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1、弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性摘要：首先给出了轻质弹簧的个性质定理，然后分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，也具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略不变性，解决了关于这个问题的争论.关罐词：轻质弹簧：性质定理：伽利略不变性：力学相对性原理：机械能守恒.中图分类号：0313.1文献标识码：A参考文献111都有这样一个题目：一质量为根的小球与一劲度系数为上的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动.试问在一沿此弹簧长度方向以速度相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由.(地球的质量视为充分
2、大，从而稳定地保持为惯性系)由于弹簧和小球连接在一起，物理量之间存在着联系，因此可以等效认为弹性势能属于弹簧，但是本质上属于小球.为此我们首先给出轻质弹簧的一个性质定理一一轻质弹簧的性质定理：轻质弹簧虽然始终是两端受力而不是单端受力，但是计算轻质弹簧的形变和弹性势能时，可以有两种等效的方法：1.将轻质弹簧的一个端点视为相对静止，此时劲度系数为k；2.将其中点视为相对静止，则可视为两根串联的弹簧，其劲度系数是2k.证明：1、当观察者在弹力所在直线上的分速度为。时假设轻质弹簧所受外力为F,我们可以从两个角度认识，一方面将轻质弹簧的一个端点视为相对静止，此时劲度系数为匕形变为X,我们当初定义劲度系数
3、k=Fx,弹性势能为1人外换一个角度如果认为弹簧2是两端受力使弹簧发生形变，此时应该视为为两个劲度系数相同的弹簧串联，根据弹簧串联的知识可以知道这时每个轻质弹簧的劲度系数为2k,弹性形变为L,整个弹簧形变还是X,弹性势能为21.2Z(1幻22=L去2也不变.所以在轻质弹簧问题中考虑两端受力与一端受力计算弹性形变和弹性势能是222等效的，只不过等效劲度系数不同,但是由于整个弹簧的劲度系数不变，计算弹簧振子周期时仍然用k,这是轻质弹簧的一个性质.2、当匀速运动(变速运动也成立，本文不再讨论)的观察者相对于轻质弹簧的固定点在弹力所在直线上的分速度不等于0时，根据对称性原理，dEip(r)=-2id(
4、x1)=idx,与只考虑一端受到的力产生的效果相同.证毕.说明：轻质弹簧的性质定理只是说明考虑两端受力效果计算用2k,考虑一端受力效果劲度系数用k计算，这里采用等效的观点处理问题，爱因斯坦创立广义相对论时也曾经采用过等效原理.该定理不代表弹簧的劲度系数发生了变化，其实弹簧的劲度系数是伽利略不变量，下面是朱如曾研究员的证明一根据质量、时间和空间坐标的伽利略变换式，弹簧的无形变长度Io和伸长(xxo)以及质点的加速度均是伽利略不变量.力学相对性原理保证牛顿第二定律适用于任何惯性系，故力也是伽利略不变量，因此弹簧拉力f是伽利略不变量，由于伸长(xxo)也是伽利略不变量，所以作为拉力与伸长之比的弹性系
5、数也是伽利略不变量，但是胡克定律不具有伽利略变换的不变性.考虑到弹簧两端受力都使弹性势能发生改变时，如果继续用劲度系数k计算弹性势能，能量显然会增大，其实无论如何分割弹簧，弹性势能应该是不变的.对于两端都有位移的弹簧的总伸长定义为一端的形变.下面利用反证法说明考虑墙壁的作用力，劲度系数依然按照k计算的错误一一假设墙壁的作用力单独改变振子的机械能，与振子的作用力一样，根据对称性原理，必然改变弹簧的形变，那么弹簧的形变就不再是伽利略变换的不变量，以弹簧的伸长为例，如果考虑墙壁的作用，当振子运动到最大位移处，振子对于弹簧的拉力F=kA.对于小车系，测量的力也是F=kA,墙壁的拉力是F1=-kA,如果
