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1、专题07函数的应用(二)I-(1)定义：对于函数y=(x),我们把使用:)=0成立的实数X叫做函数y=(x)的零点.(2)几何意义：函数y=(x)的图象与X轴的交点的横坐标就是函数y=(x)的零点.(3)结论：方程(x)=0有实数根=函数)，=危)的图象与X轴有交点Q函数y=(x)有零点二、函数零点的判定定理条件结论函数y=)在，句上y=x)在(，6)内有零点(1)图象是连续不断的曲线(2)ay(b)0三、二分法的定义对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)V0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二
2、分法.四、判断函数y=f()是否存在零点的方法(I)方程法：判断方程yu)=0是否有实数解.(2)图象法：判断函数y=(x)的图象与X轴是否有交点.(3)定理法：利用零点的判定定理来判断.五、有关函数零点的三个结论(1)若y=(x)在闭区间口，句上的图象连续不断，且有/(VS)0,则函数y=(x)一定有零点.(2y3V(b)0是y=)在闭区间口，0上有零点的充分不必要条件.(3)若函数/(x)在口，句上是单调函数，且/(x)的图象连续不断，则3)3)0,bl)七、对数函数模型的应用y(x)=mlogx+n(m,，Q为常数，mQ,0,a)八、函数模型的应用题型Oh求函数的零点【典例1】(2023
3、上浙江温州高一浙江省平阳中学校联考期中)若不等式0.-co的解集为x-3x0的解集为x-3x2,所以方程加r-c=0的两根分别为-3和2,且0,因为/(x)=2+2ar-3。，所以(-3)一(24)=T,4a所以=l,/(x)=+2x-3.故答案为：/(x)=x2+2x-3题型03：根据函数零点判断函数值的符号【典例5】(2021上河南濮阳高一统考期末)已知。是函数/(x)=0S-lo&x-f的零点，若0C./(xo)g).【详解】函数的定义域为(0,+8),已知函数y=0.5y=-Iog2X,y=-/在(0,+巧上是减函数，所以可判断函数/(x)=0S-1幅-在(0,+R)上是减函数，又因为
4、。是函数/(x)=05,-1脸-的零点，即/()=0,根据单调性可得，当Oe。)=0故选:B.【典例6】(2018上北京海淀高一北京市十一学校校考期中)已知/是函数/(力=2+-1的一个零点,若xe(-l,与),x2(x0,+),则()A. /(x1)0,(x2)0B /(x1)0C. /(x1)0,(x2)0D- /(x1)0,(x2)0【答案】B【分析】由已知得出/(%)=。，分析出函数/(x)的单调性，进而可判断出/(3)、/()的符号.【详解】由于函数y=2、y=-l在K上均为增函数，所以，函数/(x)=2+x-l在夫上为增函数，因为玉(T,与),x2(x0,+),(x1)f(xo)=
5、0.故选：B.题型04：零点存在性定理的应用【典例7】(2023上北京西城高一北师大实验中学校考期中)已知函数y=(x)图象是连续不断的，并且是R上的增函数，有如下的对应值表X1234y-0.24以下说法中错误的是()A./(0)2时，/(x)0C.函数/(4)有且仅有一个零点D.函数g(x)=(x)+x可能无零点【答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A,因为函数y=(x)是R上的增函数，所以/(0)(l)=-0242时，/(x)(2)=L210,正确；对于C,因为函数y=(x)是R上的增函数，/(l)0,l!J/(1)/(2)0
6、,所以函数/(x)有且仅有一个在区间(1,2)的零点，正确；对于D,因为函数g()=()+连续,Ja(o)=(o)()o,即g(0)g0J(3)0,则/(3)0,根据零点的存在性定理可知/(x)在1,3匕存在零点，所以充分性满足；所以“/+/+/(3)=0是/(x)在L3上存在零点的充分不必要条件，故选：A.题型05：根据零点所在区间求参数【典例9】(2024上内蒙古呼和浩特高三统考开学考试)若函数=存在1个零点位于(1,2)内，则。的取值范围是()A. (0,3)【答案】AB. (-3,3)C. -3,3D. (-3,0)【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.【详解】若函数
