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1、第二章0OO2.1(曾海斌)物体上某点的应力张量。ij为。产O1001003(应力单位)O1003100求出：(a)面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n=(1/2,1/2,12)；(b)应力主轴的方位；(c)主应力的大小；(d)八面体应力的大小；(e)最大剪应力的大小。解答：(a)利用式(2.26)计算应力矢量的分量彳”得nnnT产。Ijnj=。Unl,。i2112,。13113=0；同样T2=j11j=272.47T3=3j11j=157.31所以，应力矢量彳的大小为=（九）2+（九产+（九）22=314.62(b)(c)特征方程：O3Ii2+I2L=O其中L=。仃的对角项之和、
2、I2=ou的对角项余子式之和、h=Oij的行列式。从一个三次方程的根的特征性可证明：Il=O1+02+。31.=02O2O3+O3O1I3=O12O3其中得，。尸400、。2二。3二0是特征方程的根。将。I、。2和。3分别代入(2.43),并使用恒等式r+r+r=l可决定对应于主应力每个值的单位法线a的分量(n1、&、n3):nim=(0,0.866,0.5)nil2y=(0,+0.5,0.866)nim=(1,0,0)注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。(d)由式(2.96),可算otc=l3(0+100+300)=133.3ou=l3(90000+4000
3、0+10000+6*30000),z2=188.56(e)己经求得。产400、2=3=0,则有(2.91)给出的最大剪应力为皿=2002.2 (曾海斌)对于给定的应力张量。中求出主应力以及它们相应的主方向。3/2-1(22)-1(22)oij=-1(22)11/4-5/4(应力单位)-1(22)-5/411/4(a)从给定的。ij和从主应力值。I，。2和。3中确定应力不变量L，h和L；(b)求出偏应力张量Skj;(C)确定偏应力不变量工和工；(d)求出八面体正应力与剪应力。解答：同上题2.1(a)(b)(c)方法得到。尸4、02=23=1对应于主应力每个值的单位法线a的分量(n1、112、n3
4、):(I)_Z11、ni-(0,+2,士正)干0.5,干0.5)(3) _ / I 1fli -i2,+ 0.5, 0.5)(a)特征方程:0 Ii 0 2 + I2 0 I3=O中L=Oij的对角项之和、L=Oij的对角项余子式之和、I3=Oij的行列式。代入数据的：I1=7；I2=14；I3=8(b)偏应力张量由式子(2.119)得出S”=。KrPj,其中p=73-5/6Sij= -1(22)-1(22)-1(22)-1(22)5/12-5/4-5/45/12(c)J1=Sii=0,J2=l64+l+9=2.333,J3=l27(2*49+9*7*14+27*8)=0.741(d)Oot=
5、13*7=2.333otc=23(I12-3I2)2二1.2472.3 (李云雷)(a)解释：如果SS2S3,能得出&=眄?(b)解释：4可以为负值吗？(c)解释：J3可以为正值吗？解：(a)不能，因为S+S2+S3=0,所以S3不能等于0.(b)因为(=2(b。2)+。2。3)+(。3。1)，所以J2不可能为负值。(c)可以，当S,S2,S3中有一个正数，两个负数时人为正值。2.7(金晶)证明以下关系，2-，2(a)3证明：4=巧。2+5%+3212=(l+2+3)2=(1+2)2+32+23(1+2)=12+22+32+212+213+232A2-2=l(12212213232)-1213
6、324(r2)4(l21332);J2=7(1-2)2+(1-3)2+(3-2)2=-(12+22+32)-(12+13+32)(b)-遂+/证明:1=12+3/3二123I1I2=(l+2+3)(l2+l3+32)=31dg+(o+CTJ+oC7-)+qo+人也+讶二乎2%Tw3+6g2+dE+g2g+%g2+w2+d2%)+3+g+?)3=Tdg2+给出。现假设静水应力状态(GGb)是被叠加上去，得一组主应力1+,2+,3+o对于这一新的应力状态，在任意斜截面外上的剪应力分量由下式得出：Sn=(1+)2w12+(2)2n22+(3+)2-(1+)w12+(2)r+(3+)n2由恒等式nin
