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1、影院座位设计优化模型以下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角夕。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过30。(1)地板线倾角6=10。，问最正确座位在什么地方。(2)求地板线倾角(一般不超过20),使所有观众的平均满意程度最大。(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。影院座位设计优化模型吕华军陈霞曹智芳摘要：本文针对影院座位设计问题，利用三角形正切，建立了视角。与仰角夕关于地板线倾角e的数学模型。并通过/、Lingo.VB等软件，利用求极值的
2、方法解答了问题一，得当倾角。为10。时，最正确座位在(6.228,1.4)处。对于问题二，我们通过泛函分析等方法，将座位分成排，得出排与排之间的距离是14.5/，对每排观众的视角和仰角进行求和，得出视角。和仰角的平均值，从而取得平均满意度，再通过求极值的方法算出当。为15.14。时，观众的平均满意度最大。此外，在夕角不超过30。的前提下我们还对地板线的设计进行改良(将第排座位抬高)，通过方程组(7)的解答，可得到最正确的地板线设计，进一步提高观众的满意度。我们还对模型进行了误差分析，假设越大，模型的精确度就越高。关键词：座位设计仰角视角平均满意度一、问题的重述以下图为影院的剖面示意图，座位的满
3、意程度主要取决于视角和仰角视角。是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，夕如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过30。(1)地板线倾角。=10。，问最正确座位在什么地方。(2)求地板线倾角。(般不超过20。)，使所有观众的平均满意程度最大。(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。二、模型假设1、假设观众的座高是一致的；2、影院排与排之间的距离相等;3、观众的平均满意度只取决于视角和仰角夕，其他因素忽略不计;4、假设屏幕的长度与座位的排长相等;5、把观众的眼睛看作一个点。三、变与符号说明变量含义单位a视角（
4、观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角）度仰角（观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角）度Y观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角度地板线倾角度h屏幕高度米H上边缘距地面的高度米d第一排与屏幕的水平距离米D最后一排与屏幕的水平距离米C观众平均座高米%第i排观众的视角度A第i排观众的仰角度/(区A)观众平均满意程度a座位的横坐标b座位的纵坐标四、模型建立根据题目所给数据和图形,运用初等数学中三角形正切的知识，建立了视角a和仰角夕的数学模型:n H-b tan =aH hb tan atana = tan(夕一7)=Q.Hb5-b=arctan()=arctan()aa/Hhb、3.2,b-arcta
5、n()=arctan()aaIan/一Iany_1.81.841+tan/7tana2+(5-)(3.2-Z?)a=arctan(-6+(5-6)(3.2-力tan。=-Z?=t/tan-4.5tan+1.1a-d-4.5五、模型的求解1、问题一的解答在这个问题中，我们的目标是当地板线倾角6=10。时，求座位的最正确位置，而影响座位的因素主要取决于视角和仰角夕，越大越好，尸不超过30。，因此得目标函数如5：Maxa = arctan(1.8f6+(5 3(3.2 份=arctan(1.8 2 + (5 - a tan - 4.5 tan + 1.1)(3.2 - a tox- 4.5 tan
6、0 +1.1)0o30oSTJ 4.519l.lb5用VB软件求出 = 6.228,所以b = L4,即最正确位置在(6.228,L4)处。2、问题二的求解我们将影院座位平均分成份，可以算出排与排的距离为14.5/，其中第i排座位的横坐标：af. = 0 + 1450= 4.5+1450 0 第i排座位的视角nnai = arctan(1 .Sai0j + (5 - ai tan - 4.5 tan + 1.1)(3.2 - al tan -4.5 tan + 1.1)第i排座位的仰角i = arctan(5 - 4 tan 6 - 4.5 tan。+1.1a我们的目标是使观众的平均满意度最高