7、力=2*-2-4存在1个零点位于(1,2)内，2f(x)=2x-a单调递增,又因为零点存在定理，X.0a3.故选：A.【典例10】(2022上山东枣庄高一枣庄市第三中学校考期中)函数/a)=-(；+用在(-1/)上存在零点，则掰的取值范围是.【答案】卜)【分析】首先判断函数的单调性，在根据零点情况，结合端点值的正负，列式求实数旭的取值范围.【详解】/(x)=x-(g)+加为增函数-减函数=增函数，若函数/(力在(-1,1)上存在零点，则/(T)=-l-2+m0,解得：m3.故答案为：卜【规律方法】利用零点存在性定理，结合给定区间建立不等式.题型06：根据零点个数求参数范围【典例11】(2023
8、下江苏盐城高一江苏省响水中学校考期末)已知函数/(x)=H-Nj,若函数g(x)=f(x)-f(-x)有五个零点，则实数。的取值范围是.【答案】(一2,0)【分析】根据X的范围，又/(x)-f(r)=0即可将问题转化为-=x-2(x0),-=x+2,(xxx-2=-ax,则X=O或一a=x2,当x0J()=r-2=-xx+2,此时/(x)-(r)=Onrk+2=QX,则一=x+2,故问题转为F=IX-2(x0),-0=k+2,(x0)共有四个零点，画出函数图像如下可知：则0-20,故答案为：(-2,0)【典例12】(2022上浙江台州高一台州一中校考开学考试)已知点48的坐标分别为(1,0),
9、(2,0),若二次函数歹=/+(。-3)x+3的图像与线段48有且只有一个公共点，则实数。的取值范围是.【答案】-1。-g或=3-26【分析】结合零点存在定理以及判别式，分成两种情况进行讨论：当二次函数与X轴有两个交点时；当二次函数与X轴仅有一个交点时.【详解】当二次函数与X轴有两个交点时，如图1,因为：次函数y=(x)=2+(-3)x+3的图像与线段”有且只有一个公共点，43的坐标分别为(1,0),(2,0)，W(l)(2)=l2+(a-3)+322+(a-3)2+3jl0,解得-IVa由/=r+(a-3)+3=0,得=T,此时项=1,/=3,符合题意.由/=22+(3)x2+3=0,得=-
10、g,此时=2,W=|，不符合题意.所以TM当二次函数与X轴仅有一个交点时，如图2,令1+(-3)x+3=0,由A=(-3)-12=0得=32J，当=3+25口寸，x1=,=-3,不合题意；当=3-2J时，x,=x2=3,符合题意.综上，。的取值范围是T。J.故答案为：-1。J.【规律方法】已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.题型07：根据一次函数零点分布求参数范围【典例13(2020高一课时练习)已知函数/*)=3狈-1-2在区间(TI)上存在零点，则()1 1If1A.aC.1D.tz-【答案】C【
11、解析】首先判断函数在(-覃)上单调，利用零点存在性定理即可求解.【详解】(x)=3-l-20在区间(Tl)上单调且存在零点,/(-l)(l)=(-3o-l-267)(3t7-l-2)=(-567-l)(-l)1或一1.故选：C【典例14】(2020上高一课时练习)若方程3x+m=0的根在(To)内，则m的取值范围是.【答案】(0,3)【分析】设/(x)=3x+m,利用零点存在定理可构造不等式求得结果.【详解】设/(x)=3x+*则/(T)(0)=M(M-3)0,解得：0用0则有，/=5-20,/(2)=8-4a故选：C.【典例161【多选题】(2023上山东德州高一统考期中)已知函数/(刈=疗
12、+的-1)%-1在-1,2有两个不同的零点，则加可以为()1 1A.-B.3C.-D.434【答案】BD【分析】根据/(T)=OJ(O)HO将原函数零点问题，转化为在(TO)50,2只有一解,利用塞函数性X质求解范围即可判断.【详解】因为/(-1)=机-(附-I)T=0,所以X=-I为函数/(x)=ZMX2+(m-l)x-l的零点，所以函数/(x)=n+(mT)XT在(-1,2只有一个零点，且/(函0,则加+(zw-l)-1=0即机=：在(-LO)D(0,2只有解，因为xe(-l,0)U(0,2,所以相-8,-1)=+oo,XL2)对照选项，!4?，故只有选项BD符合题意.43222故选：BD
