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1、7.4数列求和、数列的综合基础篇考点一数列求和考向一分组、并项求和1 .(2023届湖北黄冈调研,8)已知数列满足.(-l)+2=2-l,52o=65O,则侬=()A.231B.234C.279D.276答案B2 .(多选)(2022广东北江实验学校模拟,9)已知数列期的通项公式为(3n+l,i为奇数11=S-,则()12-2n为偶数,A.46=19B.76C.Ss=22D.S6Ss答案BC3. (2023届江苏百校联考，17)从(3加I)S+尸(3+2).上=5,2即尸知+小+2这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.已知数列涮满足0=2,.(1)求为的通项公式；设儿=g)n,求数歹
2、U。+5的前项和Tn.注:若选两个条件分别作答,则按第一个解答计分.解析(1)选，由(3w-l)=计2)(In及=2,可知alt0,所以%i=咨an3n-1当n2时，有atl=-n-X%1XX幺X色X及Xalan-ian-2a3a2aI二ZlX.-三x2=3-L当n=时,。尸2适合上式,故an=3n-(wN.3n-4371-7852选，由2=n+2,得an+2-an+=an+-an,所以”为等差数列，由。尸2,2=5,得该数列的公差d=ci2-a=5-2=3,所以an=a+(-1)d=2+3U-1)=3n-.由知儿=O,*1+(；),则Tn=2+5+8+.(3-1)1+,+4322/_(2+3
3、n-l)n-()n一1i-4. (2022长沙雅礼中学月考，17)已知数列an中,。尸1,a2=3,其前n项和S满足Sn+1Sw.=2S11+2te2,N).(1)求数列斯的通项公式；若bn=an+2anf求数列l的前n项和Tn.解析(1)由题意得Sn+-S=Sn-Sll.+2(2),即all+-an=2(n2),又s-4=3-l=2,所以a+-如二25M).所以数列为是以1为首项,2为公差的等差数列,所以小=21(WN)(2)bn=a,+2a=2n-1+22n-1=2n-1+4w,所以7:,=l+3+5+.+(2n-1)4(4+42+43+.+4)=+丝产5. (2022重庆市育才中学入学考
4、，17)已知等比数列afl的前项和为S*5M),且三-即12-=-,S6=63.a3(1)求%的通项公式；若对任意的N,儿是Iog2和10g2的等差中项,求数歹IJ(-l),)的前In项和.解析(1)设数列小的公比为q,由已知,有a-京=忌,解得q=2或行-1.又由S6=4p=63,知g-l,所以r=63,得。尸1,所以a=2nA.I-Q1-2由题意,得=(log26Z,+log2)=三(log22w-,+log22n)=n-,即bn是首项为玄公差为1的等差数列.设数列QD悔的前项和为Tnt则T2n=(-bi+)+(-+*)+.+%)=b+b2+.+h2ll=2nfblb2n=2n2.考向二倒
5、序相加求和1.(2022辽宁阜新月考,7)己知函数G)=x+3sin(x-)+,数列“满足%=嬴则f(a)+f(a2)+.tf(a202)=()A.2021B.2022C.4042D.4040答案A2.(2022江苏无锡检测,6)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一,有“数学王子”之称,在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学才能，10岁时,他在进行1+2+3+100的求和运算时,就提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称为高斯算法.已知数列则211-99。1+。2+。98=A.96B.97C.98D.99答案C3 .（2022山东东营
6、一中月考,8）设了二簿根据课本中推导等差数列前项和的cos（30o-x）方法可以求得/（1。）4/（2。）+4/（59。）的值是（）A畔B.0C.59D.U答案A4 .（2022湖北重点高中联考，15）设函数/（x）=IogsAp定义，江心）+f（）+fd）其中N,n2,则S11=.答案0考向三公式法求和1. （2021山东荷泽期末,7）已知数列an的前n项和是Snf且S=2alt-,若（0,2021）,则称项斯为“和谐项”，则数列斯的所有“和谐项”的和为（）A.1022B.1023C.2046D.2047答案D2. （2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,5）如图,连接AABC的各边中点