6、此时劲度系数依然按照k计算，此时弹簧的形变为2A,这样弹簧的形变就不是伽利略变换不变量，显然是错误的.弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质,不考虑振子的大小和形状的理想化的物理模型.由于忽略了弹簧的质,所以系统的机械能就是小球的机械能.当初定义轻质弹簧的劲度系数k时，是用一端受力定义的(其实是两端受力，另一端按照固定不变定义)，如果按照两端受力，劲度系数都用k计算，形变有可能超过弹性限度.弁考解答提出在运动系中弹簧在靠近墙的一端所受的力也做功，这样计算也可以，此时必须按照两个相同的弹簧串联处理，每一个的劲度系数为2k,由于按个弹簧的劲度系数不变，周期不变，结果是等效的，因此弁考解答错误
7、.如果再单独计算墙对于弹簧做功就重复了，才出现了机械能不守恒的错误.如果考虑墙对于弹簧所做的功，显然可以测量出小车相对于墙的运动速度,这与力学相对性原理(不可能借助在惯性系中所做的力学实验来确定该分考系做匀速直线运动的速度)是不符合的.弹簧振子不是弹簧+质点，而是质点受到线性回复力.解：由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.在地面参照系上观察时，以小球的平衡位置为坐标原点，以水平向右的直线办为X轴，建立直线坐标系如图1所示.堵.ox光滑水平地面图1弹簧振动振子机械能守恒问题新解当仁O时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐
8、振动，则小球的位移为:4Acos(cf),其中2=kJm,k=m2.设小球的速度为加速度为受到的力为/动能为EkQ),势能为稣，机械能为).则有：V=-Asin(t),a=-2Acos(r),f=ma=-m2Acos(t)=-kx.drdrEk(t)=-wv2=w-Jsin(Z)2=-w2A2sin2(O=M2sin2().(1)2222dEp()=dx=AxcU=dEP(O=；kx2+C.将初始条件上0时，x=A,Ep(O)=kA2代入上式得：M2=Fp(0)=A2+C,C=O,Ep(r)=ykx2+C=；Ax2+O=-M2cos2(Z).(2)(t)=Ep(r)+Ek(O=；M2cos2(
9、r)+；M2sin2()=；AA2=常数(3)设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度作匀速运动的参考系(设为小车，见图1)刚开始相对运动时完全重合，开始相对运动后，当仁0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动.宜觉判断：因为小球在最大位移处以匀速度量值U相对于小车沿X轴负向运动，我们规定此时地面系和小车系的势能相等，所以在小车参照系上观察(即以小车参照系为静止系)时，弹簧振子体系(或小球)的机械能比在地面参照系上观察时，增加(-)2=,用2,所以在小车参照系上观察时，弹簧振子体22系(或小球)的机械能为：E1()=E()+1团2=_1乂2+_!_团2=常数222所以，在小车参照系上观
10、察时，弹簧振子体系(或小球)的机械能守恒，守恒值为L姑2+,根苏,这22里采用特殊点判断，下面给出-一般证明.数学推导：设在小车参照系上观察时，小球的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能、机械能分别为汨，V,aifftEM。,Eip(。，Ei(t).则有：A/、dx1,/、d,一,、x=x-ut=Acos(t)-ut,Vi=-i-=-Asnt)-u,a=L=一-Acos(Z)=。,drdr力=wey2AcOS(M)=-履.(说明：f-kx,胡克定律不具有伽利略变换的不变性，胡克定律不是牛顿定律的推论，不代表经典力学不满足力学相对性原理)Eik()=-mv=tn-Asin()-w2=m2A2
11、sin2(ty)+2uAsin(t)+u2=222-kxi - muAsn(t)M2sin2(r)+wwsin(r)+-tnu2.(4)dEp(O=-fdx=kxd(x-ut)=kxdx-kuAcos(t)dt=dEp(t)=-kx2-muAsin(t)+C.将初始条件/=O时为=x=A,Elp(O)=Ep(O)=1M2,代入上式得：kA2=Fip(O)=yM2-wAsin(O)+C,C=O,EipQ)kx2-muAsin(t)+C=kx1-muAsn(t)+O=kx2-muAsin(t)=kA2cos2t-muAsin(t).(5)22E(Z)=Ep(r)+Eik(/)=ykx1-muAsi