13、【总结提升】结合二次函数的开口方向、对称轴、单调性等，利用零点存在定理构造不等式.题型09，根据第、指数、对数函数零点分布求参数(范围)2【典例17】(2023全国高三专题练习)函数(x)=2-。的一个零点在区间(1,2)内，则实数0的取值X范围是()A.OVaV3B.la3C.l2D.a2【答案】A【分析】判断函数单调性，根据零点所在区间，列出相应不等式，即可求得答案.2【详解】因为函数y=2,y=-C在(0,+8)上单调递增，X2所以函数/(x)=2-W-在(0,+8)上单调递增，X由函数=的一个零点在区间(1,2)内得1)=-MOJ(2)=3-40,解得OVaV3,故选：A【典例18】(
14、2020上陕西渭南高三校考阶段练习)已知函数/(x)=lnx+3x-7的零点位于区间(%+l)(N)内，贝1=.【答案】2【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知，函数/(x)在区间(2,3)内存在零点即可得出结果.【详解】由题意可知函数，(力=1欧+3、-7在定义域(0,+8)内单调递增，易知/=ln2+32-7=ln2-l0,所以2)*(3)0,根据零点存在定理可知，函数/(x)在区间(2,3)内存在零点，所以可得=2.故答案为：2【总结提升】注意结合幕函数、指数函数、对数函数的单调性及图像，依据函数零点存在性定理建立不等式.题型10,函数与方程的综合问题【典例19(2022下湖南长沙高
15、一长郡中学校考开学考试)设函数(x)=max2i,4-x-2,若关于X的方程/(X)=t有三个不相等的实数解，则实数/的取值范围是.【答案】(2,4)【分析】根据函数新定义求出函数/(“解析式，画出函数/(x)的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出，的范围.【详解】由题意得：21-jr=4-x-2,得：t=O,x=x2,Mx2r4.|T=F7T|11Y4-x-2,2,-jr4-22,-x0得：/(x)=-4-r-2,0x0和质0两种情况讨论即可.fY2+2V0【详解】当。=0时，/(x)=一，图象如下所示：-x,x0由图可知，当0%0时，/(x)=x+
16、a,-axa,图象如下所示：-x-ayx-a所以/(x)在-单调递减，(-aM)，(dH0单调递增,所以4+=/一.+2,解得=l,3,Xi-ax+2,xa当O时，/(%)=,图象如下所示：-X-a,xa所以/(x)在(YoM)，9上单调递减，(全+8)上单调递增，-a-a=a2-aa+2所以/Ya，无解，-a+2=02)2综上所述，4=1.故答案为：否；L题型Ih求函数零点或方程根的个数【典例21】(2023上北京高一北京十四中校考期中)函数/(x)=2-的零点个数是()A.OB.1C.2D.3【答案】B【分析】令/(x)=0求出方程的解，即可判断.【详解】令/(x)=0,即/J.=。，解得
17、=,X所以函数f(X)=，有且仅有一个零点1.X故选：B【典例22(2023上湖北高一湖北省天门中学校联考阶段练习)已知函数/(X)=4/,当log2(-x),x,G,画出/()的大致图象，由图象可知y=/与y=()共有6个公共点，故原方程共有6个根.故选：D.【规律方法】判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点.(2)画出函数歹=x)的图象，判定它与X轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用()W6)V0,可判定y=(x)在(小与上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.题型12：判断函数零点所在区间【典例23(2022上吉林高
18、一校考期末)函数/(x)=lnx+x-4的零点一定位于下列哪个区间()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(5,6)【答案】B【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可.【详解】/(x)=InX+、-4在(0,+“)上为单调递增函数，又/(2)=In220,故/(2)(3)x3=x5函数y=V和函数y=+5在同一白角坐标系内图象如下图所示：方面/(0)=5J=-5J(2)=1J(3)=19J(4)=55,另一方面根据数形结合思想可以判断两个函数图象的交点只有一个，故选：B题型13:比较函数零点的大小【典例25】(2023上广东江门高一统考期末)已知/()=JiJ-2(x)=lg-2