7、得到一个新的/!山G,又连接AAIiG各边中点得到一个新的AZbSCz,如此无限继续下去,得到一系列三角形:ZiABC,ABChA2B2C2,这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数.已知A（0,0）,B（5,0）,C（l,3）,则这个常数是答案CD.15an + 1, v为奇数,an + 2,R为偶数.3.（2021新高考I,17,10分）已知数列“满足。尸1,斯+记bna2n写出bi,bi,并求数列Zn的通项公式;求为的前20项和.解析（1）由题意得2+1=。2+2,。2/2=。2“+1+1,所以的+2=。2+3,即blt+=bn+3,且Z=2=+l=2,所以数列儿是以2为首项,3为公差的
8、等差数列，所以h=2fb=5tbn=2+(n-l)3=3w-l.当为奇数时,n=-1.设数列的前项和为S，则520=I+2+.+20=(6tI+673+.6f19)(。2+。4+。20)(2-1)+(0-l)+.+(20-1)+(。2+出+.2)=2(敢+如+2。)-10,由(1)可知a2+a4+.+20=1+2.+Z?10=102+3=155,故S2o=2155-10=300,即all)的前20项和为300.4.(2023届长沙雅礼中学月考，18)设正项数列小的前项和为S”,已知2Sn=a+an.(1)求%的通项公式；(2)记瓦尸(WCoS等7；是数列协力的前n项和,求T3n.解析(1)当n
9、=l时,2S=al+a,所以*0,又0,故a=;当ri2时，2一产成一1+册,而2Sn=a+a,l,两式相减得2afl=a-成一1+。”-。,“，整理得(an+a,.)(a,ral,.-)=0t因为an+an.Qt所以即尸1,故zl是以1为公差的等差数列，从而a,l=a+(n-)=n.(2)设Ck=b3k.2+b3k-+b3k=(3Ar-2)2cos2k?)+(3-l)2cos2kg)+(32)2cos2kn=-I(3h2)2-i(3-1)2+9A2=9-,其中AWN：所以c1c2.=n(99n-=等空考点二数列的综合考向一数列与函数综合1.(多选)(2022江苏泰州模考,9)若正整数办只有1
10、为公约数,则称肛n互质，对于正整数k,9也)是不大于k的正整数中与A互质的数的个数,函数夕(k)以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如W=1，9(3)=2,e(6)=2,9(8)=4.已知欧拉函数是积性函数，即如果根,互质，那么夕(WWZ)=9(加9()，例如：9(6)=9(2)9(3),则()A.(5)=(8)B.数列3(2”)是等比数列C.数列(6)不是递增数列D.数列e的前项和小于(答案ABD2.（2023届山东潍坊五县联考，15）视力表是根据视角原理设计的,所谓视角就是由外界物体边缘上的两点在眼结点处所形成的夹角，用表示,其单位为分.视力表以一分视角（一）为单位进行设计.我国视力的
11、记录采用“五分记录法”，视力表由14行开口方向各异的正方形“E”形视标所组成,从上到下分别对应视力4。4.1,5.2,5.3,从上面的第一行开始往下,每一行“E”形视标边长都是下一行“E”形视标边长的倍,且视力L与视角a的关系式为L=5-lg.若某同学的视力是4.0,则其视角a=分;若视力4.0的视标边长为1,则视力5.0的视标边长为.答案105或考向二数列与不等式综合1. （2021浙江，10,4分）已知数列为满足=l,斯+产洋5N记数列an的前项l+On和为工,则（）3A.-Soo3B.3Soo4QQC.4Soo-D.5S00l）,S”是数列彷的前项和,若T,l=ogilyan+1,则S”
12、与乙的大小关系是（）A.SttTnB.SnTtlC.Snm-2021对恒成立,求正整数m的最an大值.解析（1）由-2=0得向=2而则%是以2为公比的等比数列，又。3=8,即4=8,解得6t=2,所以an=2n.（2）由（D可得瓦之=玄,则T词+,+F,2n=+,*,品，两式相减可得，九=；+*+或+3_品=一品,化简可得。=2-箸（NO,因为十北=2-瑞一2+誓=器0,所以北逐项递增,。最小，为泉所以2-n-22021,解得m3常-2.(1)求数列d的通项公式；设GF2,rz(-)n,若对任意nN*,都有esc向成立,试求实数2的取值范围.解析(1)由不等式x2-4mx+3h20可得nx0,
