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1、“指数函数与对数函数”图像集及其运用双曲函数与反双曲函数应用上常遇到以e为底的指数函数J=e和.v=e所产生的双曲函数以及它们的反函数反双曲函数.它们的定义如下：双曲正弦sh.r=ex,双曲余弦ch.r=C:,双曲正切IhI=半上=匚一J.ChXe+e这三个双曲函数的简单性态如下：双曲正弦的定义域为（-8.+8）;它是奇函数，它的图形通过原点且关于原点对称.在区间（-8.+8）内它是单调增加的.当/的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于曲线y=e;在第三象限内接近于曲线y=-ye（图1-17）.双曲余弦的定义城为（-8,+8）;它是偶函数，它的图形通过点（0,1）且关于轴对称.在区间（-8
2、,0）内它是单调减少的；在区间（0,+8）内它是单调增加的.ch0=1是这函数的敢小值.当工的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于曲线y=/e在第二象限内接近于曲线IY=不（BJ1-17）./双曲正切的定义域为（-8.+8）;它是奇函-7K数，它的图形通过原点且关于原点对称.在区间）XZZ（-8,+8）内它是单调增加的.它的图形夹在水平f直线Iy=I及丁=-1之间；且当X的绝对值很大时，I它的图形在第一象限内接近于直或.V=I,而在第三图1-18象限内接近于直线；V=-I（图1-18）.根据双曲函数的定义，可证下列四个公式:sh(1+y)=sh.rch3+ch.shy;(1)sh(X-5)
3、=shachj-ch.rshv;(2)ch(x+ty)=chch.v+shushy;(3)ch(x-y)=chxch3-shashy.(4)我们来证明公式(1),其他三个公式读者可自行证明.由定义，得e-ee+ever+exey-esha*chy+chashy=,B+,y-e-+一e44=sh(2+y).由以上几个公式可以导出其他一些公式，例如：在公式（4）中令K=门并注意到ChO=I,得ch2X-sh2=l;（5）在公式（D中令r=y,得Sh2x=2sh.rchx;（6）在公式（3）中令r=y,得Ch2=ch2X+sh2x.（7）以上关于双曲函数的公式（1）至（7）与三角函数的有关公式相类似
4、，把它们对比一下可稀助记忆.双曲函数3=sh,y=chx（x0）,y=thx的反函数依次记为反双曲正弦y=arsh/,反双曲余弦V=archar,y=arthx.这些薮嬴工都可通过自然对数函数来表示，分别讨论如下：先讨论双曲正弦Iy=Sh的反函数.由E=ShV,有-eV/2-令=e，则由上式有u2-2xu-1=0.这是关于的一个二次方程，它的根为=JFX2+1.因=/0,故上式根号前应取正号,于是“=r+JX2+1.由于Y=In“，故得反双曲正弦yarshx=In(x+2+1).函数y=arshj的定义域为(-8,+8).它是奇函数，在区间(-8,+8)内为单调增加.由y=sh1的图形，根据反
5、函数的作图法,可得y=arsh的图形如图1-19所示.下面讨论双曲余弦y=chIDO)的反函数,由N=Ch.y(y0),有由此得e=Hx-T.故Jr=ln(xx2-1).上式中父的值必须满足条件l,而其中平方根前的符号由干y0应取正.故V=ln(x+VX21).上述双曲余弦y=ch/(20)的反函数称为反双曲余弦的主值，记作3=archJT,即y-archx-ln(a+x21).这样规定的函数y=arch”的定义域为1,+8),它在区间1,+8)上是单调增加的(图1-20).类似地可得反双曲正切.1I1+/y=arthx=-y!n.这函数的定义域为开区间(一1,1),它在开区间(-1,1)内是
6、单调增加的奇函数.它的图形关干原点对称(图【运用案例】(2022泰州高一期末)双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数最基本的双曲函数是双曲正弦函数ShX=C士和双曲余弦函数ChX=巴:，其中e是自然对数的底数.则下列22结论正确的是().A.ch2x=ch2xsh2xB.sh2x=ch2x-sh2xC.sh(x+)=shxchy+chxshyD.ch(x+)=chxchy+shxshy(2021常州高一期末)已知函数/(x)=3+3：函数g(x)=(2x)-时(X)+6.(1)填空：函数/的增区间为;(2)若命题rR,g(x)0为真命题，求实数机的取值范围；(3)是否存在实数团,使函数MX)
