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1、专题4.1对数运算【考点1：对数的概念判断与求值】1【考点2：指数式与对数式的互化】3【考点3：对数的运算性质】5【考点4：换底公式及其应用】10【考点1：对数的概念判断与求值】【知识点：对数的概念】如果=Me0,且。Wl),那么数X叫做以为底N的对数，记作x=k)g0,且l),那么数X叫做以。为底N的对数，记作=,其中叫做对数的,N叫做.(2)对数的基本性质当Q0,且Q1时,ax=N.负数和。没有对数.特殊值：1的对数是,KPlogaI=(Q0,且Q1)；底数的对数是1,即Iogaa=1(a0,且a1).(3)常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以为底的对数叫做常用对数自然对数以无理数e=
2、2.71828为底的对数称为自然对数【答案】logaV底数真数X=logaVOO10IgIn【解析】略2. (2021江苏省江阴市第一中学高一期中)使式子kg(3)(3-%)有意义的的取值范围是()112A.%3B.%3C.-%0【详解】由题意得：3%-1工1,解得：不0故选：D3. (2022江苏省南通中学高一阶段练习)已知对数式logg+)E有意义，则。的取值范围为()A.(-1,4)B.(-1,0)U(0,4)C.(-4,0)U(0,1)D.(-4,1)【答案】B【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得.r+10【详解】由k)g(+)f有意义可知IatI1,解得一1。o4所以a的取值范围
3、为(一1,0)U(0,4).故选：B4. (2023全国高三专题练习)已知函数0)=f岁则川G)的值为()ATTc3D.遮【答案】C【分析】根据题中函数表达式代入求解即可.【详解】因为fG)=k)g2：=_l,所以fG)=一D=3TT)=3.故选：C5.(2022天津市红桥区教师发展中心高一期末)有以下四个结论：(T)Ig(IglO)=0：(2)ln(lge)=0；(3)若10=lgx,WJx=10；若e=lnx,则x=e2,其中正确的是()A.B.C.D.【答案】A【分析】根据对数的定义即可求得答案.【详解】由对数定义可知，IgQglO)=Igl=O,正确；In(Ine)=Inl=0,正确;
4、Inx X = ee,错误.对，10=Igx=x=IO10,错误；对,故选：A.6. (2022重庆巫山县官渡中学高二阶段练习)(多选)下列说法正确的有()A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可以化成对数式C.以10为底的对数叫做常用对数D.以e为底的对数叫做自然对数【答案】ACD【分析】根据对数的定义即可判断答案.【详解】由对数的定义可知ACD正确；对B,当0且l时，=N才能化为对数式.故选：ACD.7. (2021全国高一课时练习)若log(+k)(l-k)有意义，则实数攵的取值范围是【答案】(TQ)U(OJ)【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.(1+k0【详解】若Iog(I+
5、幻(1一口有意义，则渤足l+kl,解得k(一1,0)U(0,1).(l-c0故答案为：(-l,0)u(0,l)8. (2021全国高一课前预习)求下列各式的值：(l)Iog525;(2)】喻强【答案】(1)2；(2)4.【分析】根据对数的定义及指对数式的互化即可求得答案.(I)Sx=logs25,则5*=25=5x=52=X=2,即logs25=2.(2)设X=Iog2,贝J2=2x=24=X=-4,Bplog2=4.【考点2：指数式与对数式的互化】【知识点：指数式与对数式的互化】1、=NQx=IogJV;2IogaI=O,IOga4=1,QSgaN=N1. (2022贵州黔西南州金成实验学校
6、高三阶段练习)方程4,2】-3=0的解是.【答案】x=log23【分析】将原方程化为(2,3)(2+1)=0,即可得解.【详解】原方程即为(2X)2-2x2*-3=0,BP(2x-3)(2x+1)=0,.,2x0,所以，2x=3,解得X=IOg23.故答案为：X=Iog23.2. (2022浙江丽水高三竞赛)函数f(%)满足f(2X)=%2-2%+2-i,若f(5)=l,则实数的值为.【答案】log25【分析】结合已知条件求出f(x)的解析式，然后利用f(5)=-l即可求出a.【详解】令t=20,则X=Iog2亡，由f(2%)=-2x+2-i=(%-)2/得，f(t)=(log2t-a)2-l