7、，而平均满意度主要取决于视角和仰角夕，把每一排的。相加再除以就得到把每一排的夕相加再除以就得到耳，于是我们就得到 以下关系式：%a=nflAi=lnMax a0 tan 6 tan 20o我们取 = 19, i = 20,即影院共分成20排,得出当6 = 15.14。时,观众的平均满意度最大。 3、对于问题三的答复通过模型求出第一排的视角为15.8996。，仰角为40.9149。我们通过仰角的降低来实现观众满意程度的提高，即采取提高第一排的方式来降低观众的仰角，将地板线近似地看作以4为交点的两条直线，作直角坐标系my,假设3(19,3.2)为最后一排座位。(如上图)：1 ： a = kib +
8、 dI2 ： n k2m + h求设计地板线形状转化为求直线4、4的方程式。假设影院共有排位置，那么任意两排位置在横坐标上的间距f=2二曳，A排nn位置为最低的那一排。令在A排位置之前有i排座位，即各排座位为,令过点w、的直线斜率为,由题意可得假设要使外排的观众不挡住,排观众的视线，只要满足/?得，只要pq即可得Pjch.由A(LF)，各排间距/=电得在直线4上的第一排位置勺(工色+”.1+以)即:K1nkl1.1 Zj-3.2q-3.2(3)-d45+/收由4：a=kb+d,得：d=a-4.51(4)将(2)、(4)两式代入(3),且综合上述得：-2.1Z(14.5&+4-l.l)+2lfk
9、;q-3.2(5)(14.5Z+1.1)(1.144.5Ar+k)4.5题意中仰角夕30,且在第三象限，得tan-亭。不难得到，在处的仰角夕大于等于在处的仰角，也大于在丐处的仰角，即第一排()的仰角大于其它任何一排的仰角，即可得：4三-且(6)4.53综合上述(1)、(5)、(6)式，得不等式组：ol-32,4.5一2.%(14.5攵+4-1.1)+2.1内q3.2(7).(14.5.+4-1.1)(1.1-4+4.51+k)-4.54-5.64.5一3由该不等式组可解得一个含有定量/的最正确值片,通过运算即可得h4的关系式。六、模型的评价与推广模型有以下优点：模型在建立过程中充分考虑到观众平
10、均满意度的特殊性(假设屏幕的长度与影院的宽度一致)，即选取其中的一列，得出最正确地板线倾角；利用VB软件编程进行求解，所得结果误差小；该模型简单易懂，对生活有很强的指导意义；模型有以下缺点：由于我们是将座位分成排，计算时取的值会造成一些误差，但只要我们把的值取足够大，误差会更小。利用该模型我们可以设计家里电视机摆放的高度，看电视时的最正确座位；教室座位设计等等。参考文献：1卢向南.应用运筹学国2蔡锁章.数学建模原理与方法国3美JerryBanks、JohnCarson影院座位设计优化模型以下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角。和仰角夕。视角是观众眼暗到屏幕上、下边缘视线的夹角，
11、越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，夕如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过30。(1)地板线倾角6=10。，问最正确座位在什么地方。(2)求地板线倾角(一般不超过20),使所有观众的平均满意程度最大。(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。影院座位设计优化模型吕华军陈霞曹智芳摘要：本文针对影院座位设计问题，利用三角形正切，建立了视角。与仰角夕关于地板线倾角e的数学模型。并通过/、Lingo.VB等软件，利用求极值的方法解答了问题一，得当倾角。为10。时，最正确座位在(6.228,1.4)处。对于问题二，我们通过泛函分析等方法，将座位分成
12、排，得出排与排之间的距离是14.5/，对每排观众的视角和仰角进行求和，得出视角。和仰角的平均值，从而取得平均满意度，再通过求极值的方法算出当。为15.14。时，观众的平均满意度最大。此外，在夕角不超过30。的前提下我们还对地板线的设计进行改良(将第排座位抬高)，通过方程组(7)的解答，可得到最正确的地板线设计，进一步提高观众的满意度。我们还对模型进行了误差分析，假设越大，模型的精确度就越高。关键词：座位设计仰角视角平均满意度一、问题的重述以下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角视角。是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角
13、，夕如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过30。(1)地板线倾角。=10。，问最正确座位在什么地方。(2)求地板线倾角。(般不超过20。)，使所有观众的平均满意程度最大。(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。二、模型假设6、假设观众的座高是一致的；7、影院排与排之间的距离相等;8、观众的平均满意度只取决于视角和仰角夕，其他因素忽略不计;9、假设屏幕的长度与座位的排长相等;10、把观众的眼睛看作一个点。三、变与符号说明变量含义单位a视角（观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角）度仰角（观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角）度Y观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的