19、,(x)=x3-x-2的零点分别是。，b,cf则,b,C的大小顺序是()A.abcB.cbaC.bcaD.bac【答案】B【分析】将函数的零点，转化为函数y=+2的图象分别与函数歹=(、y=log、N=X3的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】解：函数3=ej-2,g(x)=bg：72,MX)=X3x2的零点，即为函数y=x+2分别与函数尸(、y=10g、V=Y的图象交点的横坐标，如图所示：由图可得b七，贝U()1 111A.x-B.x2一%X,x1X211C.X2【答案】AC【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调性，可得答案.【
20、详解】函数TyTlnXl的两个零点即函数HgL“=|InXl的图象的两个交点的横坐标，作出两个函数的图象，如下图：则01，即o,1,故D错误；XX2由图可知闫O,且=M讣QJ2=lnx2,则IInxlln%2,由OVx21,则Inx1-lux2,即InXl可得x(13)=e,所以两函数图象在(2,0)两侧各有4个交点，关于(2,0)对称的两根之和为4,所以可得所有的根之和为4x4+2=18.故选：B【典例28】(2023上辽宁沈阳高一辽宁实验中学校考期中)己知函数y=g(x)的定义域为(YO,7)U(T,+8),且g(x-l)为奇函数，当xT时，g(x)=2-l,则/(x)=g(x)-l的所有
21、零点之和为()A.-1B.-2C.-3D.0【答案】A【分析】先由g(x7)为奇函数，推出g(x)关于对称，则g(x)=-g(-2r),进而求出g(x)的解析式，则/U)的解析式可求，解出根即可.【详解】因为g(-i)为奇函数，所以g(-i)关于(0,0)对称，则g(x)关于(T,0)对称，即g(x)=-g(-2-x),当xT时，g(x)=2x2-l,当X-,则g(X)=_g(_27)=T2(_2_x-1=-2x-8x-7,1.Lrl/2X21,1所以g(x)C2crJ则/() = g() =2x2-2,x-1-2(X+2)2,X-x2由/。得MO或K(.2)=0,所以。或一，当r=(x)=O
22、时，X=O或x=3,.、(x2(x2当f=)=3时,则%=3或.(一)=3,解得所以函数y=(x)的所有零点之和为0+3+10=13.故选：D.【典例30】(2023上辽宁大连高一校联考期中)已知函数/U)=?+I。，若函数X2-6x+8,X1F(x)=2(x)2-(m+2)f(x)+m,且函数尸(力有5个零点，则实数m的取值范围是.【答案】加|2m3d4【分析】作出函数的图象，函数户(x)有5个零点等价于y=()与y=l有两个交点，所以y=()与夕=三有三个交点，结合图象求解即可.【详解】解：作出函数的图象如下：F(x)=2(x)2-(m+2)f(x)+m,且函数尸(X)有5个零点等价于(/
23、(x)7)(2(x)-加)=0有5个解,等价于/(x)=1或/(%)=共有5个解等价于函数y=()与y=,V=I共有5个交点，由图可得y=()与y=有两个交点，所以y=()与y=羡有三个交点则直线y=应位于y=l,y=g之间，或与y=2重合，所以1欠3或=2=2m3或机=4222故答案为：w2w3u4【总结提升】函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.(1)换元解套，转化为f=g(x)与y=U)的零点.(2)依
24、次解方程，令/(。=0,求h代入z=g(4)求出X的值或判断图象交点个数.2.抓住两点：(1)转化换元.(2)充分利用函数的图象与性质.题型16：二分法及其应用【典例31】(2023上辽宁沈阳高一辽宁实验中学校考期中)函数/(力=1-炉+50式2,-1有零点，用二分法求零点的近似值(精确度0.1)时，至少需要进行()次函数值的计算.A.2B.3C.4D.5【答案】B【分析】取区间的中点，利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，并比较区间的长度与精确度的大小,直到符合要求为止.【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：/(-2)=-8-4+5=-70,-2-(-l)=l0.2,-2-13取
