《北师大新版九年级上学期《2.5+一元二次方程的根与系数的关系》2018年同步练习卷.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大新版九年级上学期《2.5+一元二次方程的根与系数的关系》2018年同步练习卷.docx（21页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、北师大新版九年级上学期2.5一元二次方程的根与系数的关系2018年同步练习卷一 .解答题(共17小题)1 .已知关于X的一元二次方程：X2-(2A:+l)x+4(/:-)=0.2(1)求证：这个方程总有两个实数根；(2)若等腰AABC的一边长。=4,另两边长、C恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长.2 .已知关于4的方程X2-(22+1)%+4/一；)=0(1)求证：这个方程总有两个实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长=4,另两边h,C恰好是这个方程的两个实数根，求A8C的面积.3 .已知关于力的方程x2-(%+2)x+2人=0.(1)求证：无论左取何值，方程总有两个实数根；(2)若
2、等腰A3C的一边长为4,另两边长恰好是该方程的两个根，求A8C的周长.4 .已知关于4的方程x2-(2A+l)x+4/一3=0.2(1)求证：无论k为何值时，方程总有两个实数根.(2)若等腰AAC的一边长=4,另两边力、C恰好是这个方程的两个实数根，求A8C的周长.5 .已知关于”的方程2%2-(26+4)X+4/%=0.(1)求证：不论加取何实数，方程总有两个实数根；(2)等腰A8C的一边长人=3,另两边长。，C恰好是此方程的两个根，求A8C的周长.6 .关于工的一元二次方程f-(2%+l)x+4(k-3=0.2(1)求证：这个方程总有两个实数根；(2)若等腰A8C的一边长为=4,另两边长b
3、、C恰好是这个方程的两个实数根，求女的值及A8C的周长.7 .已知关于4的一元二次方程炉+(n-2)x+gm-3=0.(1)求证：无论，取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根.（2）若这个方程的两个实数根不、与满足x1-x2=4,求机的值.28 .已知关于X的方程V（加一2）工一仁二0.4（1）求证：无论加取什么实数，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根玉，满足I/R玉1+2,求加的值及相应的玉,X2.9 .已知关于工的一元二次方程4*+g+1/-4=02（1）求证：不论机为何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）若方程的两个实数根为用和，且满足6x：+叫+gm+2W
4、-8=0,求用的值.10 .关于X的一元二次方程Y一（加一3）x-l=0,（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为玉，x2,且1%I=IX2-2.求机的值及方程的根.11 .关于X的一元二次方程Y一（加一3）%-*=0.（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为玉，x2,且1%I=IX2卜2,求机的值及方程的根.12 .已知关于X的方程/+2x+l-=0（1）求证：方程总有两个实数根.（2）设方程的两个实数根为*、x2,且大2-%；=2,求加的值.13 .已知关于X的方程A-（3A:一DX+2（左一1）=0.（1）求证：无论为何实数，方
5、程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根$、x2,且I3-占卜2,求人的值.14 .己知：关于X的方程收-（3I）x+2伏-I）=O（1）求证：无论2为任何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根,x2,且|%-毛1=2,求2的值.15 .已知：关于X的方程/一（34一I）X+2（A-I）=O.（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根演，X2,且x-X2=2,求攵的值.216 .已知关于X的方程/一（加一2）-=O.（1）求证：无论加为何值，方程总有两个不相等实数根.（2）设方程的两实数根为,x2,且满足（+w）2=UJ-Ix21+2,求利的值.17 .已
6、知：关于X的方程V-2（m+l）x+/-3=0.（1）当机为何值时，方程总有两个实数根？（2）设方程的两实根分别为、x2,当%2+*-%2=78时，求用的值.北师大新版九年级上学期25一元二次方程的根与系数的关系2018年同步练习卷分考答案与试题解析一.解答题(共17小题)1.已知关于X的一元二次方程：x2-(2A:+l)x+4a-i)=0.(1)求证：这个方程总有两个实数根；(2)若等腰AABC的一边长。=4,另两边长、C恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长.【考点】A4：根的判别式；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质【分析】(1)先计算,化简得到=(2攵-3,易得.(),然
7、后根据的意义即可得到结论；(2)利用求根公式计算出方程的两根玉=2%-1,=2,则可设匕=2Z7,c=2,然后讨论：当。、b为腰；当6、C为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长.【解答】(1)证明：Z=(2Z+1)2-4xlx4(Z-g)=4k2-2k+9=(2k-3)2f无论左取什么实数值，(2攵-3)2.0,A.0,二 .无论人取什么实数值，方程总有实数根；解：=2Al(23),2.x,=2k-fX2=2,b,C恰好是这个方程的两个实数根，设6=2左-1,c=2,当、b为腰，则。=b=4,BP2kX=4解得Z=,此时三角形的周长2=4+4+2=10；当力、C为腰时，b=
