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1、立足知识与技能彰显能力与素养作者：李加禄来源：云南教育中学教师2021年第10期波利亚说:“掌握数学就意味力善丁解题.解超是数学教学的首嬖任务,怎样解题是数学教婶水惆的探究课题.在此笔者对一道中号试题进行评析和多角度探解,充分挖掘一类儿何问题的育人功能.在教学中.教就应引导学生进行深度探究.使学生熟练掌樨知识的关联.方法的我通.获得通件通法,提升学生的数学核心素养.一、试题呈现2020年武汉市中考第23胭：（I）问题背景：如图1.巳知CSAW氏求证：AABDsACE;（2）尝试应用：如图2,在418;和.4中.4KIC=4O.lf=9o,BCADE=MC与。相交于点兄点。在8C边上/=VT.求
2、加%值；HI）CF（3）拓展创新：如图3.是AI8C内一点.乙揉1=4。6=3#,乙BDC=310.IN7.1C=2V1,贪接写出1的长.二、试题评价1立足学生基础,巧设问题梯度小题是以初中小常典型的“手拉手”旋转相似模型为背般的儿何探究东轴题.表述简沾明广.对何必的设捏精准到位.低起点、小坡度、高落点.体现设问的层次感.拾级而上.应该说学生对这模型背疑是熟悉的.试题殖含者K富的效学思想.解法多样.能较好地落实数学核心素养.第（I）问号我相似三角形的判定,由己切的相似条件得到何应边成比例,对应向相等,进而利川角的等式性质:得到Z.M4Z1CIa从而顺利得i礼这是典股的低起点,注求对“双犷的号花
3、学牛川第一问的籁利加芥.不仅增强解腮的信心和用气,也为解答第（2）问打下了城础.第（2）问是典型的求比值问题.是对第（1）同的变式与拓展.需要对“手拉手”相似模型有深刻的理解.通过添加辅助我将残跳不全的松曜补成完弗的模型才能二利得解.由:联想构造相似的形（1户-4松/）.T是添加辅助线（连Cr接C）转化为熟悉的吓拉手”相似模型,再利用第问的结论即可求解.此间人11宽.代人感强.相比第（1）问绘合性强.坡段上升,对学生模式意识的号代到位.熟悉的几何模型背景体现试题的信度和效唆,同时也体现命题并对学生的人文关怀.三、解法觉析关于第(I)问,如图I,由已知AIAdSZUoM且有公共顶点A,这是我们平
4、常熟悉的“手拉F旋转槽似模型,易得乙BID=4C4.乂M=K.则SZUCE.我们不妨称最初的相似的.你形为“母对相似型”,而后产生的那对相似HDA.角形为“子对柳似型”.即母用相似敢.4BCS,4和子对相似型AiW)S我们也称“.转成双”模也关于第(2)问.如图4,由已知条件可知lHC和,小都是含30角的It角.俗形.且有公共顶点为H角顶点.4.此时母却相似型成立,进而联想到连接Cr构造子对相似型BDSAACE.则L.XRD=L.C=30。,丝=3.又知=VT.所以比=3.进IftiZlDF=LACK=300.ft时hCIiDAC顶f(H)=乙/C.于是4DZAECF,故；.=；=3.此问尽管
5、图形发-变化,但处理问融的思想方法并没有改变,仍然马代于拉F-相似模恨只是需要添加辅助线构造模恨较好地号/广类比、转化,以及教学建模思虬关于第问,虽然题目保用广一个含3()。角的内角角形”的背景.但模型已经“穿1外衣”.需要学生根据题目给定的已知条件构造完修的模型,对几何构图的徒力要求较高.俗话说.独足施行.孤掌施鸣.仔细分析图3中已有一个确定形状的Rt：和两条边长，再构造一个与之形状柑同次小确定的三角形(令30。角的直角三角影)组成“TRF模册即可使图形产生联系.故考虑运川旋转变换.分别以点81、”为旋转中心.按定的缩放比例进行放大或缩小构造模型.思路1以点为公共顶点构造“手拉手”相似模型解
6、法1:如图5.将M/“；绕点逆时针旋转缩放至I阳K.此时4I=30。.连接(下.易得母对相似国Zi人SB，lC.子对相似原AlBD-LEHC,则；=；.，乙Ag乙BEC=30。.易证ZUEC(ifIl加形.在做AWlL求得:解法2：如图6.将Ht绕点.A逆时针旋转缩放至做.此时乙AI=3OL连接也易得母对相似型/位1SWW；.对相似型28Q0s从c.则/生=A.在KIa8A,中,求得“=2V3.A5=2.XW=4.IC=23.所以？3BAAC4=Kl).求得也77=3.住做口中.由勾股定理得八=正下=V5.2T思路2以点C为公共顶点构造“手拉手”相似模型解法3：如图7.料修%C.绕点C顺时针旋
