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1、一、不定方程的整数解问题例1、（2021外语校月考）近日天气晴朗，某集团公司准备组织全体员工外出踏青，决定租用甲、乙、丙三种型号的巴士出行，甲型巴士每辆车的乘载量是乙型巴士的2倍，丙型巴士每辆可乘坐42人.现在旅游公司有甲、乙、丙型巴士若干辆，预计该集团公司安排甲型、丙型巴士共计12辆，其余员工乘坐乙型巴士，每辆巴士均满载，这样乘坐乙型巴士和丙型巴士的员工共498人.临行前，突然有若干人因特殊原因请假，这样一来刚好可以少租用一辆乙型巴士，且有一辆乙型巴士多出3个空位，这样甲、乙两种型号巴士共计装载267人，则该集团公司共有名员工.例2、（2021重庆八中一模）我校学生社团开展以来全校师生积极参
2、与,为了了解同学们参与的意向，卢老师在全年级进行了随机抽样调查（被抽到的同学都填了意向表,且只选择了一个意向社团）,统计后发现共A、B、C、D四个社团榜上有名.其中选C的人数比选D的少6人;选A的人数选D的人数的整数倍；选A与选D的人数之和是选B与选C的人数之和的9倍；选A与选B的人数之和比选C与选D的人数之和多56人.则本次参加调查问卷的学生有人.例3、“九月已经霜,蟹肥菊桂香”.古往今来,每至农历九月,蟹都是人们翘首以待的珍馈.某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹,并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商.十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，这次决定与某电商合作.将这批大闸
3、蟹根据品质及质量分为A（小蟹）、B（中蟹）、C（大蟹）三类,每类按照不同的单价（价格都为整数）在网上销售.若2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格，而6只A类蟹、3只B类蟹和2只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹12只的价格,且A类蟹与B类蟹每只的单价之比为3:4,根据市场有关部门的要求,A、B、C三类蟹的单价之和不低于40元且不高于60元，则第一批大闸蟹每只价格为元.跟踪训练1.新学期伊始，某校学子们积极响应学校的“书香校园”活动,踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯.据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书,丙班有40人捐书.已知乙班人均捐书数量比甲班
4、人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半.若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的I,且各班人均捐书数量均为正整数,则甲、乙、丙三班共捐书本.2 .（2021重庆八中月考）某水果超市热销A、B、C三种水果，其中每千克B种水果的成本价比每千克A种水果的成本价高50%,每千克C种水果的成本价是每千克A种水果的成本价的2倍.近段时间,超市打算将三种水果组合后以果篮的方式进行销售.其中甲果篮有A种水果3千克、B种水果2千克、C种水果2千克;乙果篮有A种水果2千克、B种水果3千克、C种水果3千克;丙果篮有A种水果4千克、B种水果2千克、C种水果4千克.销售时,
5、每个丙果篮在成本价基础上提高!后销售，甲、乙两种果篮的利润率都为20%.某天，该超市售出三种3果篮后获利25%,已知售出甲、丙两种果篮共20个，且甲果篮为正偶数个.则该超市当天搜出三种果篮共个.3 .（2021巴蜀中学一诊）重庆市某服装厂配套生产一批校服,有领带、衬衫、T恤三种.3月份,该厂家生产的领带、衬衫、T恤的数量比是4:5:6,马上进入4月份,春暖花开,气温骤升,该厂家立刻又生产了-批三种服装，其中衬衫增加的数量占总增加数量的白，此时衬衫的总数量将达到三种服装总数量的U,且领带与T恤的530数量比是6:13,已知领带、衬衫、T恤这三种服装的成本价分别是15元、6元、50元,厂家决定将领
