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1、一次函数知识点总结与常见题型基本概念1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题:在匀速运动公式S=W中，U表达速度表达时间，S表达在时间，内所走的路程,则变量是,常量是o在圆的周长公式C=2口中,变量是,常量是.2、函数：一般的,在一个变化过程中,假如有两个变量X和y,并且对于X的每一个拟定的值，y都有唯一拟定的值与其相应，那么我们就把X称为自变量，把），称为因变量J是X的函数。*判断丫是否为X的函数，只要看X取值拟定的时候，Y是否有唯一拟定的值与之相应例题:下列函数（1）尸ex（2）y=2x-l（3）=错误！（4）y=；-3X（5）尸/1中，
2、是一次函数的有（）（八）4个（8）3个（C）2个（）1个3、定义域:一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、拟定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时,函数定义域为全体实数;（2）关系式具有分式时,分式的分母不等于零；（3）关系式具有二次根式时，被开放方数大于等于零;（4）关系式中具有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之故意义。例题:下列函数中，自变量X的取值范围是应2的是（）A.y=2XB.y=-=1=C.y=，4x、D.y=Jx+2JX-2x-2函数y=Jx-5中自变量X的取值范围是.已知函数y=-gx+2,当一l
3、v%l时J的取值范围是（）5,335-35八3,5A.y-B.-y-C.-y-D.-0时,直线产收通过三、一象限,从左向右上升,即随X的增大y也增大；当k0时,直线y=Ax通过二、四象限，从左向右下降,即随工增大尸反而减小.（1）解析式：y=kx（&是常数，kG）（2）必过点：（0,0）、（1,k）（3）走向:QO时，图像通过一、三象限火0时,图像通过二、四象限（4）增减性:心0,），随X的增大而增大；女Oj随X增大而减小（5）倾斜度:|AI越大,越接近），轴MI越小，越接近X轴例题：（1）.正比例函数y=（3m+5）x,当m时,），随X的增大而增大.（2）若y=+2-3b是正比例函数，则b的
4、值是（）22-34.0B-C.一一D.332.（3）函数尸（hl）xj随X增大而减小,则A的范围是（）A.kC.kD.k0时,向上平移;当b0,图象通过第一、二象限;,图象通过第三、四象限k0=直线通过第一、二、三象限 b0k0o直线通过第一、三、四象限 b0k0k0=直线通过第二、三、四象限 bO时，将直线y=h的图象向上平移方个单位；(上加下减，左加右减)当力Vo时,将直线产左X的图象向下平移h个单位.例题:若关于X的函数y=(+l)xw,是一次函数,则m=.函数y=ax+b与y=bx-a的图象在同一坐标系内的大体位置对的的是()将直线y=3x向下平移5个单位,得到直线;将直线y=一-5向
5、上平移5个单位，得到直线若直线y=-工+。和直线y=x+Z?的交点坐标为(加,8),则+b=.已知函数y=3+l,当自变量增长小时,相应的函数值增长()A.3m+B.3mC.nD.3m1IK一次函数y=Ax+b的图象的画法.根据几何知识:通过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点拟定一条直线，所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点:与y轴的交点(0,)，与X轴的交点0).即横坐标或纵坐标为O的点. k通过第二、四象限八b的符号对直线位置的影响图像过一、二、三象限图像过一、三、四象限图像过一、二、四象限图像过二、三、四象限（大大但
6、是四）（大小但是二）（小大但是三）（小小但是一）思考：若WVo,A0,则一次函数y=mX+的图象不通过（）A第一象限第二象限。.第三象限D第四象限12、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数产衣x+人的图象是一条直线，它可以看作是由直线尸=&*平移I6|个单位长度而得到（当b0时，向上平移;当从时，向下平移）.13、直线=心x+加与y=AzX+岳的位置关系（1）两直线平行火产双且bi力2（2）两直线相交：kk（3）两直线重合：k=k2且b=b?（4）两直线垂直：匕依=-114、用待定系数法拟定函数解析式的一般环节：（1）根据已知条件写出具有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象
7、上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.15、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ar+b=O（a,为常数，0）的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相称于己知直线产a*+拟定它与X轴的交点的横坐标的值.16、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为以+b0或0r+6O,qy(B)y=y2(C)yy2()不能比较三、交点问题1、若直线y=3x-l与的交点在第四象限，则人的取
8、值范围是().(/)k-(B)-k(O)A1或VL3332、若直线y=一x+和直线y=X+Z?的交点坐标为(根,8),则a+b=.3、一次函数y=履+力的图象过点(6,1)和(1,加)两点，且相1,则R=，匕的取值范围是4、直线y=履+通过点A(Tm),8(?,l)(加1),则必有()A. k O,ZjOBk6b0C.k0D.kO,h100时，分别写出y关于X的函数关系式.(2)小王家第一季度交纳电费情况如下：月份一月份二月份三月份合计交费金额76元63元45元6角184元6角问小王家第一季度共用电多少度？4、某校需要刻录一批电脑光盘,若电脑公司刻录,每张需要8元(含空白光盘费)；若学校自刻，
