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1、人教A版（2019）必修第一册452用二分法求方程的近似解2023年压轴同步卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1.已知函数/（x）=X-/*的部分函数值如下表所示X1130.6250.56252I0.632-0.10650.27760.0897-0.007那么f（X）的一个零点的近似值（精确到0.01）为（）A.0.55B.0.57C.0.65D.0.70【分析】根据表中数据，利用零点存在性定理即可求解.【解答】解：根据表中数据知，函数/（%）的零点在区间（0.5625,0.625）内，其近似值为5625+0.625=059375，2结合选项可知，其近似值为0.57.故选：B.【点评
2、】本题考查了零点存在性定理的应用问题，是基础题.2 .在使用二分法计算函数/（x）=gx+-2的零点的近似解时，现已知其所在区间为（1,2）,如果要求近似解的精确度为0.1,则接下来需要计算（）次区间中点的函数值A.2B.3C.4D.5【分析】根据二分法定义计算区间长度，即可得到答案.【解答】解：因为区间（1,2）的长度为1,每次二等分都使长度变为原来的工，23次取中间值后，区间（1,2）的长度变为g）3=o,1,不满足题意，4次取中间值后，区间（L2）的长度变为（）4qo,1,满足题意.故选：C.【点评】本题主要考查二分法的定义与应用，属于基础题.3 .用二分法研究函数/（外=x3+3x-I
3、的零点时，第一次计算，得/（0）0,第二次应计算/（加），则Xi等于（）A.1B.-IC.0.25D.0.75【分析】根据二分法的定义计算可得.【解答】解：因为f(O)0,所以，/(x)在(0,0.5)内存在零点,根据二分法第二次应该计算/(x),其中Xi=。+,5=0.25.故选：C.【点评】本题考查二分法，属于基础题.4 .若函数/(x)=3+-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程F+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.04)为()XI1.51.251.3751.43751.40625/(X)-20.625-0.984-0.2600.165-0.
4、052A.1.5B.1.25C.1.375D.1.4375【分析】根据/Cr)=Ax2-2x-2,结合二分法的定义，即可求解.【解答】解：由表格可知，方程3+2-2x-2=0的近似根在(1,1.5),(1.25,1.5),(1375,1.5),(1.375,1.4375),(1.40625,1.4375)内，又因为1.4375-I.40625=0.031250,/(1.4065)=-0.0520,，函数/(x)在(1.4065,1.438)内存在零点，又1.438-1.40650.1,结合选项知1.41为方程fU)=0的一个近似根.故选：C.【点评】本题考查了函数零点的应用问题，也考查了求方程
5、近似根的应用问题，是基础题目.6 .用二分法研究函数f(x)=3+2x-I的零点时，第一次计算，得/(O)0,第二次应计算/(川)，则M等于()A.1B.-1C.0.25D.0.75【分析】根据二分法的定义计算可得.【解答】解：因为f(0)0,所以F(X)在(0,0.5)内存在零点，根据二分法第二次应该计算/(用)，其中/=0+,5=0.25故选：C.【点评】本题主要考查二分法的定义与应用，属于基础题.7 .用二分法求函数/CO=F+5的零点可以取的初始区间是()A.-2,1B.-1,0C.0,1D.1,2【分析】由于函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数/(x)的零点，经检
6、验，A满足条件.【解答】解：二分法求变号零点时所取初始区间a,bt应满足使/()/()0.由于本题中函数/(x)=3+5,由于/(-2)=-3,/(1)=6,显然满足f(-2)(1)0,故函数/(x)=/+5的零点可以取的初始区间是-2,1,故选：A.【点评】本题主要考查函数的零点的定义，注意函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数/(x)的零点，属于基础题.8 .在用二分法求函数y=3-2-10零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为(1.625,1.7),则下一步应当确定零点位于区间()A. (1.625, 1.6625)B. (1.6625, 1.7)C.(1.625
7、,1.675)D.(1.625,1.65)【分析】利用二分法及零点存在定理判断函数零点所在区间.【解答】解：设/(x)=33-2x-10,7(l.625)-0.380,由二分法知当零点在(1.625,1.7)时，取区间的中点1.6625,计算得了(1.6625)-0.460,由/(1.625)f(1.6625)VO知，下一步应当确定零点位于区间(1.625,1.6625).故选：A.【点评】本题主要考查二分法的定义与应用，属于基础题.9 .用二分法求函数/(x)=加(x+l)+x-1在区间0,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为()A.5B.6C.7D.8【分析】根据题