7、=IogSL3)g(x)在。，1上的最大值为0?如果存如果存在,求出实数用所有的值.如果不存在，说明理由.【考点】函数的单调性、存在性问题求参数的取值范围、函数最值的综合应用【解析】(I)F(X)的增区间为0,+8).(写开区间亦可)2分(2)由题意g(x)=3?x+3-_m(3+3-*)+6=(3+3)2-3a+3a)+4,令=3*+3TN2lJ3=2,当且仅当戈=0时取“二”产+4FxR,g(x)O为真命题可转化为“于2,m丁一”为真命题，4分当且仅当，=2时取“二”，所以=4,Zmin所以m4.6分(3)由(1)可知，当x,l时，Z=3v+32,y,记e(f)=d-皿+4,若函数MX)=
8、Iog(T)g(x)在0,1上的最大值为0,则当01即机4时，在2,y上的最大值为1,且仪。0恒成立，因为的图象是开口向上的抛物线，在2,y上的最大值只可能为(2)或若9=1,则m=：4,此时对称轴r=-,V3；3060|_23由9(人。(9=4一?0恒成立，由仪2)0,可得z4,可以避免讨论，同样得分.Ira”防数数.打数崎.(2022无锡高一期末)已知函数/()=V*(,bwR).2x+a(1)若。=4,b=8,解关于X的不等式/(；(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数.当(-oo,0时，求/(x)的值域；若f(fnx2)(1-rnx)/(0)对任意xR成立，求用的取值范围.21.(1)
9、fl三-4.8时，由可得差三!),得=7于解得4f12,即4212,所以x2xgj2卜.4分(2)因为/3为R上的奇函效JJrW/(0)-0-即230副“-I所以/()三7,根据/(X)为R上的奇函数可得/(-X).幻=0，6分*以玛+皓即煮标尸对任叱R恒成Z所以=l/(x)1-2*T*令=2】(X(0).则lvW2所以原函数的值域转化为的值域，又因为在。，2上单调递增，所以/()的值域为(“卜2/(x)=l-5W役任意XpX2WR,且不XWU2)-()*(1-7)(!-?-)2(2-2,02)+l、2、.P(2r-iX2l+l)所以/(x)在R上单调递增又因为f(mx2)+/(】一血)/(0
10、)对任意JrWR成立，且/(x)为R上的奇函数，所以/(m)(ml)对任意XWR成立，所以m-皿+10对任意XWR成立.当M=O时，满足题意；(m0,当明工。时，(2;C解得OVm4,=w-4mOt球上所述,0三4互动探讨，关键点拨规律总结，学以致用互动探讨：我们要的不仅是答案，而是形成答案的思维过程。关催点拨：哪里是老师一点拨，你就恍然大悟的地方？规律总结：题目一旦被解决，就会被人发现其套路。学以致用：题目变了，你还能敏锐地发现其本质，化归为研究过的题。刘蒋巍数学课堂理念详解版互动探讨：知识是在互动探讨中习得的。你要的不仅是听，你要去思考，去表达，去和刘老师一起探讨。我们要的不仅是答案，而是
11、形成答案的思维过程。理解每一步，理解为什么这么去做。探讨你的不同做法。探讨方法的可行性。思维在探讨中升级。认知在探讨中迭代。关键点拨：任何事的完成都有关键点。任何题目的解决都有关键点。这类题目解决的关键点是什么？哪里是老师一点拨，你就恍然大悟的地方？这个地方就是解题关键点。研究关键点，你将一眼看到题目的破绽，提高解题效率。规律总结：题目一旦被解决，就会被人发现其套路。经典题，都有解题套路。这个套路就是规律。所以，我们做完一道题，不要忙着去做下一题。题海无边，如果不去总结规律，当你做到类似题时，它认识你，你不认识它，这是多么尴尬的事！如果我们及时总结规律，形成解题步骤。你会发现，海量的题目突然归结成一类一类的题型。你把握这些题型的解题规律，你就具备了解题高手的能力。学以致用：怎样检验你学会了，而不只是听懂了？那就是你自己会做类似题，会做变式题。题目变了，你还能敏锐地发现其本质，化归为研究过的题。找到这份“似曾相识，找到这份亲切感。你就找到了数学解题的乐趣，找到了独立解答出难题”的成就感！