13、(-l),z-2n,当为奇数时,心令2,2=42,-2=2h.所以数列为的通项公式为an=2ft+.（2）由（1）知an=n-2n+nf设A”=1x2+2x22+3x23+.+x2,则2An=122+223+324+.+（-1）2,+n2,+,将以上两式相减得4=2+22+23+2x2=2（2n-l）-2n+t=（1-）2m+1-2,所以An=（n-l）2n+2.设&=1+2+3+.+=归2则Sn=An+Bn=（n-1）2n+,+2y=（-1）2w+,y+-2.3. （2022山东德州夏津一中入学考试）设数列小是等差数列,数列4是公比大于O的等比数列，已知i=l,b=3,Z2=3fl3,九=1
14、22+3.（1）求数歹U知和数列bn的通项公式；设数歹U%满足clt=lna求数列og的前项和Tn.（,on_5/n6,解析（1）设等差数列斯的公差为dt等比数列彷的公比为4（夕0）,根据题意得&=；篙+3,解得；：；或器二;（舍），所以油+（/）*但3*3”.(2)当n6时,cn=bn.s=3,t5,所以Tn=T5+ab+ab2+.-5=15+63l+732+.+h3115.4*=63i+732+.+w3h5,则3M=632+733+.+U-D3F3n两式相减得2M=6x3+(32+33+.+3*5)-n3n4=18+”(1-3-6)H3，*整理得M=-+3w4,所以7；,=+3z,4.13
15、4444综上，7；尸皿罗,九5,+3n-4,116.444.(2021全国乙文，19,12分)设%是首项为1的等比数列，数列彷满足仇=等.已知0,3血9s成等差数列.求知和彷的通项公式；(2)记S和7；分别为斯和彷的前项和.证明：7今.解析(1)设等比数列斯的公比为4Vab3。2,9s成等差数列，；62=。1+9。3,又是首项为1的等比数列，.6q=s+9q2,.*.92-6=1G)22G)3+nQ.(三)-可得*=I+(I)+-+(!/-H-()n+1=J-()n+1G+洸)+:乙心+遥)飞，F=-MG)nF(),所以q=2.所以,bn=2n.b3=44-24,可得3t=8.由Sn=I1Z?
16、4,可得s+5d=16,联立,解得4=l,t=3,由此可得an=3n-2.所以,数列斯的通项公式为an=3n-2i数列6的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nb2n.)的前n项和为Tnt由=6n-2,版2x4L得2nj.=(3n-l)4,故7,=24+542+843+.(3w-1)4rt,47;=242+543+844+.+(3h-4)411+(3-1)4w+,上述两式相减,得-37;r=24+342+343+.+34m-(3w-1)41=12x4-4-(3w-l)4,r+,=-(3w-2)4+,-8.1-4得刀尸等x4n+l+*所以，数列a2fib2n.的前n项和为之F4n+1+1.考法
17、二裂项相消法求和1. (2022广东四校联考,6)已知数列&满足4尸羔,则0璞+段+普+就A()咨2oi8c202d112021201920202022答案D2. (2023届辽宁鞍山质量监测，17)已知等差数列小的首项为log315-log310+ilog34的值,且ay+a=18.(1)求数列仿“的通项公式；设bfl=-t求数歹IJ(b,t的前项和Tn.ann+l解析(1)根据题意得,4=log315-log310+5og34=log3+log34=log3+log32=log3(2)=1,设all的公差为d,则由3+。7=18,得m+2d+o+6d=18,解得d=2,所以a=l+(w-l
18、)2=2w-1.(2)由(D可得bl=(2n-i2n+l)=-表)所以4(心)+XU+乂贵一表)=TO一表)=就.3. (2022新高考I,17,1()分)记S”为数列%的前项和，已知所1,君是公差为狗等差数列.(1)求zt的通项公式；证明:2+工+2.a2an解析(1)解法一:依题意得,S尸0=1.=i(n.l)=.Qnl333Sn=(n+2),则3S11+=(?/+1+2)=(h+3)an+t.*.3i-3Sm=(n+3)an+-(w+2)all,即3=(n+3)0n+-(n+2)any=(+2)an,即=厮n由累乘法得皿J+?*),112又。尸1.。“+广如*2n(n+l)（应2）,又m