12、n(t)+yM2sin2()+wAsin(r)+mu2=M2cos2()+M2sin2()+mu2=M2+1mi?=常数.(6)22222所以，在小车参照系上观察时，弹簧振子体系(或小球)的机械能仍然守恒，守恒值为1乂2+_1m炉22当U=O时两个坐标系重合，守恒值相等，符合玻尔的对应原理.有人认为我们的计算忽略了墙壁的作用，这是一种误解，根据轻质弹簧的性质定理，考虑小球(振子)对于弹簧的作用力时考虑弹簧的一端受力，劲度系数用k计算，如果考虑到墙壁的作用，此时是利用弹簧的两端受力，是两个弹簧的串联，劲度系数用2k.下面利用反证法说明考虑墙壁的作用力，劲度系数依然按照k计算的错误一一假设墙壁的作
13、用力单独改变振子的机械能，与振子的作用力一样，根据对称性原理，必然改变弹簧的形变，那么弹簧的形变就不再是伽利略变换的不变量，以弹簧的伸长为例，如果考虑墙壁的作用，当振子运动到最大位移处，振子对于弹簧的拉力F=kA.对于小车系，测量的力也是F=kA,墙壁的拉力是B=kA,如果此时劲度系数依然按照k计算，此时弹簧的形变为2A,弹性势能是地面系的4倍，这样弹簧的形变就不是伽利略变换不变量，弹性势能也不是伽利略变换的不变量,这实际是处于自相矛盾的处境.从上述推导可以看出两点：当0,只有GU兀，时才有：EpS=EpMf);当U=O时，二者显然相等，这也符合玻尔的对应原理.在分析这个问题时不能在地面系用外
14、势能机械能守恒定律(把地球质量认为充分大)，在小车系用内势能机械能守恒定律(把地球质量视为有限值)，考虑地球受到的惯性力，前后不自洽.因为力具有伽利略变换的不变性，在两个不同的惯性系中质点受到的合力是不变的，所以如果在一个惯性系中机械能守恒，在另一个惯性系中机械能也定守恒.因为只有非保守力做功，才使机械能发生变化R解法2：在地面系一一Et)=-m(l2=-M2sin2(),(7)22EP(Z)=yx2=yM2cos2(),(8)E(r)=f,(r)+Ek()=yM2cos2(Z)+yM2sin2()=y.(9)在小车系Eis=mo2=-m(v-u)2=-mv2-mv.u+mr(10)2222t
15、X9XIIftIE，P=JdE,p=-fd,=-fd+fudt=kx1+Judt-x2+mv.w(11)oooo20力2E()+EkV)=w+Ax2+nw2=Emu2=E,(12)2222式(9)和式(12)比较可见，弹簧振子(质点)机械能守恒定律在各惯性系都成立.Ep=kx2是根据“物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”推导出来的，如果后者错误，前者显然错误，当二者发生矛盾的，只能考虑前者有错误(在数学中当“定理”与公理矛盾时我们只能“定理”).经典的弹簧弹性势能公式Ep=;底不是定义式，也是在特定条件下推导出来(观察者在弹力方向上的分速度为0),并非对于所有的观察者都成立，300年来人
16、们一直把二者当成充要条件，也就是说关于弹性势能的外势能差不具有伽利略变换的不变性，人们由于没有认识到这一点才提出了各种各样的解释，这是机械能守恒定律与力学相对性原理关系争论的根源所在,不完全归纳法得出的结论不一定是普遍的真理.如果我们这样认识经典力学，去除了一些错误的认识，经典力学便显得更加和谐.如果考虑到这一点，原来各家杂志上对于这个问题的争议便全部迎刃而解，请读者自行分析，本文从略.量子力学的发展表明，不存在一个客观的、绝对的世界.唯一存在的，就是我们能够观测到的世界.物理学的全部意义，不在于它能够描述出自然“是什么”，而在于它能够明确，关于自然我们能够“说什么”.如果坚持fp=g2适用于
17、所有情况，由于弹簧的形变是伽利略变换不变量，因此参考文献山川中的部分文章坚持认为弹性势能差对于不同的观察者不变，才出现了机械能不守恒的错误结论，为了解释这个问题人们提出了机械能守恒定律可以不满足力学相对性原理或者满足力学相对性原理，但不具有单独协变性的错误的理论，在功能原理中直接去掉外势能的概念.胡克定律F=kx,在这里是实数与矢量(向量)的积，X是弹簧的形变，是一维矢量，弹性势能应该是dEp=依ds,在这里是数量积（标量积），当观察者在弹力方向上的分速度为O时，=s,便得出了Ep=kx2;当观察者在弹力方向上的分速度不为为O时不是始终相等的，如果此时利用d昂=H/必:/计算弹性势能就错了，这
