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1、专项03直角三角形中锐角平分线模型综合应用【模型】如图所示，在RtABC中，ZACB=90o,已知AC=6,BC=8,AD是AABC的角平分线，求DC的长.【解析】如图，过点D作DE_LAB,垂足为E,则AACDgAAED(AAS),AE=AC=6.在RtAABC中，由勾股定理MB=4C2+BC2=V62+82oY6+82=l，易知EB=4BA=106=4.设Dc=,则DE=x,DB=8-x,在RtADEB中，由勾股定理(8x)2=4+2解得=3.DC=3.理【叁例合析】【典例1】如图，在三角形纸片ABC中，AB=I5。，AC=9cm,BC=2cm,现将边AC沿过点A的直线折叠，使它落在48边
2、上.若折痕交BC于点D,点C落在点E处,你能求出8。的长吗？请写出求解过程.BEa【解答】解：能VC2+C2=225,AB2=225.AB2=BC2+AC2.：.ZC=90o折叠；CD=DE,C=AE=9cm,NAEo=NC=90.*.BE=AB-AE=Gcm在RtZXBQE中，BD2=DE1+BE2.：.Bbl=（12-8。）2+36.BD=1【变式1-1如图，在aABC中，NC=90,AC=BC,AO平分Ne48,交BC于点D,DELAB于点E,若ABDE的周长是4cm,则AB的长度为cm.【答案】4【解答】解：VZC=90o,DE-LAB,A。平分NC48,CD=DE.又.4D=AO,R
3、tACDRtEZ)(HL),*AC=AEt：.BD+DE=BD+CD=BC.又YAC=BC,：.AE=BCt/.XBDE的周长=8Z+OE+8E=AE+8E=4o”,9AB=4cm.故填4【变式1-2如图，直角三角形纸片的两直角边AC=6c如BC=8cm.现将直角边AC沿AO【解答】解：TzMBC是直角三角形，AC=6cm,BC=Scmfb=AC2+BC2=62+82=10（的）,YAED是AACO翻折而成，AE=AC=（）cmr设OE=CO=XCm,NAED=90,：.BE=AB-AE=IO-6=4cm,在Rt&）E中，BD2=DE2E2,即（8-x）2=42+x2,解得x=3.故CD的长为
4、3cm.【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，ZC=90o,AC=ScrntBC=6an,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为A。,则CO的长为.【答案】Icm3-【解答】解：在RtaABC中，=AC2+BC2=10j根据折叠的性质可知：Af=AB=IO,VAC=8,.CE=AE-AC=2,即CE的长为2,设8=x,则80=6-X=OE,在RtzCZ)E中，根据勾股定理得CD2+Cf2=DE2,即/+22=(6-)2,解得X=区,3即C。长为当”.3故答案为：Xn3【典例2】如图，在RtZXABC中，NB=90,AB=Icm,AC=25cw.点P从点A出发沿A
5、B方向以cm!s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cms的速度向终点C运动,P,。两点同时出发，设点尸的运动时间为，秒.(1)求BC的长；(2)当f=2时，求P,Q两点之间的距离；(3)当AP=CQ时，求，的值？AP、【解答】解：(1)在RIZXABC中，NB=90,AB=IcmtAC=IScm,品=加292=24所.(2)如图，连接PQ,BP=I-2=5,8Q=6X2=12,在直角aBPQ中，由勾股定理得到：e=Bp2+BQ2=13(OW);(3)设f秒后，AP=CQ,则r=24-63解得=27答：P、。两点运动竿秒，AP=CQ.【变式2】如图，在RtZXABC中，NACB=9
6、0,=10cw,AC=6cm,动点尸从点B出发沿射线BC以3/S的速度运动，设运动时间为，(s).(2)当aABP为等腰三角形时，求，的值.【解答】解：(1)当aABC为直角三角时，BC=AB2-AC2=NIO2_6?=8(cm),当NAP8=90时，点。与点C重合，BP=BC=8,.*.r=8,当N8AP=90,BP=i,CP=L8,AC=6,在RtZXACP中,AP2=62+(r-8)2,在RtZ84P中，AB1+AP1=BP2,102+62+(r-8)2=r2,解得：r=空，2综上所述，/=8或空；2(2)在aABC中，NACB=90,由勾股定理得：BCrhB2fC2=Jl02_62=8
7、(cm),ZXAB尸为等腰三角形，当AB=AP时，则8P=2BC=16cm,即(=16；当BA=8尸=IOaW时，贝h=10;当布=08时，如图：设Bp=Rl=X,则PC=8-X,在RiZXACP中，由勾股定理得：pc2+ac2=ap2,(8-,)2+62=2,解得X=空，4.L254综上所述：/的值为16或10或空.影【眼除初练】1 .如图，在aABC中，NC=90,AO是aABC的角平分线，若8=3,则点。到AB边的距离为(C【答案】D【解答】解：作OELLA8于E,TAD是aABC的角平分线，ZC=90o,DEAB,：DE=DC=3,故选：D.2 .如图，RtZXABC中，ZC=90o,
