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1、排列组合答案题型一：捆绑法1.（2023全国高三专题某个单位安排7位员工在“五一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（）A.504种B.960种C.1008种D.1200种【答案】C【分析】根据题意，利用间接法，即可求解.【详解】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有A；A，=1440（种），其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有A；A；=240（种）；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有A；A；=240（种）；满足甲、
2、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有A；A：=48（种）.因此满足题意的方法共有1440-2x240+48=1008（种）.故选：C.2. （2023河南校联考模拟预测）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）A.18种B.24种C.30种D.36种【答案】C【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其
3、余人全排列，有A；=6种站法；当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，有A；A；A；=24种站法，所以一共有6+24=30种不同的站法.故选：C题型二、插空法4. （2023秋河南周口高三校联考阶段练习）毕业典礼上，某班有。也c&ej六人站一排照相，要求。，两人均不在排头，且两人不相邻，则不同的排法种数为（）A.160B.288C.336D.480【答案】C【分析】先排两人不相邻，再减去。或b在排头的排法即可.【详解】按插空法，f不相邻的排法种数为A：&=480,而其中或b在排头的排法种数为C；A；A：=144,故不同的排法种数为480-144=336.故
4、选:C.5. （2024全国高三专题练习）2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为A8,CRE,五辆车随机排成一排，则A车与3车相邻，A车与C车不相邻的排法有（）A.36种B.42种C.48种D.60种【答案】A【分析】利用捆绑法和插空法可求出结果.【详解】将A车与3车捆在一起当一个元素使用，有A；=2种捆法，将除C车外的3个元素全排，有A；=6种排法，将C车插入，不与A车相邻，又3种插法，故共有2x6x3=36种排法.故选：A题型三、特殊元素法7 .（2023陕西西安西安市第三十八中学校考模拟预测）从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译）,则甲被选
5、且甲不参加翻译工作的不同选法共有（）A.120种B.150种C.180种D.210种【答案】C【分析】先安排甲，再考虑其他，利用分步乘法计数原理进行求解.【详解】依题意可得，甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项，有3种选法，再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作，有A；=60种选法，所以满足条件的不同选法共有3A；=180种.故选：C8 .（2023全国高三专题练习）笫31届世界大学生夏季运动会于6月26日至7月7日在成都举办，现在从6男4女共10名青年志愿者中，选出3男2女共5名志愿者，安排到编号为1、2、3、4、5的5个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为1、2的
6、赛场，编号为2的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（）A.1440种B.2352种C.2880种D.3960种【答案】D【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：女志愿者甲被选中，则还需从剩余的9人中选出3男1女，选法种数为C：C；=60,则女志愿者甲可安排在3号或4号或5号赛场，另一位女志愿者安排在2号赛场，余下3个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为60x3xA；=1080；女志愿者甲没被选中，则还需从剩余9人中选出3男2女，选法种数为Cc=60,编号为2的赛场必须安排女志愿者，只需从2名女志愿
7、者中抽1人安排在2号赛场，余下4人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为60x2xA：=2880.由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为1080+2880=3960种.故选：D.题型四、间接法10. （2023江西南昌校考模拟预测）四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（）A.141B.144C.150D.155【答案】A【分析】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案.【详解】从10个点中任取4个点有C：。种取法，其中4点共面的情况有三类.第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C：种；第二类，取任一条棱上的3个