18、样计算力就不是伽利略变换的不变量了.正如爱因斯坦所讲的：“从原始的文献中追踪理论的形成过程，往往会对于事物的本质产生更加深刻的认识.”如果认为弹性势能对于所有的匀速运动的观察者都不变，那么得出的机械能显然是速度V的函数，与伽利略当年的大船实验显然是不相符的.理解这个问题必须深刻理解力学相对性原理的本质，不能不自觉地把运动系中的观察者又转移到地面系，不突破这个问题很难理解机械能守恒定律与力学相对性原理的关系，得出机械能守恒定律不满足力学相对性原理的或者机械能守恒定律在伽利略变换中不具有单独协变性的错误.I网如果把弹性势能定义为由于质点受到弹力作用而具有的势能叫做弹性势能就比较完整了，不但包括弹簧
19、振子中的弹性势能，也包括具有质量的弹簧、弹弓、弓箭等弹性势能，甚至包括斜面上的滑块受到的弹力一一支持力等具有的弹性势能.在弹簧振子问题中，是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑弹簧质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能.主要结论一一通过本文得出了关于弹性势能的机械能守恒定律不但满足力学相对性原理，而且具有单独的协变性，对于内势能势能差是伽利略变换的不变量，对于外势能势能差不是伽利略变换不变量，经典力学没有明确指明，才导致了这场争论，使人们发生了误解,这不是经典力学的错误.经典的外势能的弹性势能公式仅适用于观察者在弹力所在直线上的分速度为。时的
20、情形，弹性势能不仅与弹簧的形变有关，也与观察者有关（能量是做功的能力，不同的观察者测量者可以不同）.几点说明：1有人认为一一“墙壁（含地球）的质量视为充分大”，所以这个外界它是一个大能库！它的速度发生无限小变化，就能提供或者吸收有限的能量.笔者认为一一在地面系看来，机械守恒定律成立，说明此时是把地球当做严格的惯性系，不考虑地球的加速度，地球的质量为充分大，在小车系看来也应当没有外力使其发生的位移，只有小车相对于地球运动产生的位移，因此不考虑地球与该系统的能量交换，在这个问题中把地球当做能量库是错误的.如果承认在小车系机械能不守恒，必然存在半个周期系统的能量减少，可是地球质量视为充分大，外力不可
21、能对其做功。在这个问题中既然没有耗散力，能量消失的途径为何？2、有人认为：由于墙壁和地球对弹簧振子系统而言是外界，弹簧振子系统的机械能增加来源于墙壁对它做功；弹簧振子系统的机械能减少，是通过弹簧对墙壁做功转给了墙壁和地球系统.能量守恒定律对封闭系统成立，弹簧振子系统不是封闭系统，存在与其相互作用的外界（墙壁和地球），所以一般说来谈不上能量守恒.只在地球上看，墙壁虽然对弹簧有作用力，但是不做功，根据机械能守恒定律，弹簧振子系统才机械能守恒.诺特定律说，时间平移对称性保证封闭系统能量守恒，但是弹簧振子系统并不是封闭系（有墙壁的作用），所以不适用.在地球上看，弹簧振子系统虽然不封闭，不能直接应用诺特
22、定理，但是墙壁不做功，所以根据机械能守恒定律，弹簧振子系统机械能守恒.而在小车上看，不仅不封闭，而且墙壁还做（正负）功，所以诺特定律和机械能守恒定律都不适用.解答：如果把地球、弹簧、小球看做一个系统得出的结论也一样，此时必须以系统的质心为参照系，地球不再是严格的惯性系.因为本题把地球的质量视为充分大（因为以地球为参照系时也是把地球的质量视为充分大得出的结论，否则机械能守恒定律也不成立，这也是有人按照两体问题解决的原因，地球质量近似看做充分大，可以不用考虑惯性力的问题.），只有外势能，没有内势能，只需考虑弹簧振子的能量即可，弹簧振子的能量经过计算也是守恒的.爱因斯坦讲：“当认识到宇宙的统一性的时
23、候，将会产生一种无比壮丽的感觉.早在1900年以后不久，即在普朗克的首创性工作以后不久，这类思考已使我清楚地看到：不论是力学还是热力学(除非在极限情况下)都不能要求严格有效.渐渐地我对那种根据已知事实用构造性的努力去发现真实定律的可能性感到绝望了.我努力得愈久，就愈加绝望，也就愈加确信，只有发现一个普遍的形式原理，才能使我们得到可靠的结果.”科学不是真，只是一种方便的方法，不过人类以这种方便为真.一种几何学不会比另一种几何学更真,它只能是更为方便而己.实验是真理唯的源泉，即使科学原理也要由实验来最终裁决.因为总是存在着多种多样的方法达到同一个目标只要结果一样，逻辑程序的内容是无关宏旨的.科学是
