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1、第2章对称图形一圆2.6正多边形与圆精选练习基础篇一、单选题1 .若正六边形的边长为4,则它的外接圆的半径为（）A.43B.4C.23D.2【答案】B【分析】画出图形（见解析），先求出正六边形的中心角的度数，再根据等边三角形的判定与性质即可得.360【详解】解：如图，正六边形的中心角NAoB=哼-=60。，边长A3=4,6OA=OB,AaAOB是等边三角形，.OA=AB4t即这个正六边形的外接圆的半径为4,【点睛】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，正确求出正六边形的中心角的度数是解题关键.2.如图，已知的半径为1,则它的内接正方形ABCo的边长为（）A.1B.2C.2D.20【答
2、案】C【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCZ)的边长.【详解】连接。8、OC,如图所示，)0的半径为1,四边形ABCD为方形,OB=OC=1,NBOC=90,；BC=JoB2+OC?=故选C.【点睛】此题考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正方形的性质是本题的关键.3 .如图，正五边形ABSE内接于连接AG则NAC。的度数是()A.72oB.70oC.60oD.45【答案】A【分析】由正五边形的性质可知AABC是等腰三角形，求出NB,ZAC8的度数即可解决问题.【详解】解：在正五边形ABCOE中，NB=NBCD=WX(5-2)I8O=IO8%AB=BC,：.ZBCA=ZBAC
3、=(180o-108o)=36,：.ZACD=ZBCd-ZACB=I08o-36o=72o.故选：A.【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单.4 .在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形488E/）放在平面直角坐标系中，若AB与X轴垂直，顶点A的坐标为（2,-3）.则顶点C的坐标为（）A.（2-2曲,3）B.（0,l+23）C.（2-3J）D.（2-23,2+3）【答案】A【分析】根据正六边形
4、的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可.【详解】解：如图，连接BD交CF于点、M,交y轴于点M设AB交X轴于点尸，根据题意得：BD/A8y轴，BDYAB,NBCD=T20,AB=BC=CD=4,：.BN=OP,NCBD=CDB=30,BDLyt：.BM=LBC=2,2；BM=4BC2-CM2=23， 点A的坐标为(2,-3),P=3,OP=BN=2,fV=23-2,BP=, 点C的纵坐标为1+2=3, 点C的坐标为(2-2J,3).故选：A【点睛】本题考查正多边形，勾股定理，比角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确“算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键.5.大自然中有许
5、多小动物都是“小数学家”，如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,若对角线4。的长约为8mm,则正六边形ABCf石厂的边长为()图1图2A.2mmB.22mmC.2yf3mnD.4mm【答案】D【分析】如图，连接C尸与AD交于点O,易证ACOO为等边三角形，CD=OC=OD=AD,即可得到答案.【详解】连接CF与AO交于点0,.ABCDEF为正六边形，/.ZCOD=-=60o,CO=DO,AO=DO=AD=4mnf62AC。为等边三角形，：.CD=CO=DO=mm,即正六边形AB
6、CDEF的边长为4mnh故选：D.【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键.6.正六边形ABCDM边长为2,分别以对角线AD和CE为边作正方形，则图中两个阴影部分的面积差。的值为()A.8B.43C.4D.O【答案】C【分析】求出两个正方形的面积，可得结论.【详解】解：如图，F耳 正六边形ABCDEF的边长为2,D=4,OD=-(AD-BC)=X,tCD=ycb1-OD2=F=3EC=2CD=2小, A。为边的正方形的面积为16,EC为边的正方形的面积为12, %+空白=16,6+空白=12, 两个阴影部分的面积差a-b=1672=4,故选：