7、i=1,将上式展开化简得Sn=(,2n12+22n22+3232)-(lw12+2n+3r)20这表明，原结论成立。2.11 (黄耀洪)画出例2.6中式(2.135)和式(2.136)中所给出的在主应力空间上的两个应力状态，并画出它们在偏平面上的投影。1003靖=030求b0的主应力，I1=crll+22+33=10+3+2=152223n12=+323331y+3320=3。22010+2310=6+20-9+30=4700-53O0-7同理，解得。的主应力%=3%=-53=7s2=2-p=3-5=-24 =arccos0.98 = llo28,P=（s；+s；+s；）%=7.48COSa=
8、0.982J、=3G；+s：+$；）=28*2)v同理，求得0-7000-5的=7.48=llo28r_(1)_(2)%在偏平面上的投影如下图所示:2.12（李松）如果Qijtjkfjajk,11ij和片为两点的两个应力状态,证明两个应力状态的主轴重合。注意不必将看作为另一个应力张量一一如第三章的应变张量一样，且主轴重合保持不变条件。（提示：将其中一种应力状态换到主坐标系上）证明：由题意得：ijtjk=tijjk对i、j取1至3展开关系式得:1111k12t2k13tk=tjjkL22k+t133k（1）112111k22t2k1123t3kzzt216k+t22112kt23113k（2）1
9、13111k1132t2k33t3kzzt3111ik+t3202k+t33113k（3）参照Gij的主轴,即iWj口寸，Gij=O.所以,对于（1）式K分别取2、3,由于ij时,ij=0.则有:K=2时，t2=t122;k=3时，t13=t133对于123,5=。和13=0.同理由（2）（3）式可得:t21=0和t23=。，t31=O和t32=0.一般地，ij时，tij=O.所以tij的主方向与Gij的主方向重合2.14（卢俊坤）在偏平面上画出下列函数:(a) J2=k：(b) J23-2.25J32=(C)TmaX=&其中，占、22和23为常数。解：（a）依题意得：将J2=k代入p=2J2
10、得p=k、叵所以，在偏平面上的图像为以三轴交点为圆心，半径为匕&的圆。函数图象如图a所示（利用Matlab绘制，图线与最外围的黑线圆重合，绘图时常数占暂不考虑）。polar plot（b）依题意得：由CoS36 =33 J32 F及 p - y2J242得：=cos23J23和=327222再代入23-2.2532=得：(l-gcos239)6.p=2函数图象如图b所示(利用Excel和Matlab绘制，以G,为X轴，绘图时常数心暂不考虑)。图b(c)依题意得：由rmax=k3得：=&sin+。)=43再得：psin(y+)=k3l令p=Jx2+y2,cos=,sin=得3x+y=2yf2PP
11、函数图象如图C所示（利用EXCel和Matlab绘制，以；为X轴，绘图时常数心暂不考虑）。polarplot2. 15(a)(b)(c)（兰成）如果由两个应力状态叠加得出一个应力状态, 其最大主应力不大于单独的最大主应力之和； 其最大剪应力不大于单独的最大剪应力之和；静水压力分量的合成是两个单独状态简单的代数相加,证明:但剪力分量合成是两个单独状态的矢量相加。证明：假设两个应力状态为:工厂 n2 T %(1)1(1)23I(2)，T=Tn1+fn2+T%和T=T+fn(3)I(3)23叠加之后得到：T=T+T3正应力为,=tn=亍叫,剪应力为Sj=（a）应力状态的叠加是矢量的叠加，当这两个应力
12、状态的方向相同时，叠加之后得到的应力状态方向也相同，其最大主应力等于两个单独的最大主应力之和；当方向相反时，最大主应力为两个单独的最大主应力之差；当两个应力状态的方向不同时，叠加之后得到的应力状态的方向沿两个应力状态方向所夹的平行四边形的对角线方向，根据平行四边形法则，其最大主应力小于单独的最大主应力之和。所以，叠加之后其最大主应力不大于单独的最大主应力之和。（b）同（a）的分析方法，两个应力状态方向相同时，叠加后最大剪应力等于单独的最大剪应力之和；方向相反时，叠加后最大剪应力等于单独的最大剪应力之差；方向不同时，根据平行四边形法则，叠加后最大剪应力小于单独的最大剪应力之和。所以，叠加之后其最