24、有继承性的，新原理的出现并未全盘否定旧原理，旧原理不仅有其历史价值，而且在有效适用范围内还有其实用价值.弁考文献：1.高炳坤.力学中一个令人费解的问题J大学物理，1995(5)：2024.2 .李光惠，高炳坤.对“力学中一个令人费解的问题”的补充，1996(10)：4445.3 .赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程力学M.北京：高等教育出版社，2000：124.4 .高炳坤.能量追踪J大学物理，2001(3)：1516.5 .高炳坤.一个保守力做的功等于势能的减少吗J.大学物理，2001(5)：1920.6 .高炳坤.从4个参照系看弹射过程.大学物理，2010(7).7 .蔡伯濂.关于讲授功和能的
25、几个问题，工科物理教学，1981(1),713.8 .王立、张成华.机械能守恒定律具有伽利略变换不变性.吉林师范大学学报(自然科学版)，2004.3.9 .李兴毅，陈健，赵佩章，赵文桐.伽利略变换的物理意义.河南师范大学学报(自然科学版),2002.2.10 .裴永伟，籍延坤，吴振声.物理规律的协变性与可变性.沈阳大学学报,2005,(17)4,100-104.U.李兴毅，陈建，赵佩章，赵文桐.伽利略变换的物理意义.河南师范大学学报(自然科学版)，2002,(30)1:39-4,12 .李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷.物理通报，2014(9)：119120.13 .漆安慎，
26、杜婵英.普通物理学教程.力学(包景东修订).2014年第三版：139.14 .朱如曾.相对性原理及其对自然界定律的协变性要求，大学物理，2000年，19(2)：1519.15 .朱如曾.相对性原理对普遍定律和非普遍定律参考系变换性质的不同要求一关于协变性疑难的进一步讨论.大学物理，2002年，21(3)：1923.16 .冯伟.机械能守恒定律与参照系一一对力学中一个问题的讨论，承德民族师专学报，1986(4).17 .郑永令，力学(2004年1月第2次印刷)，194页.18 .刘敏，孙皆宜.再论机械能守恒.牡丹江教育学院学报，2005(5)：26,34.ExternalpoteniaIofeI
27、asticpotentiaIdoesnotsatisfyinvariabiIityofGalileotransformationAbstract:Thearticleofferedaqualitativetheoremoflightspringaboveall,thenanalyzedmechanicalenergyconservationofelasticpotentialofexternalpotentialsatisfyingmechanicalrelativityfundamentalandpossessingindependentcovariantidiosyncracyaswell
28、.ElasticpotentialdoesnotsatisfyGalileoinvariability,whichclarifiedargumentabouttheissue.Keywords:lightspring;qualitativetheorem;Gali!eoInvariabilityunechanicalrelativityfundamental;mechanicalenergyconservation.附录：弹簧质量对振动系统的影响1前言弹簧振动作为自然界中最普遍的最广泛的运动形式之一，在物理学的基础理论研究中同样是具有显著地位,正确理解并掌握其振动系统的客观规律对于今后深入研究
29、并掌握自然界的普遍运动规律具有非常重要的理论上的意义和实践中的意义。作为自然界弹簧系统振动形式中最简单的抽象化的物理模型一简谐振子,它由质量为机的振子和弹簧弹性系数为k的无质量的理想的弹簧所组成,则其弹簧振动系统的周期为：T=2yrnk简谐振子实际上是一个理想化的抽象化的物理模型，实际上弹簧的自身质量外相比振子的质量相来说未必可以忽略不计,而一旦忽略了弹簧质量的影响,就必定会造成理论上计算值与实际测量值之间的不吻合,并且这种差异并非属于随机简单的计算误差,而是具有明显的系统误差性质，必要时还是应予以修正的。在实验中得到的弹簧振子的振动周期和理论结果存在着这些的差异,其中原因可能有很多，但主要是