7、C.【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，具体的规划是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.7.如图，边AB是。内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是。内接正八边形的一边，若AC是。内接正边形的一边，则的值是（）A.6B.12C.24D.48【答案】C【分析】根据中心角的度数=360o边数，列式计算分别求出NAo&NBOC的度数，可得NAoC=I5。，然后根据边数二360”中心角即可求得答案.【详解】解：连接。1t,AB是。0内接正六边形的一边，：ZAO=360o6=60o,YBC是。内接正八边形的边，.N8OC=3608=45,ZAOC=ZAOB-NBOC=60。-45
8、。=15w=360o15o=24.故选：C.【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键.8 .如图，正方形ABCo内接于OO,点E为BC上一点，连接8E,若NCBE=I5。，BE=5,则正方形ABCO的边长为（）【答案】BC. )D. 25【分析】连接DB、OC、OE,根据I员I内接正多边形性质，可证跳:是等边二角形，从而可得BO=CO=OE=S.由此即可解题.【详解】解：连接。8、OC.OE,正方形ABCO内接于OtZBOC=90,ZDBC=45o,AO,8三点共线,又YZCfiE=15,：NDBE=ZDBC+ZCBE=
9、45o+15o=60o,又YBO=Co=OE,ZO5E是等边三角形，又YBE=5,：.BO=CO=OE=Si：BC=在OB=5日选项B符合题意.故选B【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形判断与性质，掌握圆内接正多边形性质，正确添加辅助线,得出aOB七是等边三角形是解题的关键.9 .已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A,B,C,D,E,尸在圆上.若两个大正六边形的边长均为2,则小正六边形的边长是（）【答案】D【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出。N和半径进而得出小正六边形M尸的长，再根据正六边形的性质求出半径G凡即边长/77即可.【详解】解：如图，连接A。交PM
10、于O,则点O是圆心，过点O作ON_LOE于M连接MF,取M尸的中点G,连接GH,GQ,由对称性可知，OM=OP=EN=DN=,由正六边形的性质可得ON=2J,OD=4DN2ON2=9=OF,MF=屈-I,由正六边形的性质可知，GFH、GHQ.AGQM都是正三角形,.ru1VrJ-.FH=-MF=-,22【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键.二、填空题10.五角星绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个旋转角至少为度.【答案】72【分析】把五角星看成正五边形，求出正五边形的中心角即可解决问题；360【详解】解：把五角星看成正五边形，正五边形的中心角=詈=72。，
11、绕它的中心旋转72。角度后能够与自身重合，故选：72.【点睛】本题考杳旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.11.如图，正六边形ABCOE尸内接于。O,连接O。、OD,若OC长为2cm,则正六形ABCDE尸的周长为cm.【答案】12【分析】连接OCOD,证出COO是等边三角形即可求得答案.【详解】解：Y多边形ABCDE尸为正六边形，ZCOD=360o7=60o,6：OC=OD,ZXOCO是等边三角形，YOC长为2cw,：.CD=Iani正六形488尸的周长为2、6=12(cm),故答案为：12.【点睛】本题考查的是正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，
12、熟练掌握正六边形的性质是本题的关键.12 .如图，正五边形ABCDE内接于。,点P是劣弧BC上一点(点P不与点C重合),则NePO=.A【答案】36。#36度【分析】连接OCOD,求出NCOD的度数，再根据圆周角定理解答即可.【详解】解：连接OC、OD,正五边形ABCDE内接于C)0,?COD-y-=72?,?CPD-?COD36?,2故答案为：36。.【点睛】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，准确作出辅助线并熟练掌握知识点是解题的关键.13 .如图，在正五边形AAa石中，连结AC,以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点尸，连结。尸.则NmC的度数是。.B【答案】36【分析】证明四边形AE