8、意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度为j据此可得-LVO.01,解可得的取值范围，即可得答案.2n2n【解答】解：根据题意，原来区间0,1的长度等于1,每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过次操作后，区间的长度为，2n若-V0.01,即27.2n故选：C.【点评】本题考查二分法的定义和运用，注意二分法区间长度的变化，考查运算能力和推理能力，属于基础题.10 .康托尔三分集是一种重要的自相似分形集.具体操作如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段g,/),记为第一次操作；再将剩下的两个区间0,-,隹，1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为
9、第二次操作，33将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为P.若使留下的各区间长度之和不超过j则至少需要操作()次(参考10数据：g2七0.3010,g3g0.4771)A.4B.5C.6D.7【分析】根据题意可知每次操作去掉的区间长度成一个等比数列，即可求解.【解答】解：由题意可得，第一次操作去掉的区间长度为工，3第二次操作去掉两个长度为工的区间，长度和为2,99第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为U2727则第次操作去掉2一I个长度为-L的区间，长度和为工一，3n3nn
10、-1l-()n进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为：5=工+4+/一=-393n1J.13=Y)n，要使康托三分集的各区间长度之和不超过10l-(-)nl-L,：.n(3-2)1,：.n15.679,Ig3-lg2为整数，；的最小值为6.故选：C.【点评】本题考查了等比数列的前项和公式，属于中档题.二.填空题(共5小题)11.己知函数y=f(X)的表达式为/(x)=X-41ogzr,用二分法计算此函数在区间1,3上零点的近似值，第一次计算/(1)、/(3)的值，第二次计算/(加)的值，第三次计算/(X2)的值，则X2=3.2【分析】根据二分法的定义，求解即可.【解答】解：二分法计算此函数在
11、区间1,3上零点的近似值，第一次计算，(1)、/(3)的值，f(x)=x-41og2x,则/(1)=l0,f(3)=3-41og230,故零点所在区间为(1,3),第二次计算f(2)的值，f(2)=2-41og22=-20,故零点所在区间为(1,2),所以第三次计算/弓)的值，即X2=/故答案为：1,2【点评】本题考查二分法的定义，属于基础题.12 .函数y=lgx+2x-5的零点xo(1,3),对区间(1,3)利用两次“二分法”，可确定刈所在的区间为(2,$).2【分析】在解答时可以先根据函数的特点和所给的数据计算相关的函数值，再结合零点存在性定理即可获得解答【解答】解：/(x)=lgx+2
12、x-5,：.f(1)=2-5O,第一次运算后，可得/(2)=24-5=/2-KO,即刈所在的开区间为(2,3)第一次运算后,可得/()=fel+5-50,即刈所在的开区间为(2,-),故答案为：(2,5)2【点评】本题考查的是二分法求方程的近似解的问题.在解答的过程当中充分体现了观察分析数据的能力、问题转化的能力以及运算的能力.值得同学们体会反思13 .用“二分法”求方程2-2x-5=0在区间(2,4)内的实根，首先取区间中点刈=3进行判断，那么下一个有根区间是(3,4).【分析】根据方程的实根是对应函数的零点，由零点存在性定理计算端点处的函数值，即可得出零点所在的区间.【解答】解:设/Cr)
13、=x2-2x-5,计算/(2)=-5O,/(3)=-20,所以/(x)零点所在的区间为(3,4),方程/-Zr-5=0有根的区间是(3,4).故答案为：(3,4).【点评】本题考查了用二分法求方程根所在的区间问题，是基础题.14 .用二分法求函数f(x)=In(x+l)+-1在区间(0,1)上近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为7次.【分析】由已知结合二分法建立关于次数的不等式，可求.【解答】解：设经过次，由题意得-W0.01,2n解得心7.故答案为：7.【点评】本题主要考查了二分法的应用，属于基础题.15 .为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的
14、总人数是2小(zN*)将2例个人的样本混合在一起做第1轮检测(检测一次)，如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组2阳7人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者(感染者必须通过检测来确定).若待检测的总人数为8,采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为2人.若待检测的总人数为2巾(加23),且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为小则