30、由于弹簧的质量对振动存在一定的影响；一般人们在讨论弹簧振子的振动情况时，通常不考虑弹簧的质量影响，而按照理想状态处理。但是在实际情况下，弹簧质量还是对弹簧振子的振动系统有一定的影响，而作为弹簧系统振动周期的一级近似,可以将弹簧质量人的三分之一有效质量加到振子的质量7上去,从而将弹簧质量为机。、振子质量为机的实际弹簧振动系统等效看作是一个具有质量为加+/3的理想质量的弹簧振动系统,弹簧系统的振动周期为：为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析研究了弹簧质量对振动系统影响，并且结合运用机械能守恒定律和迭代法
31、分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论，该结论对于研究实际弹簧振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。2振动系统的动能和势能通常用弹簧振子来研究简谐振动问题，用到轻弹簧“叫这里考虑到弹簧质量，系统振动时弹簧不仅具有振动动能，而且弹簧在某一位置还具有重力势能。下面就从振动系统的能量开始，按弹簧的动能与势能分两部分来研究，再对弹簧振动系统的机械能概括总结，同时也是针对其质量对整个弹簧系统振动状态的影响。2.1弹簧振动系统的动能分析概况弹簧振子按照如下图2.1放置在一个光滑的倾斜程度为。斜面上，弹性系数为女，弹簧的原长为L,达到平衡位置时弹簧伸长量与，物体的质量为Z,弹簧的质
32、量为外。图2.1弹簧振子Figure2.1springoscillator因为弹簧振子中的弹簧质量为外，弹性系数为3振子质量为2,若弹簧的振动方程为：X=AcQt+(p)(2.1)那么弹簧振子在运动过程中其速度就可以通过求导来得到，那么对(2.1)式进行求导可得弹簧振子任意时刻的速度U为：v=-=x=-Asn(t+)(2.2)因为考虑到弹簧的质量，所以振动系统的动能是由两部分组成，即振子的动能与弹簧动能之和，即：Ek=EllEO根据动能的表达式：旦=5My其中Ekl为振子的动能为:Ekl =mv2 =；相(=A1 s2(t + (p)(2.3)而理则为弹簧的振动动能，如上图图2. 1所示，设弹
33、簧总共绕匝数为N匝,任意d/的振幅为:- ANAlA =Z =N L +x+x0L +x +x0由于d/与振子的振动频率相同且相一致的，所以弹簧的振动方程为:X=A.co + )L +x+X0所以弹簧的任意时刻的速度/为：(2.4)(2.5)因此弹簧的振动动能为:dX A.lco . /=Sin(69/ + )dt L + X X0(2.6)d% =mdl Al2(L X + x0) k L + X x0;(2.7)2又 又2(加+ )=Iry2J而U = -AGSin(m + e)为振子的振动速度。2(L + x+x0J所以在弹簧系统中弹簧本身的动能为：E-m/ = 城广广力(2.8)n 2
34、 02 2 2( + xx0)j6如图图2.1,已知弹簧放在光滑的倾斜程度为。(0ee2)斜面上，所以综上所述，考虑 了弹簧质量的振动系统的总动能为：Ek = Ekl + Ek2=-mv2 +n0v2(2.9)Z O2.2弹簧振动系统势能分析概况弹簧振子按照如图图2.2,放置在一光滑的斜面上，图2.2中弹簧水平放置时原长为L , 当系统达到平衡位置时，弹簧系统中弹簧伸长量为与。坐标原点、弹簧弹性势能以及重力势 能零点都选在平衡位置，任意时刻振子运动到位置为X考虑到弹簧的质量，因此弹簧的重力 势能不能够忽略不计，那么弹簧振子系统的势能等于弹簧的弹性势能为和弹簧振子的重力势能,以及弹簧的重力势能E
35、,八之和，即为:Figure2.2 spring oscillatorEP= EPl + Ep2 + Ep3(2.10)因为弹簧的弹性系数为根据弹簧的弹性势能的式子：Ep=,而重力势能的式子为：2E,=mgH;又弹性势能和重力势能的零势能点选择在弹簧振动系统的平衡位置，所以在平衡位置上的弹簧弹性势能、重力势能为零势能面。对于弹簧的弹性势能Ep,又根据微积分学，对其积分得到其表达式：EPl=f-M=-y-V又因&七=（加+用o）gsin夕,所以弹簧的弹性势能E6为：(2.11)k2p=+（w+阳0）gxsin。对于弹簧振动系统中振子的重力势能Ep2为：(2.12)Ep2=一zg为Sin对于弹簧振
