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1、专题IlO数列放缩拆分练习与数列不等式恒成立问题胸回O求和后放缩三三放缩通项再裂项相消求和三s放缩成等比数列朝根式的放缩三s跳过第一项再放缩求和利用重要不等式放缩s三通过糖水不等式进行放缩型不放缩后错位相减求和Mfe数列恒成立问题数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和：第二，将通项放缩为等比结构(等差比结构)然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的
2、这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.I.常见的裂项公式：必须记111,212例如：-或者I-r=-c=-(a-b)an-xt就放缩出一个等比数列.3 .糖水不等式分子分母同加常数：(baO,m0),(b0,m0)aa+maa+m常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）一、等差型1 1II/小(1)-1PJ-=-7一(2);n(n-)nn-n2 111=n2n(n+)nn+,、I44(11(3)-T=I一=2I一n24n24w2-12w-l2w+lEil加Il1II/c、(4) KJ/=而切i7n - 1“2); yn2 n + yn n2 nn -1 + (n - 1)w J( (
3、五 + yn-三、指数型2n(10) (2-l)2 (2-l)(2rt-l) (2-1)(2-2) (2n-l)(2,1-1)112w, -1 2n -1( 2 2):(11) (1 + ：1+1+13；1223(w-1)_22_2_(12)亚丁(1+1)-飞+0；+_=(+1)二厂才；2T11_z)(13)2n-(2n-1)(2-1)2,-12-1此,(14)2(77+1-4n)=-I-r4-Il=2(4n-Jn-).?+1+ynz+h-1酗O求和后放缩1.已知=4x3T,设f = l0g3筌,看为数列2+，的前项和.证明：lq2【解析】 = iog3 = iog3r=w,所以1一一三1,即
4、（2,是单调递增数列综上，7L2.1_1-1I111anan.(2w-1)(2w+1)21-12/z+lJ,2.已知“=2-1为，证明:+，/36出a2aianan,2【解析】I1IIjIIlI1、1。1、11axa2a2ayanan2(3352-12n+lJ22n+l)22(2+1)I111随着的变大，万一1而TD变大，故当二1时，y2Q.+i)取得最小值11111I最小值为万一=,JL2-2(2/?+l),证明：7；1.【解析】bn=-=t_12n=尹+K+而,ITl2n27=2+2t+,+27t,两式相减得=*+摄+击一券，ZTII1fl所以I=初+齐+广1714n,1n,n+2,产=1
5、万=1因为欣所以+，+，+3+24+3-5+4-6hIlll4n-1+1n+2,M1+r-TMT4vh;1I+2+w+12+32+22因为1+I=1IJ=T+1+2(+1)(+2)(+1)(+2)(w+l)(w+2)n+2f3Ifl1131231=.42+1+2J42n+24n+2豳照放缩通项再裂项相消求和5.已知。“二+1,若数列图的前项和为小求证：7；|.【详解】证明：由（D得q=+1（N*）,.1二1二4.4二4_rj1!_所以f=e+l)2=4(+l)2an+1-ln+12【详解】Tn =aya2anX =2 3 n+1 n+l所以s“=(2+7L2二W+110.已知%=二,若b.=a
6、i-att, S”为。的前项和，证明：12S,+=+=2334(11+1)(+2)2334n+r+22n+2所以S,/+1-5.7 .设%=l+f*+1,N2.求证:ank(k-),k2(只将其中一个左变23n23n成一1,进行部分放缩)，27t=17一),K,k(k-1)-1于是.l+*+*+l+(l-g)+(g4+(=-5=2一42.,1rs3.己知为二2-1,设=7=,数列4的前项和为求证：Tn-1.11解：S.，”=(21)户而FA=I1.111I(Il)可知当“2时，nn(2n-n(2n-2)2(-1)211三n)=Ih1I4/_!qn(+2)2(+2)(+3)n+2n+3)Ien+