9、除租用刻录机需120元外每张还需成本费4元(含空白光盘费),问刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录费用少？还是自刻费用少?说明你的理由七、一次函数应用1、甲、乙二人在如图所示的斜坡上作往返跑训练.已知：甲上山的速度是米/分,下山的速度是米/分，(0),且所建的两种住房可所有售出，该公司又将如何建房获得利润最大？八一次函数与方案设计问题一次函数是最基本的函数,它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中有广泛的应用。例如,运用一次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方案决策。近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题，这些试题新奇灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能。1
10、.生产方案的设计例1某工厂现有甲种原料360公斤，乙种原料290公斤，计划运用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品需用甲种原料9公斤、乙种原料3公斤，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4公斤、乙种原料10公斤，可获利润1200元。(1)规定安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；(2)生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中一种的生产件数是X,试写出y与X之间的函数关系式，并运用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？2 .调运方案设计例2北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台,北京厂可支援外地10台，上海
11、厂可支援外地4台,现在决定给重庆8台，汉口6台。假如从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台。求：（1）若总运费为8400元,上海运往汉口应是多少台？（2）若规定总运费不超过8200元，共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？例3某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部,共有190名售货员,计划全商场日营业额（指每日卖出商品所收到的总金额）为60万元。由于营业性质不同，分派到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验,各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1,每1万元营业额所得利润情况如表2
12、。表1表2商品每1万元营业额所需人数商品每1万元营业额所得利润百货类5百货类0.3万元服装类4服装类0.5万元家电类2家电类0.2万元商场将计划日营业额分派给三个经营部,设分派给百货部、服装部和家电部的营业额分别为X（万元）、y（万元）、Z（万元）（x,y,z都是整数）。（1）请用含X的代数式分别表达y和z;（2）若商场预计每日的总利润为C（万元），且C满足19WCW19.7,问这个商场应如何分派日营业额给三个经营部？各部应分别安排多少名售货员？3 .优惠方案的设计例4某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“假如校长买全票一张,则其余学生可享受半价优待。”乙旅行社说：”涉
13、及校长在内，所有按全票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠。”若全票价为240兀。（D设学生数为X,甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费同样；（3）就学生数X讨论哪家旅行社更优惠。练习1 .某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米,乙种布料1米，可获利45元;做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利润30元。设生产L型号的童装套数为X,用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y（元）。（1
14、）写出y（元）关于X（套）的函数解析式;并求出自变量X的取值范围;（2）该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少？2 .A城有化肥200吨,B城有化肥300吨,现要把化肥运往C、D两农村,假如从A城运往C、D两地运费分别是20元/吨与25元/吨，从B城运往C、D两地运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知C地需要220吨,D地需要280吨，假如个体户承包了这项运送任务，请帮他算一算,如何调运花钱最小？3 .下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润。某汽车运送公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载,并且每辆汽车只装一种蔬菜）
15、甲乙丙每辆汽车能装的吨数211.5每吨蔬菜可获利润（百元）574（D若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？（2）公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售（每种蔬菜不少于一车），如何安排装运,可使公司获得最大利润?最大利润是多少？4.有批货品，若年初出售可获利2023元，然后将本利一起存入银行。银行利息为10%,若年末出售,可获利2620元，但要支付120元仓库保管费，问这批货品是年初还是年末出售为好？一次函数与方案设计问题答案1解(1)设安排生产A种产品X件,则生产B种产品是(50x)件。由题意得9x+4(50-x)360(1)3