19、=l满足上式,斯=也罗心).解法二：同解法一求得nan+=(w+2)all,鬻/即+(n+l)(n+2) n(n+l)j数歹U岛是常数歹山首项为去 a7t _ 1 . n(n+l),rn)= ? an=(2)证明：由(1)知工=n(n+l)= 2G)*(泊)+2Ca)=2(1-总=2-看2时,由TQl+京2+看03+亲%=，得Ial+专口2+京口3Hb2=-l，由-得亲/”(-1)=1,即an=3n(n2).当=1时也成立,所以数列an的通项公式为a=3(eN).(2)因为儿=log3=log33二,设“的公差为d.所以bnbn+bn+2 n(n+l)(n+2)由题意可得a+2d+a+5d=2
20、a+ld=18.因为6/1=2,所以d=2f则art=+(/1-1)d=2n.选.设小的公差为d.因为Sn=n1+pnt所以Sn-=(-1)2+p(w-1)=n2+pn-2n-p+1(2),两式相减得an=2n+p-1U2),又因为a=S=p+满足上式,所以an=2n+p-1(nN*).a=2得p+l=2,所以p=l,所以an=2n.选.设斯的公差为d.因为。3+。4=7,所以a1+2d+a+3d=a+6d,艮IJa-d.因为1=2,所以d=2,所以an=a+(w-l)d=2n.(2)由(1)可得at,+=2(/?+1),则A=勒而=IGW)故 (2020 浙江,20, 15 分)已知数列an
21、, bn, crt满足 a=b=c=lt cn=at,+-an, cn+=-22-c如+ 2N*.若bn为等比数列,公比q0,且5+岳=6历,求q的值及数列小的通项公式；若bn为等差数列，公差办0,证明：0+C2+C3+.+c.0 得 blt+0,因此 Ci +c2+c3.cw0,dS4OB.ad0,dS40,dS4OD.adO答案B二、多项选择题6. （2022河北部分重点中学期中,9）已知数列小中,。尸1,aftal=2n,nN则下列说法正确的是（）A0=4Bld是等比数列C1=2/D.1+6f2=2,+l答案ABC7. （2022福建莆田华侨中学月考，12）设首项为1的数列斯的前项和为S
22、”,已知=2S,+z-l,则下列结论正确的是（）A.数列麻为等比数列8. 数列+为等比数列C.数列an中，6Zo=511D.数列2SJ的前n项和为2n+2-n2-n-4答案BCD8. (2022辽宁六校联考，12)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数：1,1,2,3,5,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列斯称为“斐波那契数列”，记S“为数列斯的前项和，则下列结论正确的是()A.6=8B.S9=54C.ai+6T35.2019=2020ral2+2019-,.D.-重020019答案ACD9. (2021新高考11,12,5分)
23、若正整数n=a0+al-2+.+ak.r2hl+ak2kt其中a0,1(/=0,1,.,),iB()=如+由+公，则()A.(2)=()BQ(2z+3)=()+1C.(8h+5)=(4+3)D.(2-1)=/?答案ACD三、填空题10. (2022福建莆田华侨中学月考，14)等比数列an)中，a,0且。2出+2咖5+。36=25,则a3+a5=.答案511. (2022辽东南协作体期中，15)已知数列小的前项和为Snt若a=l,2Sfr=+l,则Sn=答案(3n,+l)12. (2022河北衡水中学模拟一，16)等差数列an中,a+a5+a14=ao+24,且%二30,则as=；若集合“eN*
24、2%5+a2+.+4中有2个元素,则实数2的取值范围是答案12(*)13. （2022重庆八中检测，13）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏,它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数,决定解开圆环的个数.在某种玩法中,用如表示解下（彷9,hN*）个圆环所需的最少移动次数,数列小满足61=1,且an=（用2斯T一ln为麴我则解下（为奇数）个圆环所需的最少移动次数为2n+2,n为静教；含的式子表示）答案2（199,为奇数）14. （2022江苏无锡质检，16）“刺绣”是一门传统手工艺术,我国已有多种刺绣被列入世界非物质文化遗产名录.有一种刺绣的图案由一笔画构成,很像汉字“回”，称