7、转缩放至RIZUEC.此时44CE=60。.连接.易得母对相似型，EZ/，C.子对相似型JSA84C则乙C=Z./MC.I.乂？14=4.求得/用=2.住Kl：中MC=2T.求HAHC2i!ME=3.乂因乙DAE=LHC,所以乙DEC=Z.ZME.进而Z.DEC+小ED=乙DAb.初=900.即乙”用=900.6.Kl)E,ffl7ffl解法4:如图8.将WAWM统点C顺时针旋转缩放至Rl“；.此时乙IC=6(儿连接8,易得陆对相似*AEIGsziB-C.f对相似型，/?SAC=1.则=/=2.在RIAEIC中MC=2/3.求得八月=6.同解法3可证41/加=90。.在RtAl)ACHE.B=
8、4.A=6.VtiE=25.JW2v5-=2.AiMJ=5.AD思路3以点为公共顶点构造“手拉手”相似模型解法5:如图9.将Rt/；绕点逆时计旋转缩放至WA7M.此时乙tE=9(T.连接/；.易得体对相似限/S1.IiDC.对相似中/圮S(；/.则竺=7-=J.求得席=6.作HlaZM刖U=V7m-I仆=2v3.乂在Rl山用中 Mgt 以in30o=J.It解法6：如图10.将KI8。C绕点顺时针旋转缩放至KI九.此时Z.A=90。,点在18上.连接点.易得母对相似型/!ESDC.子对相似型Amcszu/）“.则4/加C=ZjM8=30。,=g.M8=4,得比=4V3.又因Al）AH33乙比+
9、L7）=30+60=9（F.所以在Rl4比中.1E=4C-Ci=-.c1=八3”.进而/%=1B-PA=4-2x15.QH=ItQ-Pfi=5.于是由：；j；=v23.得ID=?3=5.评析：考虑到JiC同倜有两个相等的角乙从I=4CMJ=3H,于是联想再作一个30。的角构造“一饯三等角“相似模型求解相比前面（，和解法，解法7构图简单.学生很客易想到，但繁难的瓢学计算让学生望而生畏.沃娄辄止.同时这一问也体现了命题者用心良苦,为学习能力强的学生多升了一扇门,很好地考查了学生的数学运算和数学定模素养波利亚说：“掌握数学就意味着善于解题.”解题是数学教学的首要任务，怎样解题是数学教师永恒的探究课题
10、.在此笔者对一道中考试题进行评析和多角度探解，充分挖掘一类几何问题的育人功能.在教学中，教师应引导学生进行深度探究，使学生熟练掌握知识的关联、方法的贯通，获得通性通法，提升学生的数学核心素养.一、试题呈现2020年武汉市中考第23题：二、试题评价1 .立足学生基础，巧设问题梯度本题是以初中非常典型的“手拉手”旋转相似模型为背景的几何探究压轴题，表述简洁明了，对问题的设置精准到位，低起点、小坡度、高落点，体现了设问的层次感，拾级而上.应该说学生对这一模型背景是熟悉的.试题蕴含着丰富的数学思想，解法多样，能较好地落实数学核心素养.第（1）问考查了相似三角形的判定，由已知的相似条件得到对应边成比例，
11、对应角相等,进而利用角的等式性质得到NBAD=/CAE,从而顺利得证.这是典型的低起点，注重对“双基”的考查.学生对第一问的顺利解答，不仅增强了解题的信心和勇气，也为解答第（2）问打下了基础.第（3）问难度加大，要求学生具有构造完整的数学模型和熟练应用模型的能力，体现了对学生创新思维和发散思维的考查，对学生计算、类比探究、逻辑推理、几何构图等能力的要求较高，灵活巧妙的转化与化归，体现了几何的魅力和思维的精巧.此问命题者有意设置“一题多解、一题多图、多解归一的情形，对学生的思维要求较高，呈现了试题的区分度，真正体现了以学生发展为本，让不同的学生在数学上得到不同的收获与发展.2 .探寻问题本质，突
