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1、导数不等式证明18种题型归类遇内容速览 一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】不等式证明基础令令【题型二】三角函数型不等式证明0【题型三】数列“累加型”不等式证明令【题型四】双变量构造换元型不等式证明令令【题型五】同构型不等式证明O令【题型六】双变量“比值代换”型不等式证明Q【题型七】凸凹反转型不等式证明令令【题型八】极值点偏移型不等式证明令【题型九】“极值型偏移”不等式证明【题型十】三角函数型极值点偏移不等式证明【题型十一】三个零点型不等式证明【题型十二】三个极值点型不等式证明【题型十三】系数不一致型不等式证明【题型十四】极值构造(利用第一问结论)【题型十五】先放缩型不等式证明【题
2、型十六】切线放缩型不等式证明【题型十七】利用韦达定理置换型不等式证明【题型十八】泰勒展开型不等式证明三、高考真题对点练四、最新模考题组练曼知识梳理与二级结论1、应用导数证明不等式基础思维：(1)直接构造函数法:证明不等式/(x)g(x)(或/(x)Vg(X)转化为证明/(x)-g()o(或/(x)-g(x)=x+l,如图所示，易知除切点(/)外，V=e，图象上其余所有的点均在产1的上方,故有ex+l.该结论可构造函数x)=e-l并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.3、泰勒公式形式：泰勒公式是将一个在与处具有阶导数的函数利用关于(X-%)的次多项式来逼近函数的方法.
3、若函数/()在包含方的某个闭区间。,切上具有阶导数，且在开区间(。/)上具有(+1)阶导数，则对闭区间上任意一点4,成立下式：/(*1)=/(o)+*(xo)(v-xo)+2、+：o)(X_*o)+R(X)其中：/()(%)表示/(%)在X=XO处的阶导数，等号后的多项式称为函数/(%)在/处的泰勒展开式,剩余的R(X)是泰勒公式的余项，是(-0r的高阶无穷小量.4.常见函数的泰勒展开式：(1)ev=1+j-6,其中(Oel);I!2!3!！(n+l)v7(2) ln(lx)=x-+(-1)1-,其中凡=(T)”J、jI；v72!3!fnnv,(w+l)!U+0)X(2)、指数型超越放缩：x+
4、lJ一(x2%(X。为函数/(X)的极值点)；(3),若函数/(X)存在两个零点再/2且范工2，令XO=再I求证：/(%)0:(4) .若函数/(X)中存在再,工2且再x2满足/区)=/。2)，令Xo=m，求证：,()A热考题型归纳【题型一】不等式证明基础【典例分析】已知函数/(x)=XlnX.(1)求曲线y=()在点(I,/)处的切线方程；(2)求证：f(x)0.2 .已知函数/(x)=lnx+x2-ax.(1)若函数/U)在定义域内为增函数，求实数的取值范围；(2)若=0且x(0,l),求证：xl+x2-/(x)0.【变式演练】(江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学20222023学年
5、高三上学期10月联考数学试题)已知函数.Sinxf(x)=X.(1)当xo时，/()q,求实数。的取值范围；(2)证明：iextInX+sinX.【题型三】数列“累加型”不等式证明【典例分析】(2023四川成都石室中学校考模拟预测)已知函数=若/(x)0,求实数a的值；(2)已知wN,且2,求证：l+-+-1,eN.2232n2+1【题型四】双变量构造换元型不等式证明【典例分析】(2021黑龙江校联考模拟预测)已知/(x)=F.(1)求关于X的函数g(x)=/G)-4(r)-5X的单调区间;(2)已知。方，证明：幺zJ a-b11-ea +eh +4e6I【提分秘籍】海及函函而双零点间瓶不音再
6、加的庭而不委豆而不辱,二-这星号菌薮的面而不辱下一布是把反变隹而辱式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.【变式演练】17(2021广东统考一模)已知/(x)=lnx,g(x)=-x2+wx+-(w0),直线/与函数/、g(x)的图象都相切,且与函数/(x)的图象的切点的横坐标为1.(I)求直线/的方程及加的值；（三）若力()=(+l)-g()(其中g(x)是g(x)的导函数)，求函数M%)的最大值；(In)当OCbCa时，求证：f(a+b)-f(2a)br证明：ab+lba+l.【题型六】双变量“比值代换型”不等式证明【典例分析】(2020黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考三模)函数