6、带的！作为促销礼物赠送,剩余的领带按成本价卖出,其余产6品全部售出,最后三种服装的总利润率是50%,衬衫、T恤的销售价格均为正整数且均盈利,那么衬衫的售价最高是元.4 .一驴友分三次从M地出发沿着不同线路（A线、B线、C线）去N地,在每条线路上行进的方式都分为穿越从林、涉水行走和攀登这三种，他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等;B线、C线路程相等,都比A线路程多32%;A线总时间等于C线总时间的一半;他用了3小时穿越从林、2小时涉水行走和2小时攀登走完A线;在B线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比A线上升20%、50%、50%.若他用了X小时穿越丛林、y小时涉水行走和Z小时攀登走
7、完C线,且x、y、Z都为正整数,则也=.y5 .（2021育才中学一诊）我国新疆棉花以绒长、产量高、品质好而著称于世.据国家统计局消息,2020年新疆棉花的播种量与2019年播种量相比有所下降,但棉花产量却大幅增长.又到棉花播种的季节,棉农老李与老张计划租用播种机进行播种,租用公司有A、B、C三种类型的棉花播种机,其日租金分别为A型500元/台,B型850元/台,C型1300元/台.已知A、B、C每台播种机每小时播种亩数之比为1:2:4,A、B类型播种机每天工作时间相同,C类型播种机每天工作时间是它们的3.老李准备三类机器均租用，总共租用8台机器,刚好6天能完成播种.棉农老张4的种植面积比老李
8、家多;,他同样租用了8台机器,但是他将A型和C型的数量进行交换,B型的数量不变,老张也刚好整数天数完成播种,则老张完成播种至少需付元租金.二、不定方程的辅助未知数（设而不求）问题例1、（2021重庆一中月考）元旦节前,某商店购进了一批A、B款式的大灯笼和若干小灯笼（小灯笼个数占灯笼总个数的80%）,它们的进价之比为10:20:1,店主将三种灯笼分别加价50%、40%、100%进行销售,全部售完后利润率为54%.年关将至,该商店又购进了这三种灯笼，且进货量和之前分别相同,但是A、B款式的大灯笼进价分别上涨了50%、25%,小灯笼进价不变，于是店主将这两种大灯笼的价格分别在现在的进价基础上加价60
9、%、40%进行销售，且购买一个A款式的大灯笼赠送2个小灯笼,购买一个B款式的大灯笼赠送4个小灯笼,余下的小灯笼售价与之前相同,那么这批灯笼卖完后,利润率为.例2、（2021重庆A）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3:2:4,A、B、C三种饮料的单价之比为1:2:1.六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加,A饮料增加的销售额占六月份销售总额的白,B、C饮料增加的销售额之比为2:1.六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2:3,则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比
10、为例3、（2021重庆八中月考）重阳佳节来临之际,某糕点店对桂圆味、核桃味、绿豆味重阳糕（分别记为A、B、C）进行混装，推出了甲、乙两种盒装重阳糕,盒装重阳糕的成本是盒中所有A、B、C的成本与盒装包装成本之和,每盒甲装有6个A、2个B、2个C,每盒乙装有2个A、4个B、4个C,每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1个A成本的15倍,每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的士倍.每盒乙的利润率为20%,每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%.当该店销3售这两种盒装重阳糕的总销售额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是元.跟踪训练1.（2020巴蜀中学模拟）为促进成渝地区双
11、城经济圈发展，渝北区和四川广元市于5月13日缔结了协同发展友好城市.5月中旬，渝北区某园林公司在广元市一苗圃基地批发了若干份树苗套餐,每份套餐由相同数量的香樟、银杏、水杉组成.5月下旬，园林公司再次采购了一定数量的套餐,但基地受干旱影响,导致该树苗套餐成本大幅增加,其中香樟的进价涨至中旬采购时的3倍,银杏和水杉的进价均涨至中旬采购时的2倍.已知中旬采购每份树苗套餐的总成本是其中香樟成本的9.5倍,且销售利润率为20%下旬销售该树苗套餐的利润率为25%当中旬和下旬的总销售利润率为23%时,该园林公司在中旬、下旬销售该树苗套餐的数量之比为2.（2021南开中学月考）文具店购进甲、乙、丙三种笔,已知