14、夹角度地板线倾角度h屏幕高度米H上边缘距地面的高度米d第一排与屏幕的水平距离米D最后一排与屏幕的水平距离米C观众平均座高米%第i排观众的视角度A第i排观众的仰角度/(区A)观众平均满意程度a座位的横坐标b座位的纵坐标四、模型建立根据题目所给数据和图形,运用初等数学中三角形正切的知识，建立了视角a和仰角夕的数学模型:n H-b tan =aH hb tan atana = tan(夕一7)=Q.Hb5-b=arctan()=arctan()aa/Hhb、3.2,b-arctan()=arctan()aaIan/一Iany_1.81+tan/7tana2+(5-)(3.2-Z?)a = arcta
15、n(1.82+(5-)(3.2-Z?)tan。=-Z?=t/tan-4.5tan+1.1a-d-4.5五、模型的求解4、问题一的解答在这个问题中，我们的目标是当地板线倾角6=10。时，求座位的最正确位置，而影响座位的因素主要取决于视角和仰角夕，越大越好，尸不超过30。，因此得目标函数如5：Maxa = arctan(1.8f6+(5 3(3.2 份=arctan(1.8 2 + (5 - a tan - 4.5 tan + 1.1)(3.2 - a tox- 4.5 tan 0 +1.1)0o30oSTJ 4.519l.lb5用VB软件求出 = 6.228,所以b = L4,即最正确位置在(6
16、.228,L4)处。5、问题二的求解我们将影院座位平均分成份，可以算出排与排的距离为14.5/，其中第i排座位的横坐标：af. = 0 + 1450= 4.5+1450 0 第i排座位的视角nnai = arctan(1 .Sai0j + (5 - ai tan - 4.5 tan + 1.1)(3.2 - al tan -4.5 tan + 1.1)第i排座位的仰角i = arctan(5 - 4 tan 6 - 4.5 tan。+1.1a我们的目标是使观众的平均满意度最高，而平均满意度主要取决于视角和仰角夕，把每一排的。相加再除以就得到把每一排的夕相加再除以就得到耳，于是我们就得到 以下关
17、系式：%a=nflAi=lnMax a0 tan 6 tan 20o我们取 = 19, i = 20,即影院共分成20排,得出当6 = 15.14。时,观众的平均满意度最大。 6、对于问题三的答复通过模型求出第一排的视角为15.8996。，仰角为40.9149。我们通过仰角的降低来实现观众满意程度的提高，即采取提高第一排的方式来降低观众的仰角，将地板线近似地看作以4为交点的两条直线，作直角坐标系my,假设3(19,3.2)为最后一排座位。(如上图)：1 ： a = kib + dI2 ： n k2m + h求设计地板线形状转化为求直线4、4的方程式。假设影院共有排位置，那么任意两排位置在横坐标
18、上的间距/=匕9=曳，A排nn位置为最低的那一排。令在A排位置之前有i排座位，即各排座位为,令过点w、的直线斜率为,由题意可得假设要使外排的观众不挡住,排观众的视线，只要满足/?得，只要pq即可得Pjch.由A(LF)，各排间距/=电得在直线4上的第一排位置勺(工色+”.1+以)即:K1nkl1.1 Zj-3.2q-3.2(3)-d45+/收由4：a=kb+d,得：d=a-4.51(4)将(2)、(4)两式代入(3),且综合上述得：-2.1Z(14.5&+4-l.l)+2lfk;q-3.2(5)(14.5Z+1.1)(1.144.5Ar+k)4.5题意中仰角夕30,且在第三象限，得tan-亭。
19、不难得到，在处的仰角夕大于等于在处的仰角，也大于在丐处的仰角，即第一排()的仰角大于其它任何一排的仰角，即可得：4三-且(6)4.53综合上述（1）、（5）、（6）式，得不等式组：ol-32,4.5一2.%（14.5攵+4-1.1）+2.1内q3.2（7）.（14.5.+4-1.1）（1.1-4+4.51+k）-4.54-5.64.5一3由该不等式组可解得一个含有定量/的最正确值片,通过运算即可得h4的关系式。六、模型的评价与推广模型有以下优点：模型在建立过程中充分考虑到观众平均满意度的特殊性（假设屏幕的长度与影院的宽度一致），即选取其中的一列，得出最正确地板线倾角；利用VB软件编程进行求解，所得结果误差小；该模型简单易懂，对生活有很强的指导意义；模型有以下缺点：由于我们是将座位分成排，计算时取的值会造成一些误差，但只要我们把的值取足够大，误差会更小。利用该模型我们可以设计家里电视机摆放的高度，看电视时的最正确座位；教室座位设计等等。参考文献：1卢向南.应用运筹学国2蔡锁章.数学建模原理与方法国3美JerryBanks、JohnCarson