7、/(x)=InX-喑D(1)求证：函数/(x)在(0,”)上单调递增；II0(2)若孙为两个不等的正数,试比较型二竺与的大小,并证明.m-nm+n【提分秘籍】rsww;:1.一般当有对数差时，可以运算得到对数真数商，这是常见的比值代换形式i2.两个极值点(或者零点)，可代入得到两个“对称”方程!3.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。【变式演练】(2022湖北黄冈统考一模)己知函数/(x)=InX-?x+m.(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若/卜)0在X(O,+)上恒成立，求实数巾的取值范围;【题型七】凸凹反转型不等式证明【典例分析】(宁夏青铜峡市高级中学2022届高三上学期第一
8、次月考数学(理)试题)已知函数/(x)=Tnx,aeR.(1)求函数/(%)的单调区间；(2)当t(0,e时，求g(x)=/X-InX的最小值；(3)当Xe(O,e时，证明：e2x-Inx-.X2【提分秘籍】类型特征：(1)特殊技巧；(2)分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法。【变式演练】(陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期第一次月考理科数学试题)已知函数/(x)=InX-X一巴(。=0,4eR)的单调性;X(2)证明：(x)-+l.【题型八】极值点偏移型不等式证明【典例分析】已知函数/(x)=lnx-.X(1)求人。的最小值；(2)若方程/(x)=0有两个根,x2(
9、x1x2)求证t*+x22.【提分秘籍】刷甬耳薮症明示哮天西冗奚顿廨血锭哈；!(1)构造差函数刀(x)=(x)-g(x),根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关1系，进而证明不等式；三(2)根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、I等量代换将多元函数转化为一元函数.ii1.-夜式演菊已知函数/(x)=InX-T双、1.(1)讨论函数/(X)的单调性；(2)当。=1时，设函数/(x)的两个零点为X,X2,试证明：x1+X22.【题型九】“极值型偏移”型不等式证明【典例分析】(湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上
10、学期12月联考数学试题)已知函数+X13g(%)=5X+2)x+5”(QeR)(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若l,(x)=(x)+g(x),x1,大为MX)的两个极值点，证明：(x,)+(x,)O.(1)当x21时，/(x)0,求的取值范围.(2)若函数/(x)有两个极值点和声，证明：x,+22e【题型十】三角函数型极值点偏移不等式证明【典例分析】(2022河南郑州校联考二模)已知函数/(x)=ersinx,x(,).求函数/(x)的单调区间；(2)若MHX2，且/(占)=/(X2)，证明：X+%2:.【变式演练】(2023福建宁德统考模拟预测)已知函数/(x)=W竺,xe(0).e若
11、/(x)l,求实数。的取值范围;(2)若=4,且/(*)=/(占)，玉工2，求证：R+Z且曰9sim【题型十一】三个零点型不等式证明【典例分析】(浙江省舟山中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数/(x)=(x+l)lnx+(IheR.求函数=八、)的最小值；(2)若/(x)有三个零点Xj,X2,Xj,求。的取值范围；八1113求证：嬴金+1”二+嬴金7【提分秘籍】;对于三不派值点或者三个摹点鹿型，可以看以下悟见思维:；1.可以通过代换消去一个极值点。三2.一些函数也可以求出具体的极值点I3.通过分类讨论可以“锁定”一个的取值范围，适当放缩。【变式演练】(浙江省杭州市第
12、十四中学2021届高三下学期5月模拟考试数学试题)已知函数/(x)=xlnr,g(x)=0r-U/?.(D若对任意X4,+功,不等式二。”。名恒成立,求”的取值范S;(2)已知函数MX)T/(“)卜有3个不同的零点七户2，毛(芯Jl+2-Jl-2.【题型十二】三个极值点型不等式证明【典例分析】已知函数/(x)=(x-2)e+.(1)讨论/Cr)的极值点的个数；(2)若/(X)有3个极值点X”XUX3(其中XlVX2X3),证明：XiX3工.【题型十三】系数不一致型不等式证明【典例分析】(浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题)设实数且函数/(x)=WTogA(。，+