36、动系统中弹簧的重力势能为：(2.13)人+%）4）综上所述，弹簧振子振动系统的势能为:EP三EPl+Ep2+Ep3(2.15)=(w+)gxsin-mgxsin+生厉；亩(L一工十%)=+g11og(L+x+Xo)sie2.3弹簧振动系统的机械能综上根据弹簧系统的动能与势能分析情况，则弹簧振动系统的机械能E为弹簧系统的动能与势能之和，即：E = E+鸟=；1加 + ；加。y+g%幺+gzg(L+ x+x0)sin(2.16)弹簧振子是按照如图图2.1放置在一光滑的倾斜程度为。斜面上，弹性系数为A,弹簧的原长为,达到平衡位置时弹簧伸长量飞,物体的质量为相，弹簧的质量为人o又因其倾斜程度为。，且其
37、范围在062之间，所以可以分为以下可能出现的情况6=0、=!2.0V66/2三种情况进行概括和总结系统的机械能。231弹簧振子放置水平位置（。=。）弹簧振动系统的机械能弹簧振子处于水平放置时，即夕=0,并且此时Sine=。，弹簧的重力势能以及由弹簧的重力引起的弹性势能不存在，不必考虑进来了，只存在弹簧的弹性势能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能，因此弹簧振动系统的机械能E为以上的动能与势能之和，即：E = Ek+Eff机+ ；机oj+g%d(2.17)232弹簧振子放置竖直位置（e=-2）弹簧振动系统的机械能弹簧振子处于竖直放置时，即，=乃/2,并且此时的Sine=I,不仅存在弹簧的弹性势
38、能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能，而且弹簧的重力势能以及由弹簧的重力引起的弹性势能存在，必须是得考虑进来的，因此弹簧振动系统的机械能E为整个弹簧振动系统里的动能与势能之和，即：E=E + Eff“ + gm。卜+；女幺+；m（）g（L + x + Xo）(2.18)2.3.3弹簧振子放置倾斜程度为。位置(o2)弹簧振动系统的机械能弹簧振子处于竖直放置时，即0v9ve2,并且此时的OsinJl,不仅存在弹簧的弹性势能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能，而且弹簧的重力势能以及由弹簧的重力引起的弹性势能存在，必须是得考虑进来的，因此弹簧振动系统的机械能E为整个弹簧振动系统里的动能与势能之
39、和，即：II(2.19)m+-wV2+nft,g(Lx+x0)sin3,223弹簧质量对振动周期的影响理想的弹簧振子系统是指弹簧的质量为零的振子系统,其振子的运动形式是简谐振动，振动是一种最简单的运动形式之一。大量实验数据表明，弹簧质量对振动系统的周期存在一定的影响，实际测出的数据振动系统的周期总是略大于理论上简谐振动的理论公式得出的值：弹簧质量对振动系统周期的影响已有文章研究U23R弹簧的质量会对振动系统周期产生影响,采用不同的方法分析计算周期,所得结果的精度也会有所不同,通过对其分析,将有助于对实际振动系统应用。对于需考虑弹簧质量的弹簧振子的振动这一经典问题，国内外已有许多文献从不同的角度
40、加以研究F,一般将弹簧视作均匀的弹性介质，从波动方程出发进行研究“,或将弹簧离散化为一系列小的弹簧振子进行分析俗。在假定弹簧各点振动相位相同,且振幅与质点平衡位置成正比的条件下,文献“25,均得出振动周期的公式：7二2力守式中弹簧的劲度系数为h振子的质量为加，弹簧的质量为人。当把弹簧质量的1/3加到振子质量上,即可以把弹簧振子系统视作理想的振子系统。这个附加到弹簧振动系统振子上的质量称为弹簧的有效质量(等效质量)，接下来主要运用机械能守恒近似方法和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出的讨论和总结。3.1 机械能守恒近似法研究弹簧质量对振动周期的影响如下图图3.1,弹簧振动系统中振
