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1、4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1 .同角三角函数的基本关系(1)平方关系:siMa+cos2。=.(2)商数关系(+k,kz).2 .三角函数的诱导公式公式二三四五六角2k-a伏GZ)+a-aact工sina余强cosaT切tan公式二三四五六诀函数名不变,符号看象限函数名改变，符号看象限常用结论1.特殊角的三角函数值角03045o60o901201350150o180o角的弧度数06432233456sina01T223213222120cosa12221T0T_T22.32-1tana033133-1一叵302.同角三角函数基本关系式的常用变形(l)(sin
2、cos)2=12sinQCoS;tan2gtan2a(2)sina=Iancosaa+h,kz(3)sin2a=./lla2SInZa+co铲a(4)cos2=-=；snz+coszatan2+l考点自诊()()()()1 .判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“X”.对任意的角/有sin2+cos2=l.(2)若R,MtanQ=包巴恒成立.cosa(3)sin(+)=-sina成立的条件是a为锐角.(4)若cos(wc-)=(wZ),Mcos0=g.2 .(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知COS(W)=等W(崂),则tan=()3 1A.2B.C.lD.3 .(2020河北唐山
3、模拟,理4)已知角的顶点在原点,始边与X轴的正半轴重合,终边上一点A(2sina,3)(sin0),则Ce)Sa=()A-B-CD七2224 .函数Kr)=|sinQ+，+cosQ)的最大值为()6 一5A.3 -5C1 -5D,关键能力学案突破同角三角函数基本关系式的应用【例1】若tanmm=则离脸1 1A.-iB.-2GD.2(2)已知tan6=2,则Sin2。+Sincos6-2cos29等于()A-B-C-D-A.d4J45解题心得1.利用sin2+cos2a=l可以实现角Ct的正弦、余弦的互化,利用tan=器(r+AZ)可以实现角的弦切互化.2.T的灵活代换:1=COS%+sin%=
4、(sina+cosa)2-2sinacosa=tan：.3.关于sina,cos的齐次式,往往化为关于tana的式子.对点训练1(1)已知a是第四象限角,sina=JJtana等于()abc若 3sin +cos =0,则cos2+2sinacosa的值为a 10aTbIcI考点值D.-2【例2】(1)(2020山西太原三模,理3)已知sindCoS兀),则tan=()A.-lB.-yC.y(2)已知，为第二象限角,sin仇cos。是关于X的方程2r2+(5l)x+加=0(机R)的两根,则sin仇COS-()B.喈C.3D.-3解题心得1.通过平方,对称式sin+cos,sin-cos,sin
5、acosa之间可建立联系,若令Sina+cos=t,则SinaeOSa=-,sin-cosa=于(注意根据的范围选取正、负号).2.利用上述关系,对于sin+cos,sina-cos,sinacosa这三个式子,可以知一求二.对点训练2(2020江西名校大联考,理3)已知W,),sin(-2)=，,则sina-cosa=()考点诱导公式的应用A县atb4D.q【例3】已知sin(-)=logq,且i弓,0人则lan(2-)的值为()A里B辿C屋D匹255一52(2)已知9是第四象限角,且SinQ+?4则tan()=.解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公
6、式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2 .化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3 .用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有枭与*W+与，-W+与Y等,常见的互补关系有Y与即+转+。与Jbjbq4obo和W与卜等对点训练3(1)已知A=SiCa)+3鬻厂MZ),则4的值构成的集合是()A.1,-1,2,-2)B.-l,l)C.2+cosl9)2+(sin9-cos)2=2的关系进行变形、转化.3 .利用诱导公式化简求值的步骤：(1)负化正;(2
7、)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.3错多混kE31 .同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范国对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍.2 .注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1 .(1)1tana2 .-sina-sinasinacosacosa-cosacosa-cosasina-sinatana-tana-tana考点自诊1 .(1)(2)x(3)(4)2 .AYcosQ-J=Sina=-,又(兀津),；86=,，12110=2.故选A.3
8、 .A由三角函数定义得tan二二一,即理=二,得3cos=2sin2=2(l-cos%),解得2snaCOSa2snCoSaW或CoSa=-2(舍去).故选A.4 .A因为CoS(X=Cos；(,e+2)=sin(x+2)，所以人工)=*(工+弓)+sinQ+23OOOO吗),故函数段)的最大值为(.故选A.关键能力学案突破例I(I)D(2)D(1)tan(-)=-tan(-)=tan=1,sin2+12sin2+cos22tan2+1cos2-sin2cos2-sin2l-tan2(2)Sin2+sin6cosO-2cos汨_yin28+sinecose-2cos2sin20+cos20_t
9、an20+tan0-2tan20+l又Iane=2,故原式=:夺=4+15对点训练I(I)C(2)A(1)因为是第四象限角,sin=-等所以CoSa=而而=卷,故Sina12tan=.cosa5(2)由题知,3Sina+cosa=0,且COSa0,故tana=-,1cos2+siM_l+taMa_1+Gg)?_10cos2+2sinacosacos2a+2sinacosal+2tana23例2(1)A(2)B由Sin仇COSe=V,得125皿夕850=2,所以25访。85。=-1,又1(0,兀),所以CoSe0,CoSe0,因为(SinO-CoS2=1-2SineCOSo=I-m=1+学所以S
10、in仇CoSe=Jl+与=言3_用=竽.故选B.对点训练2D因为sin(兀-2)=-g,所以sin2a=-；,即2sinacosa=-；.所以(Sina-CoSaP=1-2SinaCoSa=1+?=|又因为仁(，)、所以SinaVCoSa.所以Sina-COSa=学.故选D.例3(1)Bg(I)Sin(-)=sin=logR=,又因为(-飘),则cos=l-sin2=y,tan(2-)=tan(-)=-tana=-=等.(2)：sin(0+：)二|,.*.COs(8。=COS(夕+；)-；=sin(6+?)=1.44245又9是第四象限角,的是第三或第四象限角.,SinJp=1.445,(Cn
11、)4.tan=-.43对点训练3(I)C(2)y(3)-(1)当k为偶数时工=陋+/=2;snaCoSa当k为奇数时4=吧-=-2.SInacosa(2)sin600otan240o=sin(720o-120o)+tan(180o+60o)=-sinl20o+tan60o=+3=f.m (IIn) (3)cos、-1 =Cos、)=cosL.力 JLCoS方而 sin(+/=sin+(J=COS , ) 2 兑 (Iln)+7=-,lcos-723,例 4(1)A (2)C (1)由 3sin33) _( ) zb . (5 ) 5+7 =-5cos7+o,付 sinv-+/ =-cos 14
12、141435 ) e，所以tan5 , 遍十)_sin(需+) _+a)t=Jcos(若+)由P知得(3sin7-2tan+5=0,由已女孤n-6sin/M=0.消去Si叫得tana=3,.*.sina=3cos,Rsin2+cos2=l,化简得si/aW，则Sina二端%为锐角).对点训练4(1)D(2)|或-|(1)sin2+sin(3-)cos(2+0)-2cos=sin2+sincos-V2cosSiMe+sindcose-戊cNesin20+cos20_tan20+tan0-2tan20+lJ2)2+2-2_2一(2)2+l-3,(2)sin00,为第一或第二象限角,tan(+)+=tan+K=驷+四=cos-)SmaCoSaSmasinacosa,当是第一象限角时,Cosa=UsiMa=当,原式=Li=|；5snacosa2当是第二象限角时,COSQ=-Vl-SiMa=T,原式=丁.综合知,原式=或5SlnaCOSa22521