8、A。平分NBAC交BC于点。，DEAB交AC于点、E,已知CE=3,Co=4,则4。长为（）【答案】D【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90o,CE=3,Co=4,由勾股定理得：DE=JCD2磔2=+32=5,VDE/AB,ZBAD=ZADEfTAO平分NB4C,：.ZBAD=ZCADr：.ZCAD=ZADE,：,AE=DE=5,，AC=AE+EC=8,d=AC2+CD2=82+42=4V5故选：D.3 .如图所示的网格是正方形网格，则NB+NP8A=()(点A,8,P是网格交点).A.30B.45C.60D.75则PD2=BD2=l+22=5,PB2=12+32=IO,.PD1+DB2=
9、PB2f1.NPDB=W,ZDPB=ZB+ZPA=45o,故选：B.4 .如图，在RtZXABC中，NACB=90,CDLAB,垂足为A/平分NCAB,交CD于点、E,交.CB于点F.若AC=9,AB=15,则CE的长为（）【答案】B【解答】解：过点尸作FG_L48于点G,V ZACB=90o,CDLAB,ZCDA=90o,ZCAF+ZCM=90o,ZFAD+ZAED=9Go,V A/平分NCA8,：.ACAF=AFAD,JZCM=ZAED=ZCEF,CE=CF,V A广平分NCA8,ZACF=ZGF=90o,：.FC=FG,V ZACB=90o,AC=9,AB=I5,A5C=Vab2-ac2
10、=12j在RtACF和RlZXAG尸中，(AF=AFIACxAGRtCFRtAGF(HL),AC=AG=9,设CE=A:,则R7=FG=x,BF=12-X,BG=15-9=6,*FG2+BG2=BF2,即/+62=(l2-)2,解得=9,2即CE=9,2故选：B.5.若一个直角三角形的周长为3+5,斜边上的中线长为1,则此直角三角形的面积为()A.3B.i3C.3+3D.23【答案】B【解答】解：斜边上的中线长为1,斜边长为2,设两直角边为，b,根据题意得a+b=3+yj3-2=i+y3,a2=4,ab=-(+b)2-a2-b2=y3f因此这个在角三角形的面积为Lb=返.22故选：B.6 .如
11、图所示，在aABC中，NC=90,OE_LAB于点O,交AC于点E.若BC=BD,AC=4cm,BC=3cm,AB=Scnu则aAOE的周长是.【答案】6cm【解答】解：如图，连接BE.DE.LAB,：.ZBDE=90,ZBDE=ZC=90o.在RtBDE与RtABCE中，(BC=BDIbe=beRtERtBCE(HL),：.CE=DE,AOE的周长=AE+AD+OE=AD+AC=A8-BC+AC=5-3+4=6(Cm).7 .在aABC中，ZC=90o,AC=BC,AO平分NBAC交BC于O,OfLLAB于E,若BC=20cm,BE=1.6cm,则E的周长为cm.【答案】27i6【解答】解：
12、VZC=90o,AC=BC,Ao平分NBAC交BC于O,DELABLDC=DE.DBE的周长为DB+BE+DE=BD+CD+BE=BC+BE=276cm.故填27.6.8 .如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边A8=6,BC=8,将三角形ABC折叠，使AB落在斜边AC上得到线段A8,折痕为AZX则BD的长为.【解答】解：YAABC为直角三角形，AB=6,BC=8,，根据勾股定理得：=ab2+bc2=1,设BQ=X,由折叠可知：DB,=BD=x,AB,=AB=6,可得：Cfi1=AC-Afi=10-6=4,CD=BC-BD=S-X,在RtZCO8中，根据勾股定理得：（8-x）2=42+2,解
13、得：x=3,则80=3.故答案为：3.9 .如图，有一块直角三角形纸片ABC,ZC=90o.两直角边AC=6cm,BC=Scm,现将cm.该纸片沿直线AO折叠，使点。落在斜边AB上的点E处，则折痕A。=【答案】35【解答】解：VAC=6cw,BC=Scm,ZC=90o,.AB=IOcm,9.9AE=Gcm（折叠的性质），/.BE=4cm,设CD=x,则在RtADEB中，42+2=(8-)2,x=3cw.*CD=3cn,在RtZACO中，AD=7ac2CD2=3VCTM.故答案为3510 .如图，在aABC中，ZC=90o,A8的垂直平分线交AB、AC于点。、E,若AC=8,SB的垂直平分线交A
14、8、AC于点。、E,BD=5,BE=AE,AD=BD=5,8=5+5=10,在RtzA8C中，由勾股定理得：C=AB2_AC2=102_g2=6,设CE=x,则BE=AE=8-X,在RtZC8E中，由勾股定理得：BC2+CE2=BE1,62+x2=(8-x)2,解得：X=工，4ACE=L4故答案为：1.4I免费增值服务介绍，V学科网(https:WWW3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZUjU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复ppt免费领180套PPT模板回复天天领券来抢免费下载券