13、大剪应力不大于单独的最大剪应力之和。（c）因为静水压力张量相当于常数正应力张量，两个常数正应力张量方向一致，其合成不改变其主方向。因此，静水压力分量的合成是两个单独状态简单的代数相加。因为在所有方向上加减一个常数正应力不会改变其主方向，偏应力张量与原应力张量的方向一致。所以剪力分量合成相当于原应力张量合成，即矢量相加。2.16（黄莉根）从式（2.172）出发，其中S尸（2。2-。3）/3,并利用式（2.104）“式（2.113）给出的关系（对于o1023）:（a）证明COSe=I：；21一，式中A=20;2lg+gZmaX（b）证明对于OWfWL0在0JW冗/3的范围内变化；（c）定义称作Lo
14、de的应力参数，为223ii-3证明以下关系:(i)，=2-l;(ii)sin2=-(-l)(2+3);4(iii)如果b%b3(即OJ1),则-lzL证明：(a)由式(2.172)知cos。瓜2PiSi= (2 -2-3)3 = ( -2)+( -3)3=2 T 12+2 T J/3V 。12。22。3,则有 T 12= T minT 13= T T.mmi1二行二二叵4+1二3皿3瓦厚R/23+1产TmaXQM其中用到式（2.110）R=3（j2一J+。=二丝，证毕。9Tmax(b)令：COSe=/(力L1+1强,其中：04l2T+为f(=jf,-=J2(1+川-3(1+力321分子分母除
15、以1+J,配方可得下式：/()=-F-=y,其中：?7123。)+%2可以解得：j/(77)1即：cos。1,贝J0，工，证毕。23)(i)尸=2%W2%2q(5一%)一(4-4)333(ii)sin2 = I-Cos2 = 1-( . 1 + )2 =2l-23-6g+3g 4J + 4g23(T)2(l-2)23二3(1-29 + 12/4=3( + 1)2一 (12斤+3 W /?+3(iii)如果。g。22。3，即OWfWI贝!)-lz=l-2 f 12.17 （周浩超、陈康海）考虑对于主偏应力的式（2. 129）s - 卜 一3 = 0并代入s = rsin 导出Si3-in-=0（
16、a）考虑后一等式与三角几何恒等式sin3 -sin + sin 3 = O44的相似性，采用r =45和sin3+二一36.3v 22 J合证明r和平对于2和卜是不变量。“33J,解：因为cos36=7/.sin3=-r=-cos32T题目中已知尸=j7,而式（2.172）CoSe=正3v2可得厂=-lcos因为COS3。的值为与偏应力不变量4和4有关的不变量。所以说sin3+和/与人，人有关的不变量。即r和平对于卜和13是不变量。（b）利用（a）中得出的结果及式（2.166）和式（2.175）证明:YP解：式（2.166）夕=INH=(S；+严=历式(2. 175) COS 36 =(ii)
17、对于 Og, = 01,以及在-6 !范围内变化。M33J.解：已知COS36=2. sin3 =-=一CoS36TTTT而Sin3=-cos3。=一sin(-3)=sin(36)JT3=39-27TTT, = -0-63.+在&%工范围类变化（c）对于由主应力】26定义的任意应力状态，并考虑在口平面上的投影（如图2.30所示），求解在以下条件中相应的6和平:(i)解:2=3 或=1； 已知-2T-g。3sU=2t23(T,2TTJ3=ES2S3,o-f*=e三36由于代入已知式子，得A =2(b -/ P33/产=（严3一祈cos3 -36 J3 3W 22 3y/3.3=0得6=0,=-=
18、-3Oo6(ii) 2=l或=,=-1；.,.cos 36.3,: y2=(l1 、一1八(iii) 2=(cr3)或4=5，=。乙乙1z、解：%二万（5+，）. cos 36 = 06=30 ,，=0。o6。和女是材料常数，组合不变量L表示为1.l=J2-%-，。2,4=6,其中，/=d/jSjk外,10=didjsij,J2=SijSji,J3=SijSjkSki(%是对称二阶张量，ij=S9+；4离)参照坐标轴知假定矢量4其中，位于%-平面内，构成角x,轴反时针测量)。对于9=0。,30,90以及=3和左7,画出在下例子应力空间中由f表示的表面的投影：(i)(11,22)(ii),(11
19、,12)第三章3.1(黄耀洪)给定一点上的相对位移量与，试证明对于坐标轴的转换3；+：+：)是不变量。证明：(%+4+h=%2+；+2(%斗+斗J+zx)=%?+；+：+2(岛声22+)=%2+；+J+2(GG+)十?与)=；+：+：+2/；=A2，2，.x2+：+z2=1-2123.1 (张东升)给定一点上的相对位移张量力,试证明对于坐标轴的转换(靖+；+；)是不变量。证明：给定一点上的相对位移张量与。在无限小变形情况下，其各分量为很小,其乘积与其分量一次项相比可忽略不计。设线元OP二单位矢量n,假设线元在纯刚体运动后所处新位置为OP,则n=n+=n222p因考虑的是无限小变形，的高次项被忽