13、D尸是菱形，推出NEDF=NEAF=72。可得结论.【详解】解：.五边形ABCQE是正五边形，：,ZAED=ZEAB=ZABC=ZEDC=108o,BA=BC=CD=DE=AEtZBAC=ZBCA=36o,NEAC=720,：ZED+ZEAC=180o,：DE/AFf,.9AE=AF=DEf四边形F是菱形，NEQP=NEAF=720,VZEDC=108,：ZFDC=36o,故答案为36.【点睛】本题考查正多边形与圆，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是判断四边形AEQ产是菱形.14.如图,在正六边形ABCDEF内取一点。，作OO与边DE,所相切,并经过点B,已知：O的半径为26,则正六边形的边
14、长为.CD【答案】3+2【分析】根据与两边相切，利用切线长定理求出NMOE=30。，求出ME,OE,得出正六边形外接圆直径,即得边长；【详解】解：如图，连接。M,OMOE,;。与边QE,M相切,.OMA.ME,ONLDE1.ZOME=ZOTVE=90o,OM=ON,IOE=OE,.Yoemhoen(HL),所以OE在正六边形ABC。所的条对称轴上，正六边形ABCDEF,ZFED=120,.ZWN=60。，由切线长定理得，NMOE=30。，OM=26,ME=2,OE=4,因为圆的对称轴是直径所在的直线，且圆过点8,所以。8在一条对称轴上，因为BE所在直线是正六边形ABCZ)EF的条对称轴，所以点
15、8、0、E在一条直线上，BE=OB+BE=2小+4,因为BE为正六边形外接圆直径，其圆心与正六边形相邻两点构成等边三角形，所以边长等于外接圆的半径为LBE=02,2故答案为：j3+2.【点睛】本题考查切线长定理，外接圆直径，解题关键构造直角三角形，求出OE长度.15.请阅读下列材料，解答问题：克罗狄斯托勒密（约90年一168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家.在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理.托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.【答案】l + 5如图，正五边形ABCz）E内接于OO,AB=2,则对角线8。的长为【分析】连接AO,A
16、C,根据圆周角与弦的关系可得AD=AG设,在四边形488中，根据托勒密定理有，ACBD=ABCD+ADBC,建立方程即可求得8。的长.【详解】解：如图，连接AO,ACfY五边形ABCOE是正五边形，则NE=NA8C=NBCO,AB=BC=CD=2,：.AD=AC=BD,设BD=X,VACBD=AB*CD+ADBCt即 =22+2x,解得工尸1+石，穴2=15（舍去），l+5.故答案为：1+召.【点睛】此题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，解题的关键是理解题意添加辅助线.16. AB是OO的内接正六边形一边，点尸是优弧AB上的一点（点P不与点A,3重合）且BP0A,AP与OB交
17、于点C,则NOC9的度数为.【答案】90【分析】先根据AB是。的内接正六边形一边得NAo5=60。，再根据圆周角性质得NAPB=30。，再根据平行线的性质得NOAP=30。,最后由三角形外角性质可得结论.【详解】解：:AB是（O的内接正六边形一边：,ZAoB=60。ZAPB=30 BP/OA OAP=ZAPB=3Qo ZOCP=ZAOC+ZOAC=60o+30o=90o故答案为900【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键三、解答题17.如图，已知AC为：。的直径.请用尺规作图法，作出f。的内接正方形ABCO.（保留作图痕迹.不写作法）【答案】见解
18、析【分析】作AC的垂直平分线交。于5、D,则四边形ABCO就是所求作的内接正方形.【详解】解：如图，正方形ABCO为所作.TB。垂直平分AC,Ae为(O的宜径，：.BD为。的直径，：.BDYACtOB=OD,OA=OC,BD=AC,四边形ABCO是。的内接正方形.【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了圆的基本性质，正方形的判定.18.如图，0。为正五边形ABa)E的外接圆，已知CF=*,请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹.(1)在图1中的边OE上求作点G,使DG=C尸；(2)在