8、c=2f此时6+c=,故此种情况不存在.综上所述，ABC的周长为10.【点评】本题考查了一元二次方程+版+c=o(w)的根的判别式=b2-4ac:当40,方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当0,方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当0,即2时,将x=4代入方程Y-(A+2)x+2A=0中，得：16-4+2)+2=0,解得：k=4.原方程为x2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,解得：玉=2,x4=4,CaAftC=4+2+4=10.答：ABC的周长为10.【点评】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分=0和4WO两种情
9、况考虑是解题的关键.4.已知关于的方程X2-(2%+I)A:+4供一3=0.2(1)求证：无论上为何值时，方程总有两个实数根.(2)若等腰AAC的一边长=4,另两边b、C恰好是这个方程的两个实数根，求AABC的周长.【考点】A4：根的判别式；AB：根与系数的关系；KH：等腰三角形的性质【分析】(1)先把方程化为一般式：f-(2k+l)x+42=0,要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明.()；(2)先利用因式分解法求出两根：玉=2,x2=2k-.先分类讨论：若=4为底边；若=4为腰，分别确定6,C的值，求出三角形的周长.【解答】(1)证明：方程化为一般形式为：-(2+l)x+4-
10、2=0,=(24+1)2-4(4k-2)=Qk-3)2,而3-3)2.0,.0,所以无论女取任何实数，方程总有两个实数根；(2)解：x2-(24+1)x+4Z-2=0,整理得*-2)口-(2D=0,.Xy=2,x2=2k19当=4为等腰A8C的底边，则有h=c,因为以C恰是这个方程的两根，则2=2AT,解得4=3,则三角形的三边长分别为：2,2,4,22+2=4,这不满足三角形三边的关系，舍去；当=4为等腰MBC的腰，因为6、C恰是这个方程的两根，所以只能2%-1=4,则三角形三边长分别为：2,4,4,此时三角形的周长为2+4+4=10.所以A3C的周长为10.【点评】本题考查了一元二次方程办
11、2+加+。=03工0,a,b,。为常数)根的判别式=b2-4ac.当(),方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当+16m+16-32/w=4n2-16w+16=4(w-2)2.0,.不论，取何实数，方程总有两个实数根；(2)当力=C时，则=(),即伏-2)2=0,:.k=2,方程可化为/一4x+4=0,而。=c=2,.ABC的周长=+h+c=3+2+2=7;若8=3是等腰三角形的一腰长，即。=3时，2x2-(2rn+4)x+4机=O.2(x-2)(Xm)=O，X=2或X=?，另两边、C恰好是这个方程的两个根，.n=b=3r.c=2，.ABC的周长=+b+c=3+3+2=
12、8.综上所述，A8C的周长为7或8.【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式,根据根的判别式判断方程的根的情况是基础,等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍是解题的关键.6.关于的一元二次方程x2-(22+l)x+4(k-1)=0.2(1)求证：这个方程总有两个实数根；(2)若等腰A8C的一边长为=4,另两边长b、C恰好是这个方程的两个实数根，求&的值及A8C的周长.【考点】AA：根的判别式；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质【专题】1：常规题型【分析】(1)先计算,化简得到4=(2Z-3)2,易得.(),然后根据的意义即可得到结论；(2)利用求根公式计算出方程的两根=2
13、A-l,2=2,则可设。=24-1,c=2,然后讨论：当。、b为腰；当力、C为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长.【解答】(1)证明：=(2+1)2-414(A:-)=4k2-2k+9二(2%3)2,无论左取什么实数值，(2%-3)2.O,.O,.无论A取什么实数值，方程总有实数根；解：x=2k+(2k-3)2/.Xy=2k19,2=2,b,C恰好是这个方程的两个实数根，设。=24-1,c=2,当。、为腰，则=h=4,即221=4,解得&=，此时三角形的周长=4+4+2=10；2当方、C为腰时，O=C=2,此时h+c=4,故此种情况不存在.综上所述，A8C的周长为10.【
14、点评】本题考查了一元二次方程以2+b+c=O(wO)的根的判别式=-40c:当40,方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当0,即可得到结果；(2)根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把In-X2I转化成(x1+x2)2-4x1x2,再代入求解即可.【解答】解：(1)=(n-2)2-4(n-3)=(n-3)2+30,.无论/n取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；解得：班=O,m2=6.【点评】本题考查了一元二次方程+。(。(的根的判别式4二从一曲。：当0,方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当(),然后根据判别式的意义即可