12、销售每支甲种笔的利润率10%,每支乙种笔的利润率是20%,每支丙种笔的利润率是30%.当售出的甲、乙、丙三种笔的支数之比为3:5:6时，文具店获得的总利润率是20%;当售出的甲、乙、丙三种笔的支数之比为1:3:8时，文具店获得的总利润率是25%;当文具店实际售出的甲、乙、丙三种笔中,乙种笔的支数分别是甲种笔的3倍、是丙种笔的L时，文具店实际获得的总利润率是.73.（2021育才中学一诊）为了抵抗病毒的侵袭，某学校组织教师到社区卫生服务中心接种新冠病毒疫苗,由于疫苗数量有限,所以要分批进行接种.初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级和初三年级参加疫苗接种的教师人数之比3:4.第二批
13、疫苗到货后,三个年级新增教师接种人数之比是5:6:2.增加后,初二年级教师接种总人数占这三个年级教师接种总人数之和的g,并且增加后,初二和初三年级新增教师接种人数之和是这两个年级教师接种总人数之和的士,19则这三个年级第一批教师接种总人数与第二批教师接种总人数之比为.4.（2021重庆一中月考）某食品公司为迎接端午节,特别推出三种新品粽子,分别是鲍鱼粽、水果粽、香芋粽,并包装成甲、乙两种盒装礼盒.每盒礼盒的总成本是盒中鲍鱼粽、水果粽、香芋粽三种粽子的成本之和（盒子成本忽略不计）.甲礼盒每盒装有3个鲍鱼粽、2个水果粽和2个香芋粽；乙礼盒每盒装有1个鲍鱼粽、4个水果粽和4个香粽.每盒甲礼盒的成本正
14、好是1个鲍鱼粽成本的g倍,而每盒甲2礼盒的售价则是在甲礼盒成本的基础上增加了.，每盒乙礼盒的利润率为20%.当该公司销售这两种盒装礼盒的总利润率为24%,且销售甲礼盒的总利润是4500元时，这两种礼盒的总销售额是元.5.（2021重庆八中模拟）清明小长假,重庆迎来了很多游客.除了解放碑、磁器口、洪崖洞等景点以外，美味的火锅底料、陈麻花和合川桃片也成了炙手可热的伴手礼.根据游客的喜好,现推出踏青福袋和平安福袋两种福袋,踏青福袋中有2袋火锅底料、2袋陈麻花;平安福袋中有1袋火锅底料2袋陈麻花、3盒合川桃片,两种福袋的成本价分别为袋中物品的成本价之和，已知踏青福袋每袋的售价为96元,利润率为20%,
15、每袋陈麻花的成本是每盒合川桃片的成本价的3倍.小长假期间,由于客流量较大，一天就卖出两种福袋共计156袋,工作人员在核算当日卖出福袋总成本的时候把火锅底料和麻花的成本看反了,后面发现如果不看反,那么当日卖出福袋的实际总成本比核算时的总成本少了100O元,则当日卖出福袋的实际总成本为元.二、不定方程（组）与不等式问题例1、（2021西大附中模拟）春暖花开,又到了踏青赏花的好季节.某植物园决定在今年4月份购进一批花苗:绣球花苗、蔷薇花苗、铁线莲花苗和月季花苗.已知每株绣球花苗的价格是每株蔷薇花苗价格的L每株月季花苗的价格是每株铁线莲2花苗价格的3倍.另外,购进的绣球花苗数量是铁线莲花苗数量的2倍,
16、蔷薇花苗的数量是月季花苗数量的3倍，且铁线莲花苗和蔷薇花苗的总数量不超过600株.已知一株绣球花苗和一株铁线莲花苗的价格之和为30元.最后,购进绣球花苗和蔷薇花苗的总费用比铁线莲花苗和月季花苗的总费用多14400元.则今年4月用于购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用的最大值为元.例2、（2021巴蜀中学期中）梁平百里竹海是国家AAAA级景区，位于重庆市梁平区西北部,景区内竹海绵延百里，风景迷人,其中“观音洞”“寿海”“竹海之门”景区最为出名.由于新冠疫情影响,景区特在去年12月12日对“寿海”和“竹海之门”两个景区的门票进行了线上限时秒杀销售和线下促销销售,当天销售结束后统计发现,线上限时秒杀销售
17、的门票数量和线下促销销售的门票数量相同,线上限时秒杀销售的“竹海之门的门票数量是线上限时秒杀销售门票总数量的2,线下促销销3售的“寿海”和竹海之门的门票单价相同,均为线上限时秒杀销售的两个景区的门票单价之和,线上限时秒杀销售和线下促销销售总销售额为1974元，且线上限时秒杀销售和线下促销销售的门票总销售量不少于200张,不超过300张,线上限时秒杀销售和线下促销销售的两种门票单价均为整数,则线上限时秒杀销售“寿海”景区的门票的销售额最多为元.例3、（2020巴蜀中学期末）巴蜀中学图书馆为同学们购买平凡的世界朝花夕拾和钢铁是怎样炼成的供大家借阅，已知三本书单价之和为120元,计划购买三种书数量总
18、共不超过125本，其中平凡的世界单价为50元,计划购买25本，朝花夕拾至少购买15本，钢铁是怎样炼成的数量不少于朝花夕拾的2倍.在做预算时将钢铁是怎样炼成的和朝花夕拾的单价弄反了,结果实际购买三种书的总价比预算多了116元,若三本书的单价均为整数，则实际购买这三种书最多需要花费元.跟踪训练1.（2021西大附中模拟）为了方便同学们进行丰富阅读某中学图书馆订购了A、B、C三类新书,共900本，其中A类数量是B类数量的4倍,C类数量不超过A类数量的生，且A类数量不超过400本.新书开始借阅后，深受同学欢迎,图书管理28员提供了两种方案来增订这三类书若干本（两种方案增订的图书总量相同）.方案一:按2