7、2224w33+1312所以，当GN时，-Snan+i-.211+2n+l2rt+2n+3解析.=,bn=：_4=-=-：-Ti1=-；-：,w,I.Sfj2，3，nn,n2+_32+_32_32_3.N2+1-30,.h=：X：O,/.SS.=h.=12f24,S,=Z,+=12+-15,21225.12S15.)n1711 .已知数列a”=.?,设G=一,求证：c1c2+cnn1解：思路：C=-,无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：0,片=1+飞,数列2的前项和为7；,证明：Tnn+.,2【详解】Sn=心则ST=S+I)?,=171=F则“里卢, n2 +2/? + 3
8、.D -1 =W + 1(zi + 1)2( + 1)yn2+2n+3-(+1)-1=(+1)y(n+1)+2+(z+11117(+1)2n+1Tn=hi+h2+-+bnn+-/?+1+lS放缩成等比数列13 .(2014全国2卷)已知为=1,证明：-+-.1211解析：-=ft,因为当附3T2b,所以fihF1111于是一+ a a2 %11 1-+ r+ H-=3,31 2 33m,1-上=-i3ULx 1.2 3”2所以1111./a2%an2注：此处3-l23-便是利用了重要的恒等式：次方差公式:231当然，利用糖水不等式亦可放缩：=i-,请读者自行尝试.3-133n13n+1 +31
9、4.已知%=Ft211111证明：-+-+7%a2%3【详解】121212=X=33+l333+,所以 L+_L+，+2 2 2=-1：,L2an4x3“3“3”3n,J(an-2)%3一433一3(23n-2)2(3-I)2(3-l)(3-3)(3-1)(3T-I)1 z11、=(一)2 3T-13o-所以4+4+4+g(-)+;(七-/)+.+T(F=Im)TT忌XL16.记q=3-1,证明：一+,+O,33-13n(3-l)3rt(3n-l)【分析】当=1时，验证所证不等式成立，当2时，由放缩法可得出A，7，再结合等比数列求和公式可证得原不等式成立，综合可得出结论.【详解】解：由a=凡一
10、1=4”一1,所以，=44-1=34w,+4,l-134n,134,当=1时,当 2时,1F4A h21 111 114 424m, ) 3I-14494 .9综上所述,11 I 4对任意的eV, +18.已知数列an= 3z, hn = 2T ,求证:对任意的N且 2,有+ +a2-b2。3一。一解：证明：7还Ta,bn3-23“1319.已知=3-2,求证：对任意的eN,-./=1幺UW1=_L_1故式LLLL4l.-L=141n=2i-(lr2lhrj3“-2”3故也4b24332尸112l(3n2r3S13所以2n+-Jn+1因 4n + yn + 1 Jn - 1 + 1yn + I
11、 - yn - 1yn I + yn + 11+ 1 yn 1 jyn + yn - 2则Er瓦+标右+标旃+00-c511y/n+2G-Jn+2Gfn+Nn+1w+J+2+yn+2)(J、+2AAr)21111，UEr耳kE+标旃ioof2 3+4 5+699-Ib18【详解】当2eN时，由a：=2qfS“-l=(S”-SI)2=2(S.-SJS“-1=S：-SL=1,所以数列S：是等差数列；(2)S；=2S|SInSj=I,由可知数列S：是等差数列，且公差为1,所以S：=l+(-l)l=，又因为数列血是正项数列，1.lI22所以SLaF忑F不Eoo2(2-l)+2(3-2)+2(iT-iO
12、)=2(iT-l)2(iO-l)=18.22 .已知数列氏二6-1的前项和S”，设数列低的前项和7；,且满足“=2ZTn-y3n+2解:S=3+2”,b=JV3+2?3T223 .(2021浙江卷)已知数列4满足q=1，。川=告(WN).记数列%的前项和为s“，则()1十V”399A.5S003B.3S004C.4S100-D.5,005解析：由4+1、21 + 211即-=|.另一方面&h二，由累乘法可得q, 2q, + 35 + l)S + 2)当且仅当 =1时取等号，由裂项求和法得：所以SH)O 6Illlll11+ -+ , + 2 3 3 4 4 5101 1022 1023 ,即m