8、点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种.以上三类情况不合要求应减掉，团不同的取法共有C：。-4或-6-3=141种.故选：A.11. （2023河北秦皇岛校联考模拟预测）某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（）种.A.16B.20C.96D.120【答案】C【分析】利用间接法可求出结果.【详解】从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，有A：=120和L其中没有语文教师入选的有A：=2
9、4种，所以满足条件的不同安排方法有120-24=96种.故选：C题型五、隔板法13. （2024全国高三专题练习）某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆.现从这7个车队中抽出10辆车组成一个运输队，且每个车队至少抽1辆，则不同的抽法种数为（）A.84B.120C.63D.301【答案】A【分析】利用隔板法将9个空种插入6个隔板，即可解决问题.【详解】将10辆车排好，10辆车中间形成9个空，从这9个空中选6个，插入隔板，等价于将这10辆车分成7份，每一种插法对应一种抽法，故共有C；=84种不同的抽法，故选：A.14. （2023秋浙江绍兴高三校考阶段练习）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教
10、，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（）A.124B.246C.114D.108【答案】C【分析】利用分布乘法计数原理，根据排列及间接法计算.【详解】设学校为4仇C,先把甲乙两人安排到不同学校，有A；=6种，不妨设甲在A,乙在B,只需剩余3人至少有1人去C即可，利用间接法计算，有33-23=19种不同安排方法，根据分步乘法计数原理可知，共有6x19=114种不同安排方法.故选：C题型六、倍缩法解决部分定序问题16. （2023春北京高二北京市第十二中学校考期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位
11、同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）A.10B.20C.24D.30【答案】D【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理.【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有A：种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有冬=30种排法，故A,B,C错误.AA故选：D.17. （2023全国高三专题练习）一个6x6的表格内，放有3辆完全相同的红车和3辆完全相同的黑车，每辆车占1格，每行每列只有1辆车，放法种数为（）A.720B.20C.518400D.14400【答案】D【分析】先视6辆车不同，分别计算各辆车的放法，根据乘法计数原理得总的方法，再根据三辆红车，
12、三辆黑车相同，总数除以3!x3!即可得解.【详解】先假设3辆红车不同，3辆黑车也不相同，第辆车显然可占36个方格中任意一个，有36种放法，第二辆车由于不能与第一辆车同行，也不能与第一辆车同列，有25种放法，同理，第三、四、五、六辆车分别有16,9,4,1种放法.再注意到3辆红车相同，3辆黑车也相同，故不同的放法共有36x25x16x9x4x1=（6x5x4x3x2XIE=型=44（种）3!3!6x636故选D题型七、不平均分组问题19. （2024全国高三专题练习）将4名学生志愿者分配到A、B、C社区参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
13、A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】C【分析】先分组，再分配，求出分配方案.【详解】根据题意，分2步进行分析：将4名大学生分为3组，两组均为1人，组为2人，共有Qgc=6种分组方法，将分好的3组安排参加3个社区参加志愿活动，有A；=6种情况，则有6x6=36种分酉己方案.故选：C.20. （2024全国高三专题练习）2023年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习60周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是（）A.8B.12C.14D.20【答案】C【分析】根据分组分配问题
14、，结合排列组合即可求解.【详解】将4名志愿者分配到两所敬老院，则由以下两种分配方案：一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有C；C；=8种，两所敬老院各安排两名志愿者，则有qc=6种，故共有8+6=14种方案，故选：C题型八、平均分组问题22. （2023秋云南高三云南师大附中校考阶段练习）某款对战游戏，总有一定比例的玩家作弊该游戏每10个人组成一组对局，若一组对局中有作弊玩家，则认为这组对局不公平.现有50名玩家，其中有2名玩家为作弊玩家，一次性将50名玩家平均分为5组，则5组对局中，恰有一组对局为不公平对局的概率为（）7191A.B.-C.D.-206495【答案】C【分析】根据古典概型公
