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1、第六章方差分析(它是用以检验两个或多个均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。)一、方差分析与t检验的关系t检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性；方差分析既可以判断两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。二、方差分析的数学模型用线性模型(linearmodel)来描述每一观测值：Xij-P+T+ij(i=l,2,3,k；j=l,2,3，n)M一总体平均数Ti一处理效应J一试验误差Xij一是在第i次处理下的第j次观测值三、方差分析所需用到的各计算分析值以及F检验变异来源平方和自由度均方MSF值FoosFoOiSSaw 组间MS
2、tMSe组间SSdf=k-lt组间tSS /df 级内 组内组内SSe组内dfe=k(n-l)总变异SSdf=nk-lT/T计算步骤：计算矫正数一(C=X2欣)1SS=EEx2-C;SS=-ZX.2C;SS=SS-SS9tnietdn=nk-1；%=k-tdf=df-dfMSl=SSlZdfl;MSe=SSeZdfeF值：MSlMS例题：例5-1以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留的许多糖蜜可用于酱色生产。生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。今选用5中除杂方法，每种方法做4次试验，试验结果见表5-2,试分析不同除杂方法的除杂效果？表5-2不同除杂方法的除杂量g/kg除杂方法(A)除杂量
3、(X)合计(X)平均方差S2Al25.624.425.025.9100.925.20.442A227.827.027.028.0109.827.50.277A327.027.727.525.9108.127.00.649A429.027.327.529.9113.728.41.543A520.621.222.021.285.021.30.330x.=5亿5单因素试验，处理数k=5,重复数n=4各项偏差平方和及自由度计算如下：矫正数:C=x1nk=517.52/(4x5)=13390.3125SSr=EExi-C总偏差平方和：=25.62+24.42+21.22-13390.3125=138.1
4、975SSTZX.2-Ctni处理间(不同除杂方法间)的偏差平方和:=1(100.92+109.82+IO8.12+113,72)-C4=13518.7875-13390.3125=128.4750处理内(误差)的偏差平方和：SSe=SSTSS1=138.1975-128.4750=9.7225总自由度：6ffr=-l=4x5-1=19处理间自由度：df=A:-1=5-1=4t处理内自由度：dfe=df-df,=19-4=15用SStSSe分别除以dft和dfe便可得到处理间均方MSt及处理内均方MSeMSl=SSlZdfl=128.475/4=32.12MX=SSJ次=9.7225/15=0
5、.65制作方差分析表：处理间128.475432.1249.4275)=105*F-4.89MK4.1S)处理内9.7225150.65总变异138.197519变异来源偏差平方和 自由度均方 F值F临界值显著性因为F=MStMSe=32.12/0.65=49.42*；根据dfl=dftdf2=dfe=15查附表4,得F0.01(4,15)4.89；因为FF0.01(4,15)=4.89,PLSD,则拒绝，即Xl和x2在给定的a水平上差异显著；若I1-21LSD,则接受“，即Xl和x2在给定的a水平上差异不显著2、LSD法的结果表示方法(LSD法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的
6、比较形式。)(1)标记字母法差异显著性除杂方法0.050.01A428.4aAA227.5abAA327.0bAAl25.2CBA521.3dC表5T05种除杂方法除杂效果多重比较结果（SSR法）分析：由表5-10可以看出，在a=0.05水平下，A4与A2、A2与A3均数间差异不显著，其余均差异显著；在a=0.01水平下，A4、A2、A3三者均数间差异不显著,其余差异显著。梯形比较法表5-45种除杂方法除杂效果多重比较结果（LSD法）除杂法Xi.X-21.31.X-i.25.2X27.0%27.5A428.47.L*3.21.4*0.9A227.56.2-2.3杆0.5LSD=1.21,327
7、.05.7-1.8*0.05LSDo.Oi-1.68Al25.23.9-A521.3结论：除A4与A2、A2与A3差异不显著外，其余方法之间的差异达到显著或极显著水平。A4除杂效果最好，A5效果最差。3、LSR法（最小显著极差法）q检验利用q检验法进行多重比较时，为了简便起见，是将极差与与建展比较，从而作出统计推断。qS一称为a水平上的最小显著极差。即：LSRk=q例)S_；其中S_=MSn=.0.65/4=0.403根据dfe=15,k=23、4、5,由附表5查出a=0.05、0.01水平下临界q值，乘以标准误S一求得各最小显著极差，所得结果列于表5-8X表5-75种除杂方法除杂效果多重比较
8、结果(q法)除杂方法X,元一21.3元一-25.2X27.0元一27.5A428.47.U3.2“1.40.9A227.56.2*2.3*0.5A327.05.7*1.8Al25.23.9A521.3表5-8值及LSR值dfe秩次距kq0.05qo.oiLSR0.06LSR0.0123.014.171.211.6833.674.841.481.951544.085.251.642.1254.375.561.762.24将表5-7中的均数差数(极差)与表5-8中相应秩次距k下的LSR比较，检验结果标记于表中。检验结果，A4、A2、心三者差异不显著，其余两两均数间的差异极显著。随着秩次距的增加，检