16、x+10(50-x)290(2)解不等式组得30x32o由于X是整数,所以X只取30、31、32,相应的(50-)的值是20、19、18。所以,生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产A种产品30件,B种产品20件;第二种生产方案:生产A种产品31件，B种产品19件;第三种生产方案:生产A种产品32件，B种产品18件。(2)设生产A种产品的件数是X,则生产B种产品的件数是50-X0由题意得y=700x+1200(50-)=-500x+600Oo(其中X只能取30,31,32。)由于-5000,所以此一次函数y随X的增大而减小，所以当X=30时，y的值最大。因此,按第一种生产方案安排生产，获总利
17、润最大,最大利润是:-5003+6000=4500(元)。本题是运用不等式组的知识,得到几种生产方案的设计,再运用一次函数性质得出最佳设计方案问题。2解设上海厂运往汉口X台，那么上海运往重庆有(4-x)台,北京厂运往汉口(6-x)台，北京厂运往重庆(4+x)台，则总运费W关于X的一次函数关系式：W=3x+4(6-x)+5(4-)+8(4+x)=762x(,(1)当W=84(百元)时，则有76+2x=84,解得x=4。若总运费为8400元,上海厂应运往汉口4台。I0x4(2)当W82(元)，贝IJL一S76+2xy乙，120x+240144x+144,解得x4,当y甲Vy乙，120x+2404。
18、答：当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠；本题运用了一次函数、方程、不等式等知识,解决了优惠方案的设计问题。综上所述，运用一次函数的图象、性质及不等式的整数解与方程的有关知识解决了实际生活中许多的方案设计问题，假如学生能切实理解和掌握这方面的知识与应用，对解决方案问题的数学题是很有效的。练习答案：1. (1)y=15x+1500;自变量X的取值范围是18、19、20。(2)当x=20时，y的最大值是1800元。2. 设A城化肥运往C地X吨，总运费为y元则y=2X+10060(0X200),当x=0时，y的最小值为10060元。3. (1)应安排2辆汽车装运
19、乙种蔬菜,6辆汽车装运丙种蔬菜。(2)设安排y辆汽车装运甲种蔬菜，Z辆汽车装运乙种蔬菜，则用20-(y+z)辆汽车装运丙种蔬菜。得2y+z+l.520-(y+z)=36,化简，得z=yT2,所以y12=32-2y由于y1,z21,20-(y+z)l,所以y1,y-121,32-2y1,所以13y15.5o设获利润S百元,则S=5y+108,当y=15时,S的最大值是183,z=y-l2=3,20-(y+z)=24 .(1)当成本大于3000元时,年初出售好；(2)当成本等于3000元时，年初、年末出售都同样；(3) 当成本小于3000元时,年末出售好。一次函数专题训练一、选择题1 .已知一次函
20、数y=辰-左,若y随着X的增大而减小，则该函数图象通过（4）第一、二、三象限（B）第一、二、四象限（C）第二、三、四象限（0第一、三、四象限2 .若正比例函数产AX的图象通过点（1,2）,则A的值为A.-B.2C.-D.2223 .点Pl（X1，y|）,点尸2（x2,y2）是一次函数y=-4X+3图象上的两个点,且XyX2,则y与y2的大小关系是（）（八）yy2（B）yy20（Qy10,40n0C.n0D.m0,n0时，自变量X的取值范围在数轴上表达对的的是（）A. -? ?B. ?C. -? D. -? ?9 .体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次,已知某一组的进球总数为49个，
21、进球情况记录如下表，其中进2个球的有“人，进3个球的有y人，若（x,y）恰好是两条直线的交点坐标,则这两条直线的解析式是（）进球数OI2345人数15Xy32.y=x+9-y=-B.y=-x+9-y=+222222C.y-x+9与y=x+-Dy=X+9与y=x+10 .P（Xi,1）,P2（X2J2）是正比例函数y=；X图象上的两点，下列判断中,对的的是（）A.yYzBJlVy2C.当2时，yiY2D.当my211 .对于函数y=-3X+1,下列结论对的的是（）/.它的图象必通过点（-L3）8.它的图象通过第一、二、三象限。.当QI时JyoD.y的值随X值的增大而增大12 .假期到了，17名女
22、教师去外地培训,住宿时有2人间和3人间可供租住,每个房间都要住满,她们有几种租住方案（）A.5种8.4种C3种D2种13.函数y=3x-4与函数产2x+3的交点的坐标是（）A.（5,6）田。（7,-7）0（-7,-17）。.（7,17）1 4.如图表达某加工厂今年前5个月每月生产某种产品的产量C（件）与时间月）之间的关系，则对这种产品来说,该厂月.1月至3月每月产量逐月增长，4、5两月产量逐月减小81月至3月每月产量逐月增长，4、5两月产量与3月持平CI月至3月每月产量逐月增长,4、5两月产量均停止生产Dl月至3月每月产量不变，4、5两月均停止生产k15.若反比例函数y=*的图象过点（-2,1）,则一次函数y=履-攵的图象过（）XA.第一、二、四象限B.第一、三、四象限C第二、三、四象限D第一、二、三象限16.方程2+3x-l=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=L的图象交点的横坐标，则方程3+2x-1=O的实根XXo所在的范围是（）.0*x.,B.一VXnVC.VXnVD.-VXnVl443322017 .今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛,张老师为鼓励同学们,带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品.已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每