25、区间的中点XI=年=一=,取区间J=,的中点5,I2JX2=2=4所以受（一右一目.取区间（一,；的中点Y .42I 24J 巧=一一11，所以与一|,一日）.因为样-卜升卜0.2,(311Aj1123,16所以区间-丁的中点Y2TI28)X4=23即为零点的近似值，即函数小）的零点/，一记,所以至少需进行3次函数值的计算.故选：B.【典例32】（2023上高课时练习）若用二分法求方程2d+3x-3=0在初始区间（01）内的近似解，则第三次取区间的中点七=.【答案】IO【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可.【详解】设/（x）=2+3x-3,则/(0)=-30,/(0)(l)0,第次取区间（
26、0,1）的中点玉=g,/（；）=-2，（g）（l）0,（X）的零点所在的区间为G第二次取区间（；，1）的中点七=（,IIQ【详解】由题设8-e24+b=*=五=Q=（，Z=4In3+3In2,所以x=12时，x+Z=-21n3+41n3+31n2=ln72,此时丁=/=72小时.故选：D【总结提升】在函数应用问题考查中，对指数函数、对数函数模型的考查已成为高频热点，既能与现代科技活动、科技成果结合，又能较好的考察学生的运算能力，也能激发学生学习的浓厚兴趣.题型18：对数函数模型的应用【典例35】L和小数记录法的数据P满足关系式L=5+lgP.已知某学生视力用五分记录法记录的数据为4.8,则其视
27、力用小数记录法记录的数据约为（）（参考数据：W1.26）【答案】B【分析】根据表达式L=5+lgP,代入L=4.8,结合指数式与对数式的互化，即可求解.【详解】由题意知：L=5+lgP,当L=4.8时，可得4.8=5+lgP,解得IgP=-0.2,三pr=102=T=06所以其视力的小数记录法的数据约为0.6.故选：B.【典例36（2023上上海徐汇高一统考期末）香农公式C=网。g2p+5）是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽印、信道内信号的平均Co功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中77叫做信噪比.根据香农公式，若当77
28、=99,%=2000时，NN最大数据传输速率记为G；当*=9999,%=3000时，最大数据传输速率记为。2,则f二（）A. 1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据新定义结合对数运算求解即可【详解】由题意可知，C1=20001og2（199）=20001og2100故选：C.题型19：函数模型的增长差异【典例37】（2023上高一课时练习）下列函数中随X的增大而增大且速度最快的是（）A. y = exB. y=nxC. y=2x【答案】A【分析】根据题意，结合对数函数，一次函数和指数函数的增长率的快慢，分析可得答案.【详解】函数y=er,函数值随X的增大而减小，当函数值随X的增大而增大时，
29、在对数函数，一次函数和指数函数中，指数函数的增长速度最快，如图所即四个函数中，随X的增大而增大且速度最快的是是j，=e1故选：A【典例38】（2023上广东惠州高一惠州一中校考期中）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中笫4年为预估人数，仅供参考）：建立平台第X年1234会员个数V（千人）14202943依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台X（XWN年后平台会员人数歹（千人），并求出你选择模型的解析式：y=!+b（f0）,y=bg,x+s（c且1）,X（）y=max+n（aOfia1）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过h（3J（左0）千人，依据（1）中你选择的函数模型求人的最小值.【答案】见解析【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；(2)根据 中
