=6,x+13-x:.f(x)的图象关于点(1,3)对称，/.数f(x)=InN(x2-2x)Sin(X-1)+2工+1在0,2上的最大值与最小值的和为：x+1/(x)M+fMfnin=6.故选：D.13 .已知函数/(x)=IogzM+28+岳)+二_+3,
11、-6,6,若/(x)的最大值为最小值为？，ev+1则M+m=8.【解析】解：由题意可得/(x)=log,(Jl+2x2+缶)+二一+3ex+1=logVl2x2+2x)+-+4,1+e/L1fix1一/令函数g(x)=Iog2(1+22)+2x)+-j-j7+,/r-1_P-X定义域为-6,6关于原点对称，A(-x)=log2(l+2X2)-2x)IL1-ex=-log,(1+2x2+2x)-=-g(x),1+e即函数g(x)为奇函数，其最大值和最小值的和为0,所以函数f(x)的最大值和最小值的和m+M=4+4=8,故答案为：8.14 .已知函数/a)=、+?,+一在区间一明(0)的最大值为M
12、,最小值为N,若M+N=6,则X+1m=2rA2lt,1AJ(x+1)2+X3X-+1+2x+x3.X3+2x解析解：f(x)-+?=Z+=l+z+-,X*+1X+1JT+1+2x令g(x)=5，定义域x-1,4关于原点对称，X+(x)3+2(x)x3+2x(-X)2+ 1 所以g(x)为奇函数,当x0, a上时，=f7-=，XZ+1则g(x)在F,0和0,上的单调性相同，,(3x2+2)(x2+1)-(2x)(2x)x45x2+2l.vg(X)=-F=/220恒成工，(x+1)(X+1)所以g(x)在0,单调递增，所以g(x)在-,单调递增，且g(-)+g(a)=0所以/(x)在-,上单调递
13、增，所以xe-,a/(x)wu.+f(x)nin=f(-a)+f(a)=g(-a)+m+g(a)+m=2+2n,由题意可得2+2n=6,解得m=2,故答案为：2.15 .已知函数/(X)=W)J/(log26)+/(log21)=6【解析】解：函数/(X)=()-，设 h(x)=12(x2+l)12(x2+l)1+ 一12则 g(-x)=2(-x)2+l2(x2 + l)=-g()，h(x)+(-x)=g(x)g(x)+-,6，11-log,6=Iog,-,6./(log,6)+A(log7-)=7,OO./(log,6)+/(log,)=6.6故答案为：6.16 .已知函数/(x)=Or+。
14、SinX+1,若/(a)=8,则/(一。)=_-6_.【解析】解：根据题意，设g(x)=(X)-I=Or3+/?SinX,则g(-x)=(-x)3+bsin(-x)=-ax,+bsinx)=-g(x),则g(x)为奇函数，则有g(a)+g(-a)=O,由于g(a)=f(a)-1=7,则g(-)=/(-)-l=-7,解可得/(一)=-6:故答案为：-617 .已知函数/(x)=(炉一2)Sin(X-l)+x+l在-1,3上的最大值为M,最小值为n,则/+=4【解析】解：,f(x)=(x2-2x)sin(x-l)+x+l=(,-1)2-lsin(x-l)+x-l+2令g()=(X-I)2Sin(X-1)-Sin(X-l)+(x-l),而g(2-)=(-1)2Sin(I-X)-sin(l-x)+(l-x),.g(2-x)+g(x)=0,则g(x)关于(1,0)中心对称，则/(x)在一1,3上关于(1,2)中心对称.fw=4.故答案为：4.