19、:3:5的比例增订A、B、C三类书；方案二:按4:1:5的比例增订A、B、C三类书.经计算,若按方案一增订,则增订后A、B两类书总数量之比为7:2,那么按方案二增订时,增订后A、C两书总数量之比为.2.（2021巴蜀中学一模）传播正能量,树立新方向.“沁园”糕点店准备开发出A、B两款礼盒为奋斗人们鼓劲，两款礼盒均由“加油打气饼、奋发图强”酥、“超越自我”糕三种糕点搭配而成，其中A礼盒一共有18块糕点,B礼盒一共有24块糕点.A礼盒中的“加油打气”饼的数量和B礼盒中的“超越自我”糕的数量一致，A礼盒中的“奋发图强酥的数量和B礼盒中的“加油打气”饼的数量一致.每块“加油打气”饼、“奋发图强”酥、“
20、超越自我”糕的成本分别是5元、2元、3元.A、B两种礼盒的包装盒成本之比为9:8.经测算，A礼盒的总成本比B礼盒多12.5%（每种礼盒总成本=礼盒中糕点成本+包装盒成本）.后因原材料成本上涨，每块“加油打气”饼、“奋发图强”酥、“超越自我”糕的成本分别上涨20%、50%、50%,包装盒成本不变,结果A礼盒比B礼盒的总成本多1元,则上涨后每个B礼盒的总成本是元.3.（2021南开中学模拟）为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集2330支钢笔、1060本笔记本和若干套尺规套装,小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔、10本笔记本和4
21、套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔、8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔、6本笔记本和3套尺规套装.已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数.并且甲类的个数低于28个,乙类个数低于106个,那么所有包裹里尺规套装的总套数为套.4.（2021重庆一中月考）我国过年历史悠久,在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗,有许多还相传至今,如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等.某商店新进一批“福字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件）共超过250件但不超过300件,灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的
22、（,每张“福”字贴画进价是4元,每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售）,商店将“福”字贴画以高出进价的3售出,将灯笼每对按高出进价的40%售出,最后留下了35件物品未卖出,4并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友,最后商店经过计算总利润率为20%,则最初购进灯笼对.5.（2021重庆一中月考）孔明灯俗称许愿灯,是一种古老的汉族手工艺品.春节期间放飞孔明灯放飞的是人们对幸福的期望和祈盼,象征着幸福美满,团团圆圆.某商家采取线上、线下两种方式销售“笑脸型”、“桃心型”、“卡通型”、“普通型”四种类型的孔明灯.其中线上销售时,笑脸型的孔明灯销量是桃心型孔明灯销量的2倍,普通型的孔明灯销量是卡通型孔明灯
23、销量的L卡通型的孔明灯售价（元）是笑脸2型孔明灯售价（元）的5倍,普通型的孔明灯售价是桃心型孔明灯售价的4倍.线下销售时,笑脸型孔明灯销量比线上销售提高50%,卡通型孔明灯销量比线上降低L普通型孔明灯售价比线上售价降低一半，结果销量和卡通型孔明灯销量保持3一致，其他孔明灯售价和销售量与线上保持一致,结果笑脸型孔明灯和卡通型孔明灯线上线下销售总额比桃心型孔明灯和普通型孔明灯线上、线下销售总额高出646元.若笑脸型孔明灯线上售价的5倍与桃心型孔明灯线上售价的2倍之差不低于20元但不超过40元,笑脸型孔明灯线上售价在7.5到11.5元之间,线上、线下销售量与售价均为整数,则笑脸型孔明灯线上销售额最多比桃心型孔明灯线上销售额多元.