15、式计算即可.【详解】所有对局中，恰有一组对局是不公平对局的情况为：2名外挂玩家都分到了同一组对局，plp810p!010plplp8Q记该事件为事件A，则P（八）=5匕。%。8。=掌卫=击.JoL40JoV20joJO矽故选:C.23. （2023秋广西百色高三贵港市高级中学校联考阶段练习）某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的分法种数为（）A. 210B. 105C. 315D. 630【答案】C【分析】根据分组方法，利用排列组合即可得出3个种子选手恰好被分在同组的分法种数.【详解】由题意,12人任意分成3个
16、组,3个种子选手分在同一组的方法有:C1C4C4* = 315 （种）,故选：C.题型九，分类分步问题25. （2023,云南校联考模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）A. 1800【答案】BB. 1080C. 720D. 360【分析】分成恰有2个部门所选的旅游地相同、4个部门所选的旅游地全不相同两类，再应用分步计数及排列、组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数.【详解】恰有2个部门所选
17、的旅游地相同，第一步，先将选相同的2个部门取出，有C；=6种；第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有A：=120种，根据分步计数原理可得，方法有6x120=720种；4个部门所选的旅游地都不相同的方法有A：=360种，根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有720+360=1080种.故选：B26. （2023秋四川成都高三石室中学校考阶段练习）2025年四川省新高考将实行3+1+2模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰有四科相同
18、的概率是（）1 511A.B.C.-D.3612312【答案】B【分析】先得到两人所选六科的情况数，再分两种情况，求出所选六科中恰有四科相同的情况数，计算出概率.【详解】两人所选六科的情况共有C；CCe：=144种情况，由于语文数学英语必选，故所选六科中恰有四科相同的情况，包含以下情况,第,物理历史有科相同，政治地理化学生物不相同,先得到小明选课情况数，即=i2种情况，则小芳的选择也就确定了，故此时共有&盘=12种情况，第二，物理历史不相同，政治地理化学生物有一科相同，先得到小明选课情况数，即C；C：=12种情况，则小芳从小明选择的四选二科目中选择一个,再从小明没有选择的四选二科目中选择一个，
19、故有C；C；=4种情况,故此时共有C；C；C；C；=48种情况,故们所选六科中恰有四科相同的概率是P=与/=14412故选：B题型十、部分平均分组问题28. （2024全国高三专题练习）为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务,每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（）种分配方式A.540B.660C.980D.1200【答案】B【分析】按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，即1+1+2+2和1+1+1+3,分别求出其方法种
20、数，即可得出答案.【详解】由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配,6=1+1+2+2,有晨.笔a；=540；(2)6=1+1+1+3,有C：C；C；C=I20,共有540+120=660（种）.故选：B.29. （2023秋河南郑州高三郑州外国语学校校考阶段练习）位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆.现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为（）A.96B.144C.240D.3
21、60【答案】C【分析】根据分组方法，结合组合数、排列数等知识求得正确答案.【详解】先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组.再把4组人分到4个场馆，所以安排方法种数为（C：+C）A：=240.故选：C题型十一、特殊位置法31. （2023全国高三对口高考）要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一节的课程表,要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为（）A.24B.72C.144D.288【答案】D【分析】先排数学课，再排最后一节，剩余的四个元素