15、的最大值为4Ll.【分析】根据已知条件，结合二分检测法，即可求解.【解答】解：若待检测的总人数为8,则第1轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，则共需检测7次，此时感染者人数最多为2人，若待检测的总人数为2加且假设其中有不超过2名感染者，若没有感染者，则只需1次检测即可，若只有1个感染者，则只需l+2w=2w+l次检测，若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，此时相当两个待检测均为2wl组，每组感染1个感染者，此时每组需要1+2(w-l)=2m-1次检测，所以此时两组共需2(26-1)=4m-2次检测，故有2个感染者，且检测次数
16、最多，共需4m-2+l=4m-1次检测，所以采用二分检测法，所需检测总次数记为，故n的最大值为4n-1.故答案为：2；4m-1.【点评】本题主要考查二分检测法，考查转化能力，属于中档题.三.解答题(共5小题)16 .若函数/(x)=(+2)x2+20r+l有零点，但不能用二分法求其零点，求实数。的值.【分析】根据函数f(X)有零点，且不能用二分法求其零点，判断函数/(X)图象在X轴上方或下方(包括X轴)，且与X轴有交点，由此讨论求出的值.【解答】解:因为函数)=(+2)2+20r+l有零点，且不能用二分法求其零点，所以函数/(x)的图象在X轴上方或下方(包括X轴)，且与X轴有交点.当+2=0时
17、，得=-2,函数f(x)=-4x+l,能用二分法求出零点，不符合题意；当+20时，得:-2,函数/(x)=(+2)x2+20r+l为二次函数，因为函数/(x)有零点，且不能用二分法求其零点，所以函数/(x)的图象与X轴有1个交点，所以关于X的一元二次方程(+2)/+2r+l=0有两个相等实根，即A=4$-4(+2)=0,解得=2或=-l.故答案为：2或-1.【点评】本题考查了函数的零点与方程的根应用问题，也考查了二分法应用问题，是基础题.17 .已知函数/(x)=.(1)判断函数/(x)在区间0,+8)上的单调性，并用定义证明；(2)函数g(X)=J(X)+log2x-2在区间(1,2)内是否
18、有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3)；若没有零点，说明理由.(参考数据：L257118,T751.225,1.751.323,21.250.32,Iog21.50.585,log21.750.807).【分析】(1)由条件利用函数的单调性的定义即可说明，(2)结合函数的单调性，由零点存在定理，得到函数g(X)在区间(1,2)内有其只有一个零点，再根据二分法即可求出函数零点的近似值.【解答】解：(1)函数f(x)区间0,+)上是增函数，理由如下：令0XV2,由于小)-/8=MF=弗焉0,函数g(X)在区间(1,2)内有且只有一个零点，Yg(1.5)=I75+og21.5-
19、21.225+0.585-2=-0.190,，函数的零点在(1.5,1.75),V1.75-1.5=0.250,且l).当2VaV3V力V4时，函数/(x)的零点Xo(,n+l),nN*,求的值.【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的b的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到的值【解答】解：设函数.y=logx,W=-x+b根据2V0V3VbV4,对于函数y=kgx在x=2时，一定得到一个值小于1,在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在(2,3)之间，函数/(x)的零点xo(，/?+1)时，n=2.【点评】本题考查函数零点的
20、判定定理，是一个基本初等函数的图象的应用，这种问题一般应用数形结合思想来解决.19 .设正有理数41是F的一个不足近似值，令42=1+-，求证:1+aJ(1)V3介于a与a之间：(2)。2比m更接近于5【分析】(1)利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到结论；(2)利用作差法，判断陵5EVO,即可得到结论1 QI(1s)(a1Vs)解答证明：(Ds.=+-V3=，1+aJ1+aJ,:若Ga,.,.67i-30,而1我0,.*.t72V3若mV5,tz-3O,而1通VS故JE介于a与。2之间；/、KK(1-3)(a1-Vs)1/Vs-2-a1(2)履-3-i-3l=TaL3I=i-3l-l
21、+a1l+a1Vizi0,3-20,.6T2-3-i-3l06(2-3Il).aax+l(I)证明：y=f(X)在R上是增函数；(II)当=2时，方程/(x)=-2+1的根在区间(鼠2+1)(Z)内，求k的值.【分析】(I)根据单调性的定义即可证明：（三）令g(X)=f(x)+2-1,判断出函数g(X)是R上的增函数，求出函数的零点区间，即可求出攵的值.【解答】(I)证明：R,设x1V2,XjXj则/(xl)-f(x2)=a-a+-=三_a+1a+1(1+a1)(1+a2)Vx1l,a1-az0,/(x)-f(X2)0,6所以，函数g(X)的零点在区间(O,1)内，即方程/(x)=-2x+l的根在区间(0,1)内，=0.【点评】本题考查了函数的单调性的判断，以及函数零点存在定理的应用，属于中档题.