19、图2中的边。石上求作点，使切=b.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）连接Ao并延长与CD相交，连接E尸交Ao延长线于连接与OE的交点即为所求作；（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与OE相交，连接AG交80延长线于M连接CN并延长即可.（1）连接AO并延长与CQ相交，连接七户交A。延长线于M,连接BM交。七于点G,则点G为所求作，如图1所示；理由： 。为正五边形的外接圆， 在线40是正五边形ABCQE的一条对称轴，点8与点七、点C与点。分别是一对对称点. 点M在直线AO上， 射线BM与射线E尸关于直线AO对称，从而点尸与点G关于直线Ao对称，,CT与DG关于直线Ao对称.；,DG
20、=CF.在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交80延长线于M连接CM如图2所示;阳2【点睛】本题考查了作图：无刻度宜尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键.21 .如图I,等边.ABC内接于。0,连接Co并延长交C）O于点D.（1）可以证明CD垂直平分AB,写出Ao与08的数量关系：一.（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）.请在图2中作出。0的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）.D图I【答案】AD=Z
21、）8；（2）见解析，见解析【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB,从而利用垂径定理得出结论即可；（2）结合（1）的结论，可直接连接AO,BO,分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可；如图，延长AF,EC,交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴.【详解】（1）AD=DB.o为三角形的外心，AO为三角形三边中垂线的交点，又V三角形为等边三角形，二可得CD垂克平分AB,根据垂径定理可得：AD=DB（2）如图所示，在（1）的基础之上，连接AO,并延长至E,连接B0,并延长至F,顺次连接圆周上各点即可；D【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正
22、多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键.22 .如图，48,C是上的三个点，AS=ACf点。在0。上运动（不与点AaC重合），连接0A,DB,DC.AA图1（1）如图1,当点。在BC上时,（2）如图2,当点。在AB上时，图2求证：ZADb = ZADC;求证：ZAPB+ ZADC = 180如图2,已知。的半径为彳，BC=12,求”的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)AB=IO【分析】(1)根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证；(2)根据题意易得NADB+/ACB=I80。，ZACB=ZADC,进而问题可证；(3)连接OB,过点A作AE_LBC交于点E,由题意易得圆
23、心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6,然后根据勾股定理可求解.【详解】(1)证明：IAB=AC弧AB=弧ACZADB=ZADC;(2)证明：四边形ADBC是圆内接四边形，ZADB+ZACB=180o,VAB=AC,ZABC=ZACB,vzadc=zabc/.ZACb=ZADC,ZAD5+ZADC=I80。；(3)解：连接OB,过点A作AE_LBC交于点E,如图所示：VAB=AC,BC=I2,BE=EC=6,AAE是线段BC的垂直平分线,VABC是。O的内接三角形,工圆心O在线段AE上，VOB=OA=-,4，在RIABEO中，OE=Job?-BE?=L4257AE=OA+OE=-+-=S,4