22、在四个位置全排列，根据分步计数原理得到结果.【详解】数学课排在前3节，英语课不排在第6节，团先排数学课有C；种排法，再排最后一节有C：种排法，剩余的有A：种排法，团根据分步计数原理知，共有C；C：A：=3x4x24=288种排法.故选：D.32. （2023全国高三专题练习）将A,B,C,O,E五种不同的文件放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、8必须放入相邻的抽屉内，文件C、。也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法种类有（）A.192B.144C.288D.240【答案】D【详解】团文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放相邻的抽
23、屉内BA,B和C,D分别看成一个元素，相应的抽屉看成5个，则有3个元素在5个位置排列，共有8种结果，组合在一起的元素还有一个排列，共有8=240种结果，故选240种，故选D.题型十二、涂色问题A. 3125B. 1000C. 1040D. 102034. （2023浙江模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木,不能同色），五行相克可以用同一种颜色
24、（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）【答案】D【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可.【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.五行相生不能用同种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.故问题转化为如图A8,CRE五个区域，有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题.分为以下两类情况：第一类：Ac,。三个区域涂三种不同的颜色，/第一步涂Ae。区域,从5种不同的颜色中选3种按序涂在不同的3个区域上，则有A；种方法,第二步涂8区域，由于AC颜色不同，有3种方法，第三步涂E区域，由于4
25、。颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有3x3A；=540种方法；第二类：AG。三个区域涂两种不同的颜色，由于C。不能涂同一色，则AC涂一色，或Ao涂同一色，两种情况方法数相同.若AC涂一色，第一步涂AcD区域，4C可看成同一区域，且AD区域不同色，即涂2个区域不同色，从5种不同的颜色中选2种按序涂在不同的2个区域上，则有A；种方法，第二步涂8区域，由于AC颜色相同，则有4种方法，第三步涂E区域，由于4。颜色不同，则有3种方法,由分步计数原理，则共有4x3A；=240种方法；若涂一色，与AC涂一色的方法数相同，则共有2x240=480种方法.由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有540
26、+480=Io20种.故选：D.35. （2023秋江西南昌,高三南昌市外国语学校校考阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5A. 120B. 360C. 420D. 480种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（）种不同的方法.【答案】C7/【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.【详解】分两类情况：第一类：2与4种同一种果树，第一步种1区域，有5种方法；第二步种2与4区域，有4种方法；第三步种3区域，有3种方法；最后一步种5区域，有3种方法，由分步计数原理共有5x4x3x3=180种方法；第二类：2与4种不同果树，第步在1
27、234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有A；=120种方法;第二步种5号区域，有2种方法，由分步计数原理共有120x2=240种方法.再由分类计数原理，共有180+240=420种不同的方法.故选：C.二项式定理答案考法一二项式指定项系数【例1-1（2023山西临汾统考i模）的展开式中V的系数为（A.-160B.-64C.64D.160【答案】C【解析】（2-5）6的展开式的通项公式为乙I=晨（26）-七），=晨26，（-1），.工3-，,令3=3,则r=0,故展开式中犬的系数为C/.J1）。=64做选：C.【例1-2】（2022天津统考高考真题）的展开式中的常数项
28、为.【答案】15【解析】由题意f7+W的展开式的通项为却=C，(6)5-5r= q3rx,则墨3=G3 = 15,的展开式中的常数项为15.故答案为:15.示）【答案】28x和K4【解析】由题知,记卜6 + %）展开式的通项为却,则J=G（Krr （9）=G16-5,X 6 (or8),令=OBPr=I21-3（2023贵州毕节统考一模）（x-y）S展开式中B?的系数为（用数字作答）【答案】-20【解析】（L-y）S的展开式的通项为J=G（。（-=仁（码（-1）产了,取r=3得到7；=C；（2）2（-l）3x2y3=-20x2y3.故答案为：-20的展开式中,有理项是.【例1-4（2023春河