41、子水平放置在光滑的水平平面上，弹簧的弹性系数为3弹簧水平放置时的原长为L,令达到平衡位置时弹簧伸长量五,而物体的质量为2,弹簧的质量为以J,邱I帆湎郴卧rm1.a10图3.1弹簧振子水平放置Figure3.1Placethespringoscillatorlevel设弹簧质量/比振子的质量加小，近似地我们假设弹簧的各截面位移是按线性的规律变化，因此，弹簧在某一质点离弹簧固定那端的距离为/,即振子任意/时刻的位置，截面位移可表示为d=V,其中X为弹簧振动物体离开弹簧平衡位置。的位移，又水平面光滑，不计其在1.平面上的摩擦阻力等其他阻力引起的能量损失，弹簧系统振子的能量守恒。弹簧系统中弹簧为人时的
42、动能J为：昂=/N史力=处入（3.1）Jo2L6弹簧系统振动振子的动能为:.21.2=-弹簧系统振子的弹性势能为:kJEr弹簧系统弹簧在平衡位置时的弹性势能为：Ep。=.2.2又结合能量守恒定律，则有写+券+=C且C为常数，将其对时间的求导后，整理到m+也3 ,x-kx=O简谐振动的谐振子的振动的动力学方程相结合比较的弹簧系统振子的周期为:(3.4)由此可见，该结果可等效认为是轻弹簧时，即为轻弹簧时振子的等效质量，在弹簧系统振子机上附加了mn3的弹簧质量的理想弹簧振子，显然真实弹簧振子的振动周期要比理想（轻质）弹簧振子的振动周期稍大些。利用机械能守恒近似法，比较简便，不过其前提条件是弹簧上的各
43、个位置其振动是一致且按线性规律变化。3.2 迭代法研究弹簧质量对振动周期的影响对于考虑弹簧质量对弹簧系统振子，已有许多文献从不同的角度予以研究2】，文献给出了弹簧系统的能量表达式,然后令能量的一阶导数等于零,得到运动方程,再通过该运动方程的求解得弹簧系统的周期；文献阳】是从有质量弹簧的波动方程出发，并结合牛顿第二定律和胡克定律及微元分析法,给出定解问题,然后通过分离变量法,直接求解波动方程,得到弹簧系统所满足的本征值方程,并采解出弹簧振子的本征频率,导出弹簧的等效质量的渐进级数表达式,从而得到弹簧质量不可忽略的弹簧振子系统的振动解。设弹簧总共绕匝数为N匝，弹簧系统中，弹性系数为3弹簧水平放置时
44、的原长为L,具体如上图图3.1所示的，实际弹簧系统振子运动可归为不同频率的谐振动的合成，即X（Mf）=S4cosg,且使4=1,又根据文献可知=OM=O二2si丁）（35）（%+力+M）+/sin2（“+乃）其中an（n=1,2,3）是描述弹簧系统弹簧的弹性系数kan和有效质量叫也引入参数，由弹簧系统振子的本征方程：(3.6)cot(网)=MN,A=和本征值为：力(。“+乃)(3.7)来决定振子的各个阶段振动周期为：口九件笄(3.8)其中b=7-(3.9)将式子(3.7)代入式子(3.6)有：cot(tz,+n)=cotan=an+n)(3.10)13COta=L殳.J.再利用级数的展开式勺3
45、45将式子(3.10)可以写成：.3(alt-n)=-(3.11)an345为了简单方便，我们分析讨论了=0时，弹簧系统振动周期。取式子(3.11)右边前两项有:(3.12)再取初始值(+4)代人式子(3.12)有:A= i 1345(g + (3.13)代人式子(3.9)得:h也=-+452因此由迭代法近似可以得出基频弹簧振动系统的周期为:72平粤所以由迭代法弹簧振动系统的振动周期就可表示为:3.3弹簧质量对振动周期影响的分析通过对弹簧质量与弹簧振动系统之间的研究，在物理学中的基础理论研究中具有显著的重要地位,正确理解与掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理
46、论意义和实践指导，特别是弹簧质量对弹簧振动系统的周期的影响就非常有实践指导的意义。本节通过运用机械能守恒近似方法和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期。第一种方法是机械能守恒近似法，此法主要结合了机械能守恒定律以及大学计算常用的微分求导，又结合振动系统的运动方程进行分析，得到了其振动周期与弹簧质量之间的关系为：这在很多的文献中也有相同的结论，也是通过多种方法到得一比较普遍的式子，显然弹簧系统振子机上附加了/3的弹簧质量的理想弹簧振子，真实弹簧振子的振动周期要比理想（轻质）弹簧振子的振动周期稍大一些，因而得到了社会中广泛应用，其精度可以满足一般工程应用领域的需要。但对于更高精度的应用领域或进行理论分析就需要考虑更准确的计算公式，第二种方法就是迭代法，很显然方法比较的复杂，中间涉及的知识内容、理论准备、计算方法等等都是比较繁杂，但是却能得到更准确且具有更加普遍意义的结果，对于