13、*oon - 1 .b、+%+4+bfl,.1+2(/-+y/32+.yny/n-1)=2fi-1.从而得证.1111c厂，25.已知数列4满足=1且”&=，求证：+.2yn.00I030n1jf【解析】数列满足4=1且，所以当.2时，-1=-l,故丁二川一，T,所以!+；+；+.+!=1+他-4)+(64-62)+.+(6+1-l)bb2Abn=-+ZL.2w126.已知4=6,若s=。2”-1，数列C，的前项和为北，证明：2111-,7L2w-lIAJ【解析】c=-,=2w-l,则J=&：_.先证7；4。21：当=1时，%=1,方=1,满足当 2时,1_22cnJ2-1j2n-+yfn-戊
14、-1+-3所以an.-1：因为一=I=zIll*2412w-1cn2w-12w-l+V2n1J2+1+2-1所以(石-1)+(石-VJj+-+(J2+1-，2-1)=2n+-1=a2n+l-1.故不等式r+-lM%1成立.27.己知S hi 252证明：S(ij7bl 2 c 25【解析】当 =1时，近二了 =百可=22i)2=(4-1)2 =9* 所以(伪_1)2+(4 二1J =2 + j = g.7222T当 3 时，(2-l)2 (2n-l)(2n-2) - (2rt-l)(2w-,-l) 2,l-1 - 2-1 S U h b-, b3bn所以S(-l)(-l)2 + (-l)2+(
15、-l)2+, ,+(-l)2221125125= +- - I= IJ2+L利用假分数的一个性质-jb0,m0)可得aa+m=(-)22w+1Hp(1+1)(1+-)(1+-)(1+)2+l.1352w-l352n-放缩后错位相减求和2024届广州仲元中学校考22(mN*)30 .已知q是公差为2的等差数列，其前8项和为642是公比大于O的等比数列，4=4,-b2=48.求和也,的通项公式：(2)记%=%“+1，eN.,证明：WDn【答案】=2-1,bn=4（2）证明见解析【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质求解,（2）由放缩法与错位相减法求和证明.8x7【详解】（I）对于等差数列/,S8
16、=81+-0,解得g=4,故”=4I+卜则厝曰(2k 1)(2 +1)44i +24i +(44i得 S = 2-r7r272,故Sj逐1is2原式得证.c12nKIIlOl2n令S=+齐+6,则,s=n+w+yr?，2+1，两式相减得Ls=L+_二=122222,Z+,7数列恒成立问题31 .已知等差数列q的前项和记为S.（wN）,满足%2+243=S5+6,数列S.为单调递减数列，求4的取值范围.【答案】（-,2）【分析】设等差数列%的公差为d,由已知可得d=-2,求得S”，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围：【详解】设等差数列凡的公差为d,由于3%+2%=S5+6,所以3（。+d）+
17、2（q+2d）=5q+IOd+6,解得d=-2,所以Sn=HaI+，；d=-n2+（4+1），若数列s.为单调递减数列，则S,向-SzIVo对于N恒成立，所以S“+1SfJ=-(+1)+(q+1)(+1)-一*+(q+1)”=4-20在wN，上恒成立，则/2，所以q(2)min,又数列2为递增数列，所以(2),皿=2x1=2,即q2,故q的取值范围为(-,2)32 .已知数列6满足：4=1,2%+=%.设”=(-3-2)q,若对于任意的eN,4恒成立，则实数2的取值范围为【答案】g,+【分析】由q=l,2%=%可得%=击，进而得到“J；1,结合一=一当=1,分1“5和26分类讨论，确定数列4的
18、单调性，求出最大值，进而得解.【详解】由数列%满足=1、2,=”得：唱是首项为1,公比为g的等比数列，.C.,W2-3n-2 二广，=，.,(w+1)2-3(w+1)-22-3w-2。-5) +-=7，当1“5时，+1-0,+1,当且仅当=5时取等号，=,当6时，h,.,.+n5,+8)上单调递增，12当=3或=4时，(n+)mjn=7n所以；l734.数列qr满足4+2%+226+1+若对任意;10,所有的正整数都有2-k+2anJStALf则实数A的取值范围是.【答案】(to,应)【分析】先由题设求得见,然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意义0,所有的正整数都有万一8+2“成立转化为