29、北邯郸高三校联考开学考试）由”eZ,得厂=2或8,所以也=亡卡=28XzT=XT澈有理项是28x和E4.故答案为：28X和E4考法二两个二项式指定项系数【例2-1】（2023全国模拟预测）（9+2）卜_|的展开式中的常数项为（）A.-20B.30C.-10D.10【答案】Df Tj的展开式的通项公式为心=(Y)6T=(TyC令123r=3,得r=3;令12-3r=0,得r=4,所以(9+2)卜2_3的展开式中的常数项为:PX(TyC：XV+(_)4或Xy)X2=-20+30=10.故选:DA. 120【答案】BB. 135C. 140D. 100【例22】(2023四川成都统考二模)二项式(l
30、+x+fir尸展开式中二的系数为()【解析】(It)H)的展开式通项公式为T=Go(T)=G0(T)V,其中7；=Cj0V=45/,7；=VoX3=720/,7；=Cj0X4=2IOx4,故二项式(l+x+f)(l-x尸中X的四次方项为45-12(x+21(l=135,即展开式中/的系数为135.故选：B【例2-3】(2023安徽校联考模拟预测)一*1+冲2)的展开式中巧6的系数为()A.30B.40C.70D.80【答案】A【解析】因为+个2J的展开式中含ry的项为XCay2)3($2+(_亲)仁(D2)4：,所以XH的系数为4C；-2C；=30.故选：A.【例2-4】(2023吉林通化梅河
31、口市第五中学校考一模)1-j(4+4的展开式中，含寸项的系数为-15,则=()A.1B.-1C.1D.2【答案】C【解析】(+y)6的展开式的通项公式为C/6-y,令r=*可得Cd-了=15/寸；所以含Ey4项的系数为T5/,即一15/=75,解得4=l.故选：C.【例3-1(2023全国模拟预测)x+r+ 1展开式的常数项为(【答案】D【解析】由(-V+-2+l)6=C(x+-)6+C(xH)5+C(xd-2)4+C(x+-)3XXXXJr+c：(X+)2+C：(X+-y)1+C(x+-r),XX其中含有常数项的有C：(x+)6,c：(XHJ-)3,C：(XH-)0,XXX所以常数项为CC+
32、CG+C=15+60+1=76,故选：D.【例32】(2023秋广东高三统考期末)(x-2)，-1)5的展开式中含f),2的项的系数为()A.-120B.60C.-60D.30【答案】A【解析】-2y-ly=-l)-2)，的展开式中含y2的项为c沁-l)3(-2y)2,(X-I)3的展开式中含炉的项为CY(),.(x-2y-l)5的展开式中含。2的项的系数为c；(_2)2.C；(-a=-120.故选：A.的展开式中F的系数为-40,则实数?=(【例3-3(2023春河南开封高三统考开学考试)已知C. -2D.-4【答案】A【解析】(2%-.一1)展开式的通项为：C：(2x(-l)f,rw0,6
33、且rwN；2x-!-Y展开式的通项为：CL(2x)6-aV=f-T26-CLx6-2e,6-,rN:令6-2k=3,则.X3的系数为(一，23CC(T)3+(-!24CCi(T)=T60+图=-40,解得：m=4.故选：A.考法四(二项式)系数之和【例4-1】(2023云南昆明)(多选)设(寸+。(3%-1)8=%+40+2)+%。+2)2+40*+2尸，则()A.=1B.玛+勾+%+佝+。0=2普C. 0+tz2%+4o=19D. (q)+&+。()(q+3+.+9)=21O【答案】BCD【解析】对于选项A,令x=-2得%=5x7、l,所以选项A错误：分别令X=T和工=一3得4+4+4+=2
34、l7la0-o1+a2-a3-09+l0=IO9,所以选项B和选项CIE确；对于选项D,(/+/+4o)2-(4+/+6)2=3+4+%+6+/)(%+4-9+o)=2l7109，选项D正确；故：BCD.【例4-2】(2023全国高三专题练习)(多选)对任意实数达有(2x-3)9=+1(x-l)+2(x-l)2+a3(x-l)3+9(x-1)9.则下列结论成立的是()A. a2=144B. 4=1C. %+4+。2P。9=1D. %q+%-。3l。9=39【答案】CD【解析】对任意实数X有(2x-3)9=a0+al(x-l)c2(x-l)2+3(x-l)3+9(x-1)9=-1+2(x-1)J
35、9,所以2=-C；x22=T44,故A不正确；令X=1,可得%=T,故B不正确；令x=2,可得/+“+%+%=1,故C正确；令X=0,可得%-4+生一心l。9=-兮，故D正确.故选：CD.【例4-3】(2023全国高三专题练习)(多选)已知(x-2)=%+q(%-1)+电(工一I)?+10(x-1),则下列结论正确的有()B. a6 = 210A.&=1C.y-i+弱=表d%+出+%+4+/+40=512【答案】ABD【解析】对于A,取X=I得(1-2)H)=4+4(l1)+生(IT)?+,+(1-1)1,所以%=1,故A正确;对于B,(X-2严=1-(X-I)F的展开式中第7项为C凯-(X-
36、I)F,所以=C=210,故B正确;1023K)24对于C,取X = I得AA景故C错误;对于D,由(X2尸=4+4(x-l)+2(%T)2+10(x-1)10,取X=O得(4+%+/+/+q。)一(q+4+a5+a+j=2,取x=2得(4)+%+/+%+6+4()+(4+a3+a5+a+的)=0，所以%+2+0+4+/+6。=2=512,故D正确.故选:ABD.考法五(二项式)系数的性质【例5-1】(2023河南信阳河南省信阳市第二高级中学校联考一模)若(1-2力”的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中V项的系数为()A.-960B.960C.448D.-448【答案】D【解析】