9、验尺度LSR值也在增加，可有效地控制犯I型错误的概率。新复极差法(SSR法)新复极差法与q检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查SSR表(附表6)而不是查q值表。最小显著极差计算公式为1.SR,.k二SSRo(dfek)Sx5、:可根据显著水平。、误差自由度dfe、秩次距k,由SSR表查得的临界SSR。=0.05和a=0.01水平下的最小显著极差为：1.SRga=SSSRGoSdf.kS1.SRo.01,k=SSRo,Oi(.dj.kSX对于【例5.1】分析，=0.403,依dfe=15,k=2、3、4、5,由附表6查临界SSRO.05(15,k)SSRO.01(15,k)值
10、，乘以Sx,求得各最小显著极差,所得结果列于表5-9o表5-75种除杂方法除杂效果多重比较结果（SSR除杂方法Xn元21.3Xi_25.2Xi-27.0法）Xi-27.5A428.47.1“3.2*1.4.0.9A227.56.2*2.3*0.5A327.05.7*1.8-A125.23.9*AS21.3表5-9SSR值与LSR值dfe秩次距kQo.osXXOlLSR0.06LSR0.0123.014.171.211.6833.164.371.271.761543.254.501.311.8153.314.581.331.854、多重比较的选择1.SD法W新复极差法Wq检验法当秩次距k=2时，
11、取等号；秩次距kN3时，取小于号。在多重比较中，LSD法的尺度最小，q检验法尺度最大，新复极差法尺度居中。一般地讲，一个试验资料，究竟采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的HO和接受一个不正确的HO的相对重要性来决定。试验要求严格时，用q检验法较为妥当；生物试验中，由于试验误差较大，常采用新复极差法（二）单因素方差分析一、组内观察相同的方差分析如上二、组内观察次数不相等的方差分析1、计算修正公式TijSS=2(X21n)-CSS=SS-SSdf=N-lTedf=k-ldf=df-dfeTt因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数n0来代替标准误S:飞MSFi中的n,122层n=-
12、n-*tok-1/2ni【例5-3在食品质量检查中，对4种不同品牌腊肉的酸价进行了随机抽样检测,结果见表5-16,试分析4种不同品牌腊肉的酸价指标有无差异。表5-164种品牌腊肉酸价检测结果品牌(Ai)酸价(XDniAl1.61.52.01.91.31.01.21.411.91.498A21.7L92.02.52.71.812.62.106A30.91.01.31.11.91.61.59.31.337A41.82.01.72.11.52.52.213.81.977xi.47.628处理数k=4,各处理重复数不等。方差分析如下:(1)计算各项偏差平方和与自由度C=2TV=47.628=80.92
13、00SS=EEX2C=(1.62+1.52+2.5z+2.22)80.9200巧8800SS=E(X2M-C=(11.92/8+12.62/6+9.327+13.82/7)C=2.8027SS=SS-SS=3.0773df=N-1=281=27dfkl=41:3df=df4=273=24临界F值为:F0.05(3,24)=3.01,F0.01(3,24)=4.72,因为品牌间的F值(2)列出方差分析表，进行F检验为7.287F0.01(3,24),故PF0.05(2,18)；FBFO.01(4,18),表明不同配方、食品添加剂与配方的互作对蛋糕质量有显著或极显著影响，而食品添加剂间的差异不显著
14、。因此，应进一步进行不同处理均数间、配方各水平均数间的多重比较。(3)多重比较因为A因素各水平的重复数为bn,故A因素各水平的标准误为：对本例而言S-MSfbtixL.eS.=q0.59/(3X3)=0.256X1.由dfe=18,秩次距k=2,3,从附表5中查出SSRO.05与SSRO.01的临界值，计算LSRfi,结果列于表5-31。表5-31配方各水平均数比较SSR值与LSR值dfe秩次距SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.974.070.761.041833.124.270.801.09表5-32配方间平均数多重比较结果(SSR法)处理均值5%显著水平1%极显
15、著水平A37.9aAA27.7aABA16.8bB因素A主效应分析，结果表明配方A3与Al之间差异极显著，A2与Al差异显著,A2与A3差异不显著。因B因素各水平的重复数为an,故B因素各水平的标准误为：S_=MSS/anVx.j.e在本例，B因素的影响不显著，不必进行多重比较。以上所进行的多重比较，实际上是A、B两因素主效应的检验。若A、B因素交互作用不显著，则可从主效应检验中分别选出A、B因素的最优水平，得到最优水平组合；若A、B因素交互作用显著，则应进行水平组合平均数间的多重比较，以选出最优水平组合，同时可进行简单效应的检验。因为水平组合数通常较大（本例ab=4X4=16）,采用最小显著
16、极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用T检验法。所谓T检验法，实际上就是以q检测法中秩次距k最大时的LSR值作为检验尺度检验各水平组合平均数间的差异显著性。各水平组合平均数间的比较因为水平组合的重复数为n,故水平组合的标准误为：S.二,MSThiyeS.=7MS/=*0.59/3=0.443刈e由dfe=18,k=2,3,，9,从附表5中查出0.05、a=0.01的临界SSR值，计算出LSR值，然后进行比较判断得出结论。表5-34个水平组合平均数多重比较结果（SSR法）水平组合均值5%显著水平1%极显著水平A3B39.3aAA2B18.7abABAlBl8.0abc
17、ABA3B27.7beABCA2B27.3beBCA2B37.0cdBCA1B26.7cdBCA3B16.7cdBCA1B35.7dC分析结果表明，A3B3,A2B1,AIBl为优组合，按此组合选用配方和添加剂可望得到较好的蛋糕质量。当A、B因素的交互作用显著时，一般不必进行两个因素主效应的显著性检验(因为这时主效应的显著性在实用意义上并不重要)，而直接进行各水平组合平均数的多重比较，选出最优水平组合。通常水平组合数较大(ab),采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用T检验法。所谓T检验法，实际上就是以q检测法中秩次距k最大时的LSR值作为检验尺度来检验各水平组合平均数间的差异显著性。