24、4,在RIAAEB中，AB=JAE?+BE?=10【点睛】本题主要考查圆内接四边形、垂径定理及圆周角，熟练掌握圆内接四边形、垂径定理及圆周角是解题的关键.提升篇1.如图，已知正方形ABCD中，连结AC,在AC上截取AE=AD,作AADE的外接圆交AB于点F,连结DF交AC于点M,连结EF.下列选项正确的是（）DG=AF；AM=EC;NEFB=NAFD；囚边形BCMF=S四边形ADEFC.D.【答案】B【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质可得NB4）=NADC=90o,再根据圆周角定理可得DF为JlL应外接圆的直径，从而可得NDG尸=90。，然后根据矩形的判定与性质即可得；先根据等腰三角形
25、的性质可得NAPE=N血=67.5。，从而可得Na）E=22.5。，再根据圆周角定理可得NEDF=NBAC=45。，从而可得NAOM=22.5。，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得；先根据圆内接四边形的性质可得ZEFB=ZADE,从而可得乙EFB=ZAED,再根据圆周角定理可得NAED=NAfD,由此即可得；先根据圆周角定理可得NAM=NAZW,从而可得NAE/=NCZ）E,再根据三角形全等的判定定理与性质可得SJM=S.8E,然后根据正方形的性质可得S四边扁OEF=SjC，由此即可得.【详解】四边形ABCD是正方形，.AD=CD,ZBAD=ZADC=90o,ZDAM=NDCE=ZBAC
26、=45,.DF为-ADE外接圆的直径，.ZZX7F=90o,四边形ADGF是矩形，.-.DG=AF,则结论正确；AD=AE1ZDAM=45f:.AADE=ZAED=(180o-ZDAM)=67.5,.ZCDE=ZADC-ZADE=22.5,由圆周角定理得：NEDF=NBAC=45。,:.ZADM=ZADE-ZEDf=22.5,.ZADm=ZCDE,ZDAM=ZDCE在和(；中，AD=CD,NADM=NCDE.ADM=CDE(ASA),：.AM=EC,则结论正确；由圆内接四边形的性质得：ZEFb=ZADE.ZADE=ZAEd,.-.ZEFB=ZAEd,由圆周角定理得：ZAED=ZAFD.NFB=
27、ZAFD,则结论正确：由圆周角定理得：ZAEF=ZADm,ZADM=NCDE,.ZAEF=NCDE,AD=CDfAD=AEtAE=CD，AEF=ZCDE在尸和?)E中，AE=CD,ZEAF=ZDCE=45.AEFCDE(ASA)tSeF=S.cde，S四边形AE尸=DE+Sef=Sade+SCDESACD四边形ABCD是正方形，,S.ACD=S.abC,S网边形ADEF=Sabc,又S四边形BCMF=SABLSamfSABC，S四边形BCMF32；AM=yAH2+MH2=22?JA石的最大值为2际+20故答案为：2忘+2J【点睛】此题考查了圆与内接正三角形的性质，涉及了直角三角形的性质，勾股定
28、理，三角形外心的性质，解题的关键是理解题意，利用性质确定出点E的运动轨迹.3.己知。的半径和正方形ABC。的边长均为1,把正方形ABCo放在。中，便顶点A,。落在OO上,此时点A的位置记为4,如图I,按下列步骤操作：如图2,将正方形ABCO在。中绕点A顺时针旋转，使点B落到。上，完成第一次旋转：再绕点8顺时针旋转，使点C落到。上，完成第二次旋转；(1)正方形ABC。每次旋转的度数为；(2)将正方形A8CO连续旋转6次，在旋转的过程中，点4与4之间的距离的最小值为.【答案】302-2【分析】根据题意可知AOAD是等边三角形，每一次旋转可以转化为等边三角旋转60度，则正方形各顶点构成正六边形，边长
29、为1,进而求得每次旋转的角度；在正方形的旋转过程中，第三次旋转过程中点B与&之间的距离的最小值为O的直径减去止方形的对角线的长度【详解】的半径和正方形月BCo的边长均为1,.O40是正三角形.NOAZ)=60。根据旋转可得正方形各顶点构成正六边形,.Sj=CMS。=为6/8OAB=I20。-90。=30即正方形每一次旋转的角度为30,如图，B点的运动路径如图中线ff线部分,正方形的边长为1,.正方形的对角线长为,Q的半径为1，最短距离为20故答案为：30,2-2【点睛】本题考查了正多边形的性质，圆的性质，旋转的性质，正三角形的性质，找到正方形旋转的规律是解题的关键.4 .如图所示，正三角形AB
30、C、正方形A8C。、正五边形ABCDE分别是OO的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点A/、N分别从点3、C开始，以相同的速度在一O上逆时针运动.(1)求图中NAPB的度数(2)图中NAPB的度数是,图中NAPB的度数是；(3)若推广到一般的正边形情况，请写出NApB的度数是.360【答案】(1)120；(2)90,72；(3)-n【分析】(1)根据等边三角形的性质、旋转的性质，求出NAPN=NABC=60。，即可求出答案;(2)与(1)同理，可求NAW=NABC,根据正方形和正五边形的内角度数，即可求出答案；(3)与(1)(2)同理，N4P8为所在多边形的外角度数，即可得到答案.【详解】解