13、8)(1)求函数/(X)的单调区间；(2)若函数J=(x)有两个不同的零点人2(须3a.【提分秘籍】秦薮不二致期氢专看M盘家布-温值点或著一至点S1.可以借助“比值”等代换方式引入参数，转化为一个变量。5可以利角-Z极值点”值彩构造薪函数证丽。一夜式演菊(浙江省绍兴市诸暨市2021-2022学年高三上学期期末数学试题)已知函数43,/(x)=(x-l)ex-(x+l)2-a(aR)(I)当a=0时，求y=()在(OJ(O)处的切线方程；(2)若T=/(x)有两个极值点X、X2,且演七.(i)求实数。的取值范围；(ii)求证：+3.【题型十四】极值构造型(利用第一问结论)【典例分析】(2022海
14、南统考一模)已知函数)=x-e+lMeR.(1)求/(x)的单调区间；(2)若/(x)0在X6/?上恒成立，求实数。的取值集合；(3)当。=1时，对任意的0?，求证：l_1/(lnzz)-/(lnw)l_1nn-mm【提分秘籍】一些衽期，可以逋过对第一间分类i登，落田一些不尊式放缔支手或暑放猫向1 .可以利用第一问单调性提炼出不等式2 .可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3 .可以利用题干和第一问结论构造新函数(新不等式)【变式演练】(2023吉林统考模拟预测)已知函数/(x)=XInX-Za-1),且/3之0.(1)求实数加的取值范围；求人的最小值;(2)设为整数，且对任意正整数，不
15、等式(Wl+,l+)女恒成立,(3)证明:2023Y024J2023Y2024)eg(x).【提分秘籍】:i L根据已知条件适当放缩；1 2.利用常见放缩结论；I常见的切线不等式放缩思维【变式演练】(山东省2021-2022学年高三上学期12月备考监测第二次联合考试数学试题)函数八力=InX-数十1.(1)若“立。恒成立，求。的取值范围.(2)证明：(当+1卜-+1)2.O【变式演练】(江苏省泰州市姜堰中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数“、)=。(工-1)/,。工0.(1)讨论/W的单调性；(2)当。=1时，求函数在4=1处的切线/,并证明Ol,函数/(#图象恒在
16、切线/上方；若/(x)=m有两解,天，且XIVX2,证明/-x2-m【题型十七】利用韦京定理置换型不等式证明【典例分析】(山西省山西大学附属中学2021届高三下学期三月模块诊断理科数学试题)已知函数/(x)=f-r+nx,&wR.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)若/U)有两个极值点阳，x2,证明：|/(演)-/(七)|：-2%.【提分秘籍】；吊置羊察布天姿薮亮马荡薮就玩x1；0有荚；”.利用韦达定理代换：可以消去x1,X2留下参数ii1.彳寂演菊-i已知函数/(x)=；x2+hu+rv,(/n).(1)若/(4)存在两个极值点，求实数，的取值范围；(2)若占，七为/()的两个极值点，证明
17、：/叫/(/)_/(里卜.【题型十八】啊泰勒展开型不等式证明【典例分析】(2022辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测)给出以下三个材料：若函数/(x)可导，我们通常把导函数/(X)的导数叫做/(x)的二阶导数，记作(x).类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作广(力，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做阶导数，记作/()(力=产)刚,让4。若62，定义!=”(-1)(-2”，3、2、1向若函数/(力在包含与的某个开区间(。,6)上具有阶的导数，那么对于任一xw(,6)有g3=(z)+J(XT。犷华j+年4一/7+我们将g(x)称为函1!2!3!数/(X)在点X=Xo处的阶泰
18、勒展开式.例如，y=e在点X=O处的阶泰勒展开式为l+x+:i+上2n根据以上三段材料，完成下面的题目：(D求出i(x)=sinx在点X=O处的3阶泰勒展开式g/x),并直接写出(x)=coSX在点x=0处的3阶泰勒展开式gz(x)；(2)比较(1)中工(力与g(x)的大小.(3)证明：ev+sinx+cosx22x.【提分秘籍】；刘南泰新公式拉丽不尊式：若函数/(X)在含有/的某区间有定义,并且有宜到(-1)阶的各阶导I数,又在点/处有阶的导数/()(Xo),则有公式i/(x)=/(工。)+/；。)(X-%)+/；。)(-)2+/-J-)+()!在上述公式中若凡(X)0(或&(X)0),则可