20、略，由i=ijnj代入上式得：n=ni=ni(jinj)=0,即jininj=n1+22n2+,2+02+)i,(+/)%+31+.)%Ztl=o因为对于任意,%，3值上式必须成立，所以张量与代表刚体旋转的必要充分条件为:=22 = *33 = 2 + 2 = 23 + 532=31 +13 = 0。所以；+；+；=Oo3.2 (梁健伟)给定一点上的相对位移张量为为-0.100.20-0.40-ij=-0.200.25-0.150.400.300.30计算：(a)应变张量%;(b)旋转张量%；(C)主应变与，J和/及其主方向；(d)对具有方向W=C,%)的纤维元，找出应变矢量，转动矢量6和相对
21、位移矢量解:(+)(,3+)(a)由公式：jj2+2l)22(13f31)()由已知条件可得:(b)0.100000.250.07500.0750.3由公式：COij =(c)由已知条件可得:0+0.2-0.4-0.20-0.2250.40.2250Sij =由主应变特征方程：y-l2 + I2-I3=0/I=/” + 22 + 33 - 6512 =|32=0. 799=0. 074带入特征方程中可以解得：J =0.354,j =0196,j =O1O由公式(%-%)勺=0,将勺刍.%带入可得到:G 主方向：0 =(0, 0.5847, i.8113)；% 主方向： nj2)=(0,0.81
22、13,i0.5847)；名主方向：心=(1,0,0)(d)由5i=得Si=0.1-=0.52z=0.25-+0.075X-J=0.17822及=0.075-+0.34=0.249622=(0.5,0.178,0.2496)由l=-CDijrlj得“11=-O.2-O.4-7=0.1832211Q2=0.2-+0.225-7=0.25922“113=-0.4-0.225-=-0.312522=(0.183,0.259,-0.3125)由得=0.1-0.2-+0.4-i=0.233222益=0.25X-0.0754=+0.2-+0.2254=三0.4372222”1111&=0.075-+0.3-
23、j=-0.4-0.225-7=-).06292222=(0.233,0.437,-0.0629)3.3（黄莉根、卢俊坤）给定一点上的相对位移张量心为0.023-0.0150.001-0.0150.0090.0080.0010.0080.013计算：(a)主应变和主方向；(b)最大剪应变；(C)八面体应变；(d)具有方向n=(0.25,0.58,0.775)的纤维元的正应变分量和合剪应变分量区；(e)偏应变张量与及其不变量和J；(C单位体积的体积变化(膨胀)J(g)应变不变量和A。解：(a)应变不变量Z1=O.023+0.009+0.013=0.045/=(0.023)(0.009)-(-0.0
24、15)(-0.015)+(0.009)(0.013)-(0.008)(0.008)+(0.023)(0.013)-(0.001)(0.001)=0.0003330.023-0.0150.001=-0.0150.0090.008=-1.9551O-60.0010.0080.013特征方程为：3-0.0456r2+0.00033%+1.955IO6=O三个主应变为与=0.0332,4=0.01558,鼻=-0.00378代入主应变解得各个对应的主方向：,=(0.8077,O.56O8,O.1821),/2)=(0.3715,+0.2426,+0.8962),=(0.4584,+0.7913,0.4
25、046)(b)最大剪应变ax=归一阂=332+0.00378=0.036981 2/2(c) %=才=0.015，oc,=-0.0452-3(0.000333),/2=0.0302(d)n=0.023*0.25*0.25+0.009*0.58*0.58+0.013*0.775*0.775-0.015*0.25*0.58*2+0.001*0.25*0.775*2+0.008*0.58*0.775*2=0.01555=0.023*0.25-0.015*0.58+0.001*0.775=-0.002175,=-0.015*0.250.009*0.58+0.008*0.775=0.00767a二0.0