7、,即f(%)=(log2%-)2-1,x0,从而f(5)=(log25-)2-l=-l=log25,故实数的值为log25.故答案为：log25.3. (2022全国高一课时练习)(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是()A.IO0=1与Igl=0B.log39=2与95=3C.27=j-log27=-D.Iogs5=1与51=5【答案】ACD【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化.【详解】对于选项A,指数式100=1化为对数式为Igl=0,故A正确；对于选项B,指数式雄=3化为对数式为logg3=点故B错误；对于选项C,指数式271=批为对数式为叫271=*故C正确；对于选项D,指
8、数式51=5化为对数式为10855=1，故D正确.故选：ACD.4. (2022浙江高三开学考试)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：=(1-0)e-kt0,其中t为时间(单位：min),为环境温度，%为物体初始温度，。为冷却后温度.假设在室内温度为20。C的情况下,一杯饮料由100C降低到60。C需要20min,则此饮料从60。C降低到40。C需要（）A.IOminB.20minC.40minD.30min【答案】B【分析】根据已知条件，将已知数据代入即可求解=詈，进而将稣=20,1=60,0=40,k=詈代入解析式中即可求解时间.【详解】由题意可得，0=20,1=100,=60,t=2
9、0代入。=（%-0y）e-kt+0,80e-20+20=60,解得e-20k=1,故-2Ok=-ln2解得A=黑故当=20,1=60,=40,k=詈时，将其代入6=Sl-0）e-kt+。得40e，20=40,解得t=20,故选：B5. （2021甘肃高台县第一中学高一期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上定义为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了lmgmL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过个小时才能驾驶.（结
10、果保留整数，参考数据IogO.70.2*4.51）【答案】5【分析】由题意可得y=100X0.7,指对数互化结合题中题意求解.【详解】设X个小时后IOomI血液中酒精含量为ymg,My=100（l-30%）x,BPy=100X0.7x,当y=1000.7xlog0,70,24.51,所以该驾驶员至少经过5个小时才能驾驶.故答案为：5.【考点3：对数的运算性质】【知识点：对数的运算性质】运算法则IOga(MM=IogaM+IogJV0,且。Wl,M0,NX)M1。&讨=logM-1OgaNlogtlM,=川R)重要推论log,b三=logsbi(2)log-10,推广IogabAQgbcAogc
11、d-logf.1. (2017湖南武冈市教育科学研究所高二学业考试)求值(Ig5)2+lg2lg25+(lg2)2=.【答案】1【分析】利用对数的运算性质求解即可.【详解】原式=(Ig5)2+21g21g5+(Ig2)2=(Ig5+lg2)2=(IglO)2=1.故答案为：12. (2022北京杨镇第一中学高三阶段练习)2,o-()1+lg1+(2-l)ln1=.【答案】今亨44【分析】结合指数幕、对数运算法则化简求值22【详解】原式=2og220,且=l,下列说法不正确的是()A.若M=N,则IOgaM=IOgaNB.若IogaM=logV,则M=NC.若IogQM2=IogaN?,则M=N
12、D.若M=N,则IOgaM?=log。*【答案】ACD【分析】AD可举出反例；C选项可推导出M=N或M=-N；B选项，根据y=IogM单调可得到M=N.【详解】若M=N0,则IogaM,1OgaN无意义，A错误；因为IOgaM=IogaN,且y=IogN为单调函数，所以M=N,B正确；因为IOgaM2=IOgaN2,则m2=N2,所以M=N或M=-N,C错误；若M=N=O,则IOgaM2,1OgaN2无意义,D错误.故选：ACD5. (2021江苏省灌南高级中学高一期中)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y=Ig(10+10,x,yR.对于任意实数,b,c,给出如下结论，正确的是()A.a