37、依题意只有=8时第5项的二项式系数最大，/项的系数为c；(_2)3=748.故选：D【例5-2】(2023秋浙江宁波高三期末)若二项式(l+2x)(N*)的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是()A.448/B.1120x4C.1792x5D.1792x6【答案】BI2I【解析】=C(2x)5,7C(2x)6,所以c：.2$=C26,所以C：=2C即_5!=6!(-6)，所以6=2(-5)n2=16=8,所以二项式系数最大项为7；=C；(2x)4=1120/.故选：B.【例53】(2023,全国模拟预测)已知二项式(x+)6,N*的展开式中第四项的系数最大，则。的
38、值为()A.1B.2C.3D.4【解析】二项式(x+4)6展开式的通项公式为C-r【答案】A，其中N*，6-r（其中rD,即“GCTGCZ6!、6!(1r!(6-r)!(r-l)!(7-r)!rr+1，a,6!6!l-6-rar!(6-r)!(r+l)!(5-r)!34依题意可知r=3使上式成立，即?二，所以二l.故选：A43考法六二项式定理的应用【例6-1(2022潍坊模拟)251除以7的余数是()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】250=4248=4(23),6=4(7+l),6=4(C.7,6+C1,6.7,5+1+G”+C；：)=4(C17,6+C,67,5+.+C1,三7)+
39、4,则250-l=4x(T+C67/+C11三7)+3,又4x(C76+CT+Gt7)是7的倍数，故余数为3.故答案为：D.【例6-2(2022广东)1.95,的计算结果精确到个位的近似值为.106B.107C.108D.109【答案】B【解析】V1.957=(2-O.O5)7=27-C260.05+C；x25x0.052-107.28,1.957107.故选B+ “2019 被 12 整【例6-3】(2023全国高三专题练习)(3x+2)202=00+1X+2+20X22,则4+生+%+除的余数为.【答案】0【解析】在已知等式中，取X=I得g+4+/+=5202,取X=-I得%-4+%-+W
40、o2o=l,一得：4+6+/+/i9=X(S2020T)=-2一因为25。=(24+1产。=CJ01024,0,0+C0,o240w+C24,+C三=201024w+24Cj01024三24Cj三+lOS1010-I所以气二=12i024-12C:01024三12C-=12(C?01024*-C:01024-+C绘)，OSIolO_I所以气二能被12整除，所以/+/+牝+出019被12整除的余数为0.故答案为：0.【例6-4】(2023全国高三校联考阶段练习)写出一个可以使得99的+。被100整除的正整数。=.【答案】1(答案不唯一)【解析】由题意可知99Ms+4=(100-if23+。，将(
41、100-1)2023利用二项式定理展开得(1-1)三=c2三(-1)C31OO2022(-1)+.C11(-1)三Cl0(-1)三显然，c0M)+C23iooM2()+c落oo()222能被100整除，所以,只需C鸵100(T)225+=-l+是100的整数倍即可；所以一l+=1005tZ),得=100+l(Z)不妨取=0,得=l.故答案为：1考法七二项式定理与其他知识的综合【例7-1】(2023秋江苏苏州高三统考期末)若(2+bxj的展开式中/的系数为60,则/+的最小值为()A.2B.2+lC.3D.5【答案】C【解析】r+i=q(一)67)r=a6-rbrC;x2r-6,令2-6=2,r
42、=4,X所以CM2=60,G34=4,/+/=奈+/=怖+*+；心3任，=3,当且仅当*=乎2,即b=J时等号成立，故选：C.【例7-2】(2023全国高三专题练习)设。为实数，甲：a=li乙：。+幻，二项展开式常数项为1.则甲是乙成立的()条件A.充分但不必要B.充要C.必要但不充分D.既不充分也不必要【答案】A【解析】3+)4展开式中的第A+1项为CY=Cj,Z=OJ2,3,4.当A=4时，该项为常数项，常数项为C1/=/显然，当=1时，4=l;当=时，=1.所以，甲是乙成立的充分但不必要条件.故选：A.【例7-3(2023秋辽宁锦州高三渤海大学附属高级中学校考期末)已知函数/(x)=8S
43、i在=。处的切线O与直线心-y=o平行，则二项式。-力”展开式中/的系数为()A.70B.-70C.56D.一56【答案】A【解析】(x)=8cosx+i,由已知可得，f(0)=n,即r(0)=8=,所以=8.设(1一力8展开式中的第k+1项含有/,7i+=c.18-a.(-x=C8a(-1/x)k,则可知，k=4,所以二项式(1-切展开式中f的系数为C；=含塞=70.故选：A.【例7-4】(2023全国高三专题练习)定义函数/()=(l+v)(N)己知/(i)=32i(i为虚数单位)，则的展开式中常数项是(A.180B.120C.90D.45【答案】A【解析】(l+i)2=2i,(l+i)4=(2i)2=-4,(l+i)8=16,(l+i)=32i,由题可知(l+i)=32i,所以=10.的展开式的通项为IOf10-5r-2-2)r = C0(-2)rx.令电产=0,解得/=2.所以展开式中的常数项是C；()(-2)2=180.故选：A【例7-5(2023陕西商洛校考三模)数列4中，al=,a,l+l=2an+tC+C+C&+C&+C+C4的值为()A. 761B. 697C. 518D. 454【答案】D【解析】因为+1=为“+2=2(q+1),又4=1,所以4+1以2为首项，2为公比的等比数列，所以为+l=2x2T=2,所