26、01*0.25+0.008*0.580.013*0.775=0.014965S=o.OO687(e) kk=w+2i+33=00450.008-0.015O.OO1-诵=-0.015-0.0060.008ytJ0.0010.008-0.002f1夕39f9J.=LQIl-9Z,I2+27)=-210j27JD，V(f) v=x+2+3=I1=0.045(g)由(a)得/=0.000333,/=-1.9551063.4(周浩超、李松)证明：(a)2；3 271证明：（a）由（2rY oct= （展开得：其中由于：Y2又由：11 233. 40)得：222 1,1。一Q +( +(气一%)1 22
27、3312 222oct(2g + 2e + 2e 2e -2e -2 ) 一3 1231 22 33 1/=+,所以有：2 1 22 33 14 延(/ + / + /7，1/2(1)3 12322 2 2 2,=(E + +)- + + +2112 31 2 32(b) Jf =-(2I,3-9I, +27/).3122222所以：+=If-2把该式带入(1)式得:12312Y-平（彳3/y(b)由公式(3.33)有：=+1123=8+21223313 所以：/=( + +)= +123122+321=(21+ )(312233132123则:-(2Z,3-9f127112+27,)313
28、3 _-2( + + ) 2712 31222-2123312-+12e132123(1)所以（1）式二 1 2 31-333C=3(e+s+)+18e27123123333又由于+=3123123又由（3.51）有由所以：J,=(2Z,3-9Z,+27/),原命题得证。32711233.5 (金晶、李云雷)对平面应变分量4=0.0005,4=-0.000375,xy,=0.0005,yz=z=z=0计算主应变，主方向,最大剪应变,正应变分量和剪应变分量。二正此线元具有方向余弦0.0005-0.000075O-0.000075-0.000375OOOO解：由已知条件得:计算应变不变量11, I
29、2J3Z1=0.0005-0.000375=0.000125=1.931 IO-7Z3=O0.0005-0.000075-0.000075-0.000375特征方程变为：3-0.000125益-1.931为0%=04=5.064x10-4,j=,j=-3814xl(4计算主应力方向与X轴的方向余弦cos6设=与,与，%=U,0,0COSe二-0 79Ymax二I昌-31=8.878X104将n的分量和号代入J=Ijninj2=0.0005(一)2-2-0.000075-0.000375=-2.21104n244r=p2-解得%“=5.99X10-43.6 (曾海斌)一物体指点的位移分量Ui由函
30、数分量给定u1=10xi+3x2,u2=3x1+2x2u3=6x3证明若变形假设为小变形，则无转动；假设为大变形，则找出此情况下的拉格朗日转动和应变张量，并计算相应的主应变”2和口。OO0解答：(a)将5,u2,5代入(3.78)的3产OOO,所以无转动。OOO(b)假设为大变形，则仃=1/2(ui.j+Uj,i+ur.iur.j),ij=l2(uij-Uji-ur.iUr,j)将u”,5代入得如=+1/2(2A+(名乎+=64.5xOXOXOX64.5210-54.5-18O-所以得到：ij=218.5O,同理得到-18-6.5OOO24OO-18(c)利用例2.4方法计算的=71.5,2=
31、24和3=1.53.7 (李树旺、李炜、兰成)确定常数旬、%、4、/、q和C2之间的关系，使下列应变状态可能成立。.=d0+t1(x2+y2)+(x4+/)4=%+&(x2+y2)+(x4+/)xy=c0+clxy(x2+y2+c2)%=0解：根据应变相控方程有：+=2y2x2xya%，+3/%-VZyxxyclxy+-ciyx+-cic2xy201+12=21+12x2&其中88,3,1a1、323,1记蔡=林(尹-y+qy+万心孙)=尹+5CJ+/2331所以：2a+12/+2仄+12x2=2(-clx2+-cly2+-clc2)即：2q+12)/+24+12x2=3c1x2+3c1y2+clc2推得q=4al+bl=Ic12.18（李树旺、李炜）对于纤维增强（金属基）复合材料，考虑下面的“屈服函数”：94(42-1)