12、出数学思想爱因斯坦说：“当一个人忘掉了他在学校所接受的东西，剩下来的才是教育.”这里所说的“剩下来的”就是思想方法，思想点亮人生，实现终身学习与发展.义务教育数学课程标准（2011年版）指出，数学思想蕴藏在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型.第（2）问中通过添加辅助线（连接CE）转化为熟悉的几何模型解决问题，体现了转化和化归思想.问题（3）图3中已有一个确定形状的RtZXBCD,再构造一个与之形状相同、大小确定的三角形组成“手拉手”相似模型即可使图形产生联系，再把分散的条件集中在某个直角三角形中求解线段长度，这就是问题的本
13、质和内涵所在.而ABCD的每个顶点都可以作为公共顶点构造“手拉手”几何模型，形成了多种构造方法，体现了分类讨论的数学思想，和而不同，美美与共.3 .设问丰富多样，彰显核心素养史宁中教授认为，最基本的数学思想有三种：抽象、推理和建模.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在解决新问题时，能不能把新问题转化为已知的几何模型，这就体现了学生的数学建模素养.如第（2）问，需要学生结合所学知识进行联想、转化，通过对第（1）问的前期分析和理解，添加辅助线构造模型.乂如第（3）问中以确定形状的RtZXBCD的每个顶点为公共顶点构造“手拉手”几何模型有多
14、种构造方法;由条件NBAD=NCBD=30。联想再作一个30。的角构造“一线三等角”几何模型.本题的三个设问层层递进，螺旋上升，符合学生的认知规律，从认识模型、应用模型和构造模型三个方面展开，既有几何证明，又有比例和线段求值，设问丰富多样，灵活渐变，有效地考查了学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养.评析：考虑到直线AB同侧有两个相等的角NBAD=NCBD=30。，于是联想再作一个30的角构造“一线三等角”相似模型求解.相比前面6种解法，解法7构图简单，学生很容易想到，但繁难的数学计算让学生望而生畏，浅尝辄止.同时这一问也体现了命题者用心良苦，为学习能力强的学生多开了一扇门，很
15、好地考查了学生的数学运算和数学建模素养.四、教学导向1 .提高识图能力，培养几何直观素养识图能力是求解几何问题的基础。在平时的教学中教师不仅要让学生观察、分析图形各个元素之间的关系，更要鼓励学生多画图，特别是根据题目的文字语言画出图形.在画图过程中，学生会对图形各元素之间的关系有更清晰的认识，也会对图形的性质有更深刻的理解.如本题的第（2）问，若学生能用变换的观点来分析问题，识破与第（1）问结论有密切的关系，那么突破添加辅助线的难点，将其转化为熟悉的“手拉手湘似模型，问题便迎刃而解了.对于残缺不全的图形，教师应化动为静，以提高学生的识图能力和分析推理能力，进而培养其几何直观素养.2 .关注基本
16、几何图形，培养几何构图能力如何构造辅助线（或图形）是几何教学的难点，也代表着几何解题的最高水平.由本题第（3）问中的7种解法可知，问题主要考查学生对基本几何图形（“手拉手”和“一线三等角”相似模型）的构图能力，逻辑推理和数学建模素养.在平时的教学中，教师要不断给学生渗透转化思想，面对较为复杂的几何问题时，我们要认真分析图形，从中找出基本图形，分析图形之间内在的数量关系和位置关系，然后运用基本图形的性质进行推理或计算，从而快速找到解题的突破口，同时也要善于总结基本图形，归纳解题模型，积累解题经验，进而培养学生的识图和构图能力.3 .注重数学知识理解，发展学生创新能力章建跃博士认为：“理解数学，理解教学，理解学生是数学教学质量的根本保证数学学习，关键是理解，学习数学，重在理解.数学解题的本质就是组织和构造模型的过程.每个数孥概念和性质都是一个基本模型，若干基本模型可以组成复合模型，从具体问题中识别、构造数学模型可以考查和训练学生的抽象思维能力、分析能力、建模能力，帮助学生深刻地理解知识之间的联系与转化.这样才能看清知识的“前生”与“后世”，才能懂得知识的发生、发展，掌握知识体系与结构，真正做到理解数学，从而提升数学核心素养，发展学生创新能力.责任编辑邱艳