25、为“回纹图”（如图）.某刺绣工在方格形布料上用单线针法绣回纹图,共进行了次操作,每次操作在前一次基础上向外多绣一圈（前三次操作之后的图案分别如下图）.若第2次操作之后图案所占面积为&（即最外围不封口的矩形面积,如S=2,S2=12,S3=30）,则至少操作次,&不少于90;若每横向或纵向一个单位长度绣一针,称为“走一针”，图共走了5针，图共走了19针,图共走了41针,则其第次操作之后的回纹图共走了针（用含的式子表示）.答案54+2h-1四、解答题15. （2022福建莆田华侨中学月考，18）已知等差数列麻满足:由7,a5+7=26.a）的前项和为S”.（1）求知及Sn;令3k求数列彷的前项和解
26、析(1)设等差数列斯的公差为d,因为3=7,a5+7=26,所以有件+/竟”解(2a1+IOa=26,得=3,d=2t所以a,l=3+2(-1)=2n+1,Sn=3n+-2=nz+2n.由知，小=2+1,所以儿=(2：)2-1=；CW)所以北W(14+A3+W)=XI-缶)=扁16. (2022重庆云阳江口中学期末，17)已知数列为的前n项和S满足Sn=2(%-1),11N*.(1)求0及数列的通项公式；求数列今的前项和北；求证:7+lSI-Tls22Sn-Tn解析由Sn=2(rt-l),N知：当n=时,。尸5尸2(即1),可得。尸2,又an=Sn-Sn.=2(aw-D-2(n-1),n2,所
27、以an=2an-,论2，所以恁是首项、公比均为2的等比数列,故诙=2”,WN：(2)由(1)知言=g)n,所以=+)=1-()n,11N*.证明：由(D(2)知:土=访亩WJ=即%=k75=-12n+1-所以卷+六+)=六_=1一/0L得证.17. (2022河北部分重点中学期中，19)已知公差不为零的等差数列atl的前项和为Sn,53=6,G,%。8成等比数歹山数列彷满足=1,b,t+=2bn+.(1)求数列知和彷力通项公式；求k=三kSin(ak的值；n证明：k=用22SN)bc解析(1)设等差数列斯的公差为d(d0),由题意得+(1+3d)z=(1+d)(1+7d)解得M=IL故数列涮的
28、通项公式为。尸3=1,+=2儿+1,也+l=2彷”+1),艮叱+；=2(fiWND,又6二1,仿”+1是以2为首项,2为公比的等比数列,为+1=2”,瓦二21.(2)当k=2n,附，%sin(Qk(2w)2sinm=0,当=2w-1,ZWN时，或sin(Qk,)=(2/n-1)2sin2r1n=(-l),+l(2w-l)2,.*.c=1sin(ak12-32+52-72.+972-992=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+.+(97-99)(97+99)=-2(1+3+5+7+.+97+99)=-5000.(3)证明:皿=2=11=2+0,；Nk=Ii+2=1-六+=嘉+(i-i).
29、19. (2022山东青岛二模，19)已知等比数列斯为递增数列,ai=,al+2是改与S的等差中项.(1)求数列为的通项公式;(2)若项数为的数列彷“满足:斥(i=l,2,3,)，则我们称其为项的“对称数列”.例如:数列1,2,2,1为4项的“对称数列”；数列1,2,3,2,1为5项的“对称数列”.设数列金为2k-l(k2)项的“对称数列，其中Chc2,C3,.,C是公差为2的等差数列，数列Q的最大项等于记数列c的前2k-项和为Sw,若-=32,求k.解析设数列atl的公比为q,由题意知42+s=2(m+2),所以q+c=6,解得q=2或=-3(舍)，所以an=aq,ti=2,tl.由题意知:
30、以=出=8,Cl,C2,C3,以是以8为末项,2为公差的等差数列,所以cjt=c+2U-I)=8,解得c=10-2,所以c+c2+c3+.+=(8j)=攵(9-2),所以Sx/=CI+C2.+c*+c%+j+.+C2,l=Q1+C2+以)+(Cjt+C+.+C2jI-1)-Ck=2k(9M)8=18h2F8,所以32=18h2d8,即M-%+20=(),解得k=4或k=5.2Ln(n+1)(n+l)(n+2),所以Tn=-1FH=-212232334n(n+l)(n+l)(n+2)2Lz(n+l)(n+2)J5.(2022河北邢台入学考试)在s+%=18,“的前n项和S=n2+pn,3+4=G这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.问题：在等差数列诙中,。尸2,且.求数列小的通项公式；(2)若b二一,求数列彷的前项和Tn.1111注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.解析(1)选.