13、*b=b*aB.(*c=a*(*c)C.(*b)+c=a*c+b*cD.(*b)+c=(c)*+c)【答案】ABD【分析】首先根据题中所给的条件，利用新定义运算法则，分别求相应的量，逐个验证是否正确，从而选出正确的结果.【详解】根据运算法则，*b=lg(10+10fc),b*=lg(10i,+10)z所以Q*b=b*a,故A正确；Rl(a*)*c=lg(10a+10b+10c),a*(?*c)=lg(10a10fe+10c),所以(a%)*c=a*(b*c),故B正确;(a*b)+c=lg(10a+10d)+cza*c+b*C=Ig(IOa+10”+Ig(Iob+10C)=Ig(IOa+1Ob
14、)(IOb+10。)，所以(a*b)+ca*c+b*c,故C错误；(a+c)*(+c)=lg(10a+c10d+c)=lgl0c(10a+10d)=lg(10a+10d)+c,所以(q%)+c=(q+c)*(Zj+c),故D正确；故选：ABD.6. (2020江苏南通一中高一阶段练习)已知2。=3匕=m且工+l,且l0g2G=log,则2。+2的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的性质和运算法则，结合基本不等式直接求解.【详解】因为k）g2三=log/,所以j0g2=log/,即log?。=警9，所以log?。Iogzb=4.因为bl,2IOg2。
15、则Q1,所以IogzQ0,IOg2。0,log2（!?）=log2+log2b271og2Iog2=4,贝Jb16,2a+2b222b=22*222s32,当且仅当Q=b=4时，等号均成立.故选：D.8. （2022江苏泗阳县实验高级中学高三阶段练习）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间（单位：月）的关系为y=出，关于下列说法正确的是（）A.浮萍每月的增长率为3B.浮萍每月增加的面积都相等C.第4个月时，浮萍面积超过80m2D.若浮萍蔓延至iJZn?、4n?、8m?所经过的时间分别是口、以、打，则2二+3【答案】CD【分析】先根据图象，代入点（1,3）,求出函数解析式，进而求出前3个
16、月的浮萍面积，判断出AB选项,计算出第4个月的浮萍面积，判断出C正确；解出tl=log32,t2=log3443=log38，从而得至J2t2=+t3,D正确.【详解】由图可知，函数过点（1,3）,将其代入解析式，=3,故y=3,A选项，取前3个月的浮萍面积，分别为3m2,9m2,27m2,故增长率逐月增大，A错误；从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B错误；第4个月的浮萍面积为81m2,超过了80n,C正确；令3巧=2,3t2=4,3t3=8,解得：（1=Iog32ft2=log34,t3=Iog38,h+t3=log32+log38=log3l6=2iog34=2t2,D正确.
17、故选：CD9. （2022安徽高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah）,放电时间t（单位：h）与放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式C=n3其中z=Iog32为PeUkert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流/=1OA时，放电时间t=56h,则当放电2电流/=15A时，放电时间为（）A.28hB.28
18、.5hC.29hD.29.5h【答案】A【分析】根据题意求出蓄电池的容量G再把/=15A代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.IogjZ0g32【详解】/=15 时,由C=/23得/=10时，t=56,即10256=C;log320g32log32C=I52；.102-56=152t=吗2-56=吗256=2156=jX56=28.故选：A.10. （2022全国高一单元测试）计算(l)log327+lg25+lg4+7lo2+(-9.8)0 Ig8+lgl25 zUgigo.1-log23x4.【答案】协（2）8【分析】(1)根据对数的运算性质求解，(2)根据对数的运算性质和换底公式求解.