31、：(1)YABC是正三角形， ZABC=60, :点M、N分别从点8、。开始以相同的速度在O上逆时针运动，/.NBAM=NCBN,：ZAPN=ZABN+Z.BAM=ZABN+ZCBN=ZABC=60， ZAPB=180-ZAPN=180-60=120；(2)由图，四边形ABe。是正方形，则与(1)同理,ZAPN=ZABC=90。,：.ZAPB=S0o-ZAPN=900：由图，正五边形A8CDE中，与(1)同理，NAPN=NABC=108。， ZAPB=180o-ZAPN=72；故答案为:90；72：360(3)由(1)可知，NAPB为所在正多边形的外角度数，故在图中，有NAPB=；n360故答
32、案为：:n【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角NAPN的度数，然后得出边形的NAPN的度数.5 .如图、，正三角形48C、正方形ABCD、正五边形ABCQE分别是。的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点8、C开始，以相同的速度中Oo上逆时针运动.(1)求图中NAPB的度数；(2)图中，NAPB的度数是90,图中NAPB的度数是72；(3)根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.【答案】(1)120；(2)=,=；(3)能，ZAPB=-n【分析】(1)由题意可得BM=CN，根据
33、同弧或等弧所对的圆周角相等可得NBMA=NCN8,在利用三角形外角的性质即可求解(2)根据(1)的求解过程，即可求解(3)结合(1),(2)的推理过程，即可得出结论【详解】1)NAPB=I20。(如图)Y点M、N分别从点8、。开始以相同的速度在。上逆时针运动，/./BAM=NCBN,XVZAPN=ZBPMf/.ZAPN=ZBPM=ZABN+ZBAM=ZABN+ZCBN=ZABC=GOo，：.ZAPB=I20；(2)同理可得：图中NAP8=90。；图中NAPB=72。.(3)由(1),(2)可知，NA尸8=所在多边形的外角度数，故在图中，ZAPB=-.n【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同
34、弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形外角的性质是解题关键.6.【阅读理解】如图1,NBoC为等边二ABC的中心角,将NBOC绕点O逆时针旋转一个角度a(0a120。)，NBoC的两边与三角形的边8C,AC分别交于点M,N.设等边，4?。的面积为S,通过证明可得OBM=.,OCN,则S四边形OMcw=SOMc+SocNSoMC+SOBM=SoBC=S.【类比探究】如图2,N40C为正方形ABCo的中心角，将NBOC绕点。逆时针旋转一个角度(00v9(),NBOC的两边与正方形的边6C8分别交于点M,N.若正方形ABC。的面积为S,请用含S的式子表示四边形OMCN的面积(写出具
35、体探究过程).【拓展应用】如图3,NBOC为正六边形ABCDE尸的中心角，将NBOC绕点O逆时针旋转一个角度6z(0oa60o),NBOC的两边与正六边形的边BeC。分别交于点M,N.若四边形OMCN面积为卡,请直接写出正六边形ABCDEF的面积.【分析】类比探究：通过证明可得4QBM学JoeN,则S四边形OMCN=SOMC+Socn=SoMC+SOBM=SOBC=WS正方形ABCokI展应用：通过证明可得QBMg,OCN,则SPq边形QWCN=SOMC+SOCNS(JMC+SOBM=SOBC=%S六边形ABCDEF-【详解】解：类比探究：如图2,NBOC为正方形ABCQ的中心角，OB=OC,
36、/OBM=NOCN=45。,NBOC绕点O逆时针旋转一个角度。(0。90。)，NBOC的两边与正方形的边5CCD分别交于点”,N/.NBoM=NCoN,：,ABoMdCON,S四边形OMCN=SomcSocn=Somc+SOBM=Sobc=WS正方形ABa拓展应用：如图3,TNBOC为正六边形ABCQ的中心角，：.OB=OCtNOBM=NOCN=60。,丁NBOC绕点0逆时针旋转一个角度(009(),OC的两边与正方形的边3C8分别交于点M,N/.NBOm=NCON,：,ABOMdCON, ,S四边形OWCN=SOMC+S.OCN=SOMC+Sobm=OBC=WS六边形8EF. 四边形OMaV面积为 正六边形ABCDEF的面积为66.【点睛】本题考查了旋转，止多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键.