15、得到结论；(2)根据根与系数的关系得到+/=加-2,x1.0,再去绝对值得到W=-内+2或-/=X+2,然后分类解方程.2【解答】(1)证明：=(m-2)2-4(-)4=2m2-4m+4=2(n-l)2+2,2(w-1)2.0,2(m-l)2+20,BPO,.无论加取什么实数，这个方程总有两个相异实数根;fn2(2)解：根据题意得+/=相一2,x1X2=O,IX2HXjI+2,.x2=-X1+2或-x2=X1+2,当W+2时，Jfnx1+x2=m-2=2,解得机=4,原方程变形为X22x4=O,解得百=1+逐,x2=1-75；当一式2=%+2时，Tf11x1x2=w2=2,解得根=0,原方程变
16、形为f+2x=0,解得x1=0,x2=-2.【点评】本题考查了一元二次方程2+版+C=O(QWO)的根的判别式=b2-4ac:当(),方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当()即可；(2)根据方程的两个实数根为XI和w，写出两根之和和两根之积，再把等式6尺+%+3m+24-8=0进行化简，即可得到关于用的一元二次方程，解得小.【解答】(1)证明：一元二次方程为4x2+比+,m一4=0,2.=TW2-+64=(w-4)2+480,二.不论机为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)解：方程的两个实数根为M和，1,m-4m2.1+/=_：,X1X2=-一446x；+tnxx
17、+.(x1+x2)2-2xix2=2，.nr-4z=0,解得ZW=O或4.【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式的知识点，熟练掌握若xlW是方程V+px+夕=0的两根时，xy+x2=-px1x2=q,方程总有两个实数根，则一元二次方程根的判别式恒成立.10.关于X的一元二次方程V一(加一3)x-l=0,(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实数根为,x2,且1%I=IX2-2.求机的值及方程的根.【考点】A4：根的判别式；AB：根与系数的关系【分析】(1)只要证明40即可.(2)把条件Ixl=I2|-2转化为+x2与X/2的形式即可.【解答】(1)
18、证明：=(W-3)2+40,方程总有两个不相等的实数根.(2) x1=x21-2-JXll-IX2I=-2/.xj2-21xlx21+考=4/.(x1+x2)2-2x1x2=6xi+x2=rn-3,xlx2=-1,/.(m-3)2=4,.,.-3=2,m=5或1当m=5时，方程为：-2x-l=0,解得X=1应，当m=1时，方程为：X x1 x2= 一此,0 , X1 + x2 = m-3 , a.,.xi与异号或其中一个为0, 又 IXIl=I W I-2 ,即 IMl-IX21= -2 ,+2x-1=0解得x=-l应【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式等知识，把IXl=I玉|-2转化为
19、玉+x2与A9的形式是一个难点，灵活运用公式是解决问题的关键.11.关于X的一元二次方程f-(7-3)172=0.(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实数根为,x2,且1%I=IX2卜2,求机的值及方程的根.【考点】A4：根的判别式；AB：根与系数的关系【专题】11：计算题【分析】(1)找出一元二次方程中的,b及c,表示出从40c,然后判断出6-4比大于0,即可得到原方程有两个不相等的实数根；(2)利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，判断出两根之积小于0,得到两根异号，分两种情况考虑：若0,x20,利用绝对值的代数意义化简已知的等式，将表示出的两根之和代入，列
20、出关于用的方程，求出方程的解得到机的值，进而确定出方程，求出方程的解即可；若0,同理求出机的值及方程的解.【解答】解：一元二次方程f-53)x-加=0,4=1,b-(m-3)=3-7,c=-nr,.,.=从-4ac=(3-m)2-41(-n2)=-6/w+9=5(n-)2+M,.0则方程有两个不相等的实数根；若0,x2,x2=-/2,若XIV0,x20,上式化简得：-(M+毛)=一2,.x1+x2=/W-3=2p/n=5,方程化为2x-25=0,解得：1=l-26,2=l+26.【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=O(aO),当从一4tz
21、c0时，方程有两个不相等的实数根；当从-4c=0W,方程有两个相等的实数根：当6cVO时，方程没有实数根.12.已知关于R的方程/+2+l-=0(1)求证：方程总有两个实数根.(2)设方程的两个实数根为网、x2,且片-考=2,求机的值.【考点】A4：根的判别式；AB：根与系数的关系【专题】11：计算题【分析】(1)根据.()恒成立即可证明.(2)由方程的两个实数根为演、x2,根据根与系数的关系即可解答.【解答】解：(1)=22-4l(l-m2)=4-4+4m2=4m2.1g,二.方程总有两个实数根；(2)由方程的两个实数根为司、x2,根据根与系数的关系得出：X1x2=-2,xix2=1-m2,
22、X：x2=(xi+X2)(%If)=2，/.x1-X2=-1/.(x1-x2)2=(xl+x2)2-4xix2=4-4(1-w2)=1,解得：mi=-fm2=-.,22【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握司，X2是方程f+p+g=O的两根时，xl+x2=-pfx1x2=q.13.已知关于R的方程A-(3A:一DX+2(Z-I)=0.(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根演、X2,且x-X2=2,求攵的值.【考点】l:一元二次方程的定义；A4：根的判别式；AB：根与系数的关系【专题】33：函数思想【分析】(1)分Z=O与0两种情况进行分