19、(1)log327+Ig25+lg4+7,oS72+(-9.8)03_9=log332+lg52+lg22+2+l=+2+2+l=y;(2)原式=蟠-log23X阴=6-2=-8.*脸311.(2021湖北嚷阳五中高一期中)(1)fi(23)6+98+lg500-lg.5;(2)设2*=3=72,求三+三的值.Xy【答案】(1)87；(2)1.【分析】(1)利用分数指数哥的运算性质和对数的运算性质求解即可，(2)依题意有=log272,y=log372,然后代入三+2中利用对数的运算性质求解即可.Xy【详解】(1)(2V5)6+9283+lg500-lg.5=2332+34+Ig翳=72+12
20、+3=87,(2)依题意有=log272,y=log372,-=log722,-=Iog723,Xty所以三+2=31og722+21og723=Iog72(89)=1.*y【考点4：换底公式及其应用】【知识点：换底公式】IOgab=且Wl,c0,且cl,0)：1. (2022江西修水中等专业学校高三阶段练习)log54log227log925=.【答案】6【分析】通过换底公式简化对数，然后进行计算.(Wllog三4=g=f.10g227=f三,10g,2Syf三,1,L21g231g321g5log54.1og227log925=.=6故答案为：62. (2022重庆巴蜀中学高三开学考试)化
21、简(丁-嗨5log58=.【答案】1【分析】根据指数第的运算以及对数的运算，即可求得答案.J2【详解】n1喻5log58=(23)3-31og25log52=4-3X整=4-3=1,故答案为：13. (2022江苏矿大附中高一阶段练习)若实数小Ac满足3。=4,#=5,5c=9,则bc=.【答案】2【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式进行计算.【详解】因为3。=4,4=5,5c=9,所以=log34,b=log45,c=Iog59,故QbC=log34log45Xlog59,由换底公式可得：QbC=log34X譬当普W=log39=2.Iog34*g35故答案为：24. (2022湖南
22、益阳高二阶段练习)已知0,0,皿鬻&+?oge(9+6b+1)=log4729,则+2b的最小值为.【答案】【分析】利用换底公式和对数计算公式进行化简，得到(2+l)(3b+1)=27,然后用基本不等式求最小值即可.【详解】原式化简log2(2+1)Iog2(3b+1)=log227=Iog2(2+l)(3b+1)=log227,0(2+l)(3b+l)=27,+26=；(2a+1)+(3b+1)2(2+l)(3b+1)=227-=,236yJ36yj366当且仅当Q=去8=：时取=号.故答案为：.5. (2022福建高三阶段练习)已知=log23,3b=5,则log615=().a+abCa
23、-a+abCaA.B.C.D.+l+lab+1ab+1【答案】A【分析】利用换底公式用a,b表示lg2,lg3,然后将log615换底可求得答案.【详解】解：由题意得：因为Q=IOg23=备b=log35=署=署lK*l5olKa1t研Inf7?1lQ-a11n1酎Ml_Ig3+lg5_Ig3lg2+1_b+l_+b力入g2-b+l,gb+l,人J6一lg6Ig3+Ig2Ig3+lg2+l*ab+1ab+1故选：A6. （2022山东临沂二十四中高一阶段练习）1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士
24、数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若5彳=2,lg20.3010,则%的值约为（）A.0.431B.0.430C.0.429D.2.322【答案】A【分析】由指对互化原则可知x=k）g52,结合换底公式和对数运算性质计算即可.【详解】由炉=2得：X=log52=g=I三431.故选：A.7. （2022河南高三阶段练习（文）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收增广贤文是勉励人们专心学习的.如果每天的进步”率都是1%,那么一年后是（1+I%）365=1.01365；如果每天的“退步率都是1%,那么一年后是（1一I%）365=0.99365,
25、一年后“进步”的是“退步”的鬻I=（三）3651481倍.如果每天的“进步率和“退步”率都是20%,那么“进步的是“退步的IoOO倍需要经过的时间大约是（参考数据：Ig20.3010,Ig30.4771）（）A.15天B.17天C.19天D.21天【答案】B【分析】设大约用X天，根据题意得到篇=（看）”=1000,利用对数运算求解.【详解】解：设大约用X天，“进步的是退步的IooO倍，由题意得推=偌）=1000,即（Jt=1000,所以=IogslOOO=糖17,62Ig3-lg20.4771-0.3010故选：B8. （2022山东乳山市银滩高级中学高三阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有
26、代表性的实现方法，G它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=LOD而，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，Lo表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，GO表示衰减速度.己知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为05,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg2=0.3010）A.72B.74C.76D.78【答案】B【分析】根据已知条件列方程，可得D=K再由0.5x（5V0.2,结合指对数关系和对数函数的性质求解即可.【详解】由于JL=Lo。而，所以L=O.5X。词，184依题意0.4=0.5X则D=,则L=0.5Q）,由L=O.5x（步V0.2,所以，即G181og=,gsg2）=i8（-丁联）-73.9,6S5Ig5-2lg2l-3lg2所以所需的训练迭代轮数至少为74次.故选：B