19、攵0恒成立，再利用基本不等式求得4+-的最小值，即可得22到答案.【详解】由q+2%+2?%+L+2w,n=(w+l)w(w-l),当2时，q+2%+2%+L+2=弓(一1)(一2),两式相减可得：2“。”=(w+1)w(w-1)-w(w-1)(w-2)=(-1),*an=TI),由=，显然成立，工(+1)w2w-Zn2+In-/+3段wan-y声-=2=2，；当00,当之4时，an+i-anO,因此，00,所有的正整数都有;l2-+2/成立，可得万-Za+2,因此，k2+-t即0恒成立，22由8+-2J2L=6,当且仅当；1=二，即丸=&时取最小值，则4o,-b3=-0,且%-2=h*10对
20、于任意3恒成立，所以a4a，即(浮&)m=h=?,所以实数4的取值范围是36 .设S“是数列%的前项和，S.=/-3、若不等式见生尹对任意N,恒成立，则上的最小2yk值为()A.B.C.-D.36936【答案】D【分析】利用q=【：”：得到q=18,勺3%=4x3,变形后得到黑是等差数列，首项为%一，1，223J6,公差为4,从而求出%=(4+2)-3,故代入谷二整理得2次5,利用作差法得到单调递减,Tk33最小值为:，列出不等式求出答案.3【详解】当=I时，al=Sl=-al-321解得：=18,当2时，A=SjSI=|勺-AJTQ+3，整理得见3=43,方程两边同除以3,得条-得=4,又多
21、=6,故导是等差数列，首项为6,公差为4,所以争=6+4（-1）=4+2故见=(4+2)3,经验证，满足要求,“In2+n,l（7c”2n2+n所以q,J=为（4+2）3T=-(q-l)2恒成立，则实数2的取值范围【分析】先利用等差数列通项公式求解,再利用数列的单调性求解数列=(N(2n-l)2n2的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.【详解】由2见+=q+%+2()可知数列勺是等差数列，设其公差为d,解方程2-18x+65=0得x=5或x=13,又%,13-5.a3=5,07=13,.a7-ay=4d,:.d=-=2,an=5+2(/-3)=2w-l.由2%“(4_丸)(与_1)2得2(2
22、l)(4-4)(22)2,.4人(-1)2殁6;(if,v22(2-1),(2w-l)2n2,(I)?_2/+5/_27n+,(2w+1)2-(2w-l)2rt-2(4w2-1)2,，由(42一1).2“70对于任意1o解得g,即/()在,g上单调递增，令/()g,即/()在g上单调递减，/0)=1,/(2)=2,/(3)=-11,当3,/(x)(3)0,+-0,.bib2b3t/、fv2+5。2八当3,Ww，即/+线成立的的最小值.【答案】5.bn-4n1-2w解=L42则(=T+(-3)x3+(-5)x/+CjT11/-13-2h-2n则/=-1-+(-3)-7+.+-r+,2_j_-IT
23、,/c/111lx1-2/?,/八221-2_1-2n两式相减得：-t=-l+(-2)(-+-+r)一一=-l+(-2)2-=-，/，_3B，/2于是得7-6+壶-景.由北一+得：0,令c”=2Z-2-5，eN,显然，c1=-6,c2=-lfc3=-7,c4=-Sfc5=1,由。川一，=(2一2-7)-(22-2-5)=21-20,解得2,即数列%在N3时是递增的，于是得当21-2-50时，即SC5=lO,5,则mm=5,所以不等式7；-当+笠U成立的的最小值是539.已知数列%中，q=l,满足qj.=2%+2-1(WN)(1)求数列4的通项公式；(2)设S”为数列%的前项和，若不等式22+S
24、+40对任意正整数恒成立，求实数2的取值范围.解析：(1)%+2(+l)+l=2(az,+2w+l),所以。.+2+1是以+2乂1+1=4为首项，公比为2的等比数列，所以q+2+1=4X2rt,=2n+1,所以a“=2w+,-2-1.(2)5=l+a2+az=(22-3)+(23-5)+2n+l-(2w+l)=(22+23+2/A(3+5+7+2+1)=1H1(3+2+1)=2“+2/4,若t2+S,r+40对于TZZWN.恒成立，即2+2n2-2-2-4+40,可得/IN/+2”-2”即l七且-4对于任意正整数恒成立，2w“t./+2.I.tn(n+2)ij,3-n2所以,4,令a=4,则“+-=f,_Jmax所以ab3b4,可得)3、=8=2；：X2-4=_2,所以2-2,所以4的取值范围为12111222rl0-j34111417.己知%=,数列=勺-1,证明：r+-+-.n伪劣9