23、类讨论；(2)先用a表示出X的值，再根据1=2即可得出Z的值.【解答】(1)证明：A=O时，方程为x-2=0,方程有实数根.AWO时，方程为一元二次方程，=(3Z-I)2_弘(1)=A:2+2k+1=(+1)2(A+.。，.一元二次方程有实根，二.无论左为任何实数，方程总有实根.(2)解方程奴2-(3I)X+2伏T)=O得：x=3Z-1(A+1),即2,X1=-.2kkx1-x21=2,k-1-1G/.2=2或2=2,kk.,4=1或氏=.3/的值为1或3【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当()时，方程有两个不相等的实数根；(2)根据根与系数的关系结合x
24、1-x21=2,找出关于攵的一元二次方程.14.已知：关于X的方程小-(3l)x+2(l)=0(1)求证：无论上为任何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根不，x2,且IXLX2=2,求2的值.【考点】A4：根的判别式；AB：根与系数的关系【分析】(1)确定判别式的范围即可得出结论；(2)根据根与系数的关系表示出玉+/，王七，继而根据题意得出方程，解出即可.【解答】(1)证明：当左=0时，方程是一元一次方程，有实数根；当ArwO时，方程是一元二次方程，=(3%-1)24后x2(A1)=(%+I)?.。，.无论2为任何实数，方程总有实数根.(2)解：此方程有两个实数根x1,x2,_(3
25、-1)2(1).X十A2xx2kKIXl-X21=2,(x1-X2)2=4,、2ZI41192-6+l-2(-1)y1/.(x1+x,)-4xx,=4,即4=4,Hk解得：区=2,k即4=1或2=1，3经检验攵=1或2=是方程的解，3则4=1或2=1.3【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，属于基础题，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容.15.已知:关于X的方程/一(3左一I)X+2/-1)=0.(1)求证：无论为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根$,x2,且X-2I=2,求人的值.【考点】A4：根的判别式；AB：根与系数的关系【专题】45：判别式法；523：一元
26、二次方程及应用【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出4=(3k-1)?+%。，由此可证出：无论A为何实数，方程总有实数根；(2)根据根与系数的关系结合|芭-91=2,即可得出关于攵的一元二次方程，解之即可得出出值.73?【解答】(1)证明：=(3k-1)2-42(A:-1)=9A:2-14A:+9=(3Ar-1)2+.7(3k.0,37A(3-)2+0,即(),39无论左为何实数，方程总有两个不相等的实数根.(2)解：方程炉_(3%_1+2/-1)=0有两个实数根再、x2,/.xl+x2=3/:-1,xlx2=2(k-1).Ix-x21=2,.(xl-x2)2=(xl+x2)2-4
27、x,x2=4,即(3kI)?-4x2(A-I)=4,整理，得：9公-142+5=0,解得：k.=-1&=1.192【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记当ao时，方程有两个不相等的实数根；(2)根据根与系数的关系结合x1-X21=2,找出关于攵的一元二次方程.216.己知关于X的方程/一(加一2)x-丝=0.(1)求证：无论，为何值，方程总有两个不相等实数根.(2)设方程的两实数根为M,x2,且满足(+W)?=U-x21+2,求加的值.【考点】A4：根的判别式；AB：根与系数的关系【分析】(1)根据判别式a=2(m-l)2+20,即可得到结果;(2)由于MW=
28、-乎,O,可得N，W不同号，再分两种情况讨论可求?的值.【解答】解：(1)=-(/-2)2-4(-)=2n2-4m+4=2(m-1)2+2O,4方程总有两个不相等的实数根;(2)x1X2=O/.X,工2至少有一个为O或不同号，当WO,(xl+x2)2=|x11-1x21+2,/.(xj+x2)2=xl+x2+2,/.X1+Xj=2,或X+W=-l,二.，2=2,或，九2=1,/./n=4或m=1；当Xo,方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当a0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=()时，方程有两个相等的两个实数根；当aVO时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.3
29、 .根与系数的关系(1)若二次项系数为1,常用以下关系：XI,X2是方程x2+px+q=0的两根时，川+2=-p,XX2=q,反过来可得P=-(X1+X2),q=xx,前者是己知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数.(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：XI,X2是一元二次方程O?+版+c=0(0)的两根时，X+X2,JaX2,反过来也成立，即(XI+X2),XIX2.(3)常用根与系数的关系解决以下问题：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数.不解方程求关于根的式子的值，如求，加2+一等等.判断两根的符号.求作新方程.
30、由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑0,（）这两个前提条件.4 .三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.（3）三角形的两边差小于第三边.（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略.5 .等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的富相互重合.【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.