19、得1/W/(X0)2(x-Xo)+Zl2(-x0)2+.+-x0)1!2!！:或“丫、+(XO),丫丫、+/(/)&v2,/(xorr()ij)jo)+-(X-X0)+-(X-X0)+(X-X0)i1!2!nIiI彳变式演练(2022春广东广州高三校级联考)已知函数/(x)=In(X7)-%(x-l)+l.(I)求函数/(X)的单调区间；CHHM2ln3ln4Inzz*(2)证明：+1).345n+4上高考真题对点练1. (2023天津统考高考真题)已知函数/(x)=6+gn(x+l).(1)求曲线y=(x)在=2处切线的斜率；(2)当x0时，证明:/(x)l;(3)证明：,+2. (2022
20、全国统考高考真题)已知函数/(X)=纪-lnx+x-.若/(x),求。的取值范围；(2)证明：若/(X)有两个零点芯,电，则XIX2(s)+(f).4. (2021浙江统考高考真题)设mb为实数,且函数/(x)=/-bx+(xwR)(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若对任意62,函数/(x)有两个不同的零点，求的取值范围；当时，证明：对任意函数/(力有两个不同的零点再/2，仇玉)，满足吗演+限2eb(注：e=2.71828是自然对数的底数)5. (2021全国统考高考真题)设函数/(x)=ln(-x),已知X=O是函数=的极值点.(1)求a；(2)设函数g(x).证明:g(x)Inx).(
21、1)讨论f(x)的单调性;(2)设明6为两个不相等的正数，且blna-aln6=a-b,证明：2-+-J-e.ab*最新模考题组练1. (2023西藏昌都校考模拟预测)已知函数/(X)=Inx-ax+l,aeR.(I)讨论函数/(X)的单调区间；若X。为函数g(x)=M(x)+lnx-2的极值点，求证：2lnx+x+.3. (2023贵州贵阳校联考三模)实数20,/(x)=ln(x+l),g(x)=-.x+k讨论/(x)-g(x)的单调性并写出过程；-L1(2)求证：Ye,+3*wl.A=I+14. (2023四川校联考一模)已知函数/(X)=-21nx.求的单调区间；(2)令g(x)=(x)
22、-(a-2)lnx,若g(x)有两个零点七，x2(x1x2)t且%是g(x)的唯一极值点，求证：i3.5. (2023福建三明统考三模)已知函数，(力=；-1呐1).讨论/(x)的单调性；(2)若证明：(1)：-4+T),已知x)2l恒成立.X+1(1)求实数加的值；(2)若数列%满足。加=111/(/),且q=l-ln2,证明：怆-1|(夕.7. (2023江西赣州统考模拟预测)已知函数/(x)=1nx+(4R).若函数g(*)=(x)+:+s,讨论函数g(x)的单调性；(2)证明：当1g时，/(x)=/(4)在点(IJ(I)处的切线方程；(2)求证：/(x)x2+x.【答案】(1)y=x-
23、i；(2)证明见解析【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；(2)首先将题意转化为证明InXTT0,令g()=hv-l,利用导数求出函数的最大值即可证明.【详解】(1)/(1)=0,所以切点为(l,0)J(x)=lnx+l,左=(l)=lnl+l=l,所以切线为y=.(2)要证f(x)+,只需证：nx+x即证：InAr-X-I0).令g)=l=O,解得X=L所以XW(0,1),g,(x)O,g(x)为增函数,x(l,+),g(x)0,g(x)为减函数.所以g(x)ax=g=-20,所以InX-X-I0恒成立，即证/(x)0.【答案】(1)。=2；(2)证明见解析.【分析】(1)求出函数的导函
24、数，再代入计算可得：(2)依题意即证/(%)=(/2x)e+2ex-/Mx。，即(工一2”1+：今，构造函数8()=。-2)/-2+：,A(x)=,利用导数说明其单调性与最值，即可得到g(x)Mx),从而得证；X【详解】解：(1)因为/(x)=(2-2x)e*+qex-hl,所以,二仁一？)/十四一_,f,(2)=-+ae=-+2e,解得=2.(2)由(1)可得/(x)=(2-24)6*+2ex-/Inx即证/(X)=(x2-2x)ejr+2ex-e2Inx0(x-2)exl+.令g(x)=(x-2)e-+2,/(X)=(XI)/,于是g()在(OJ)上是减函数,在(l,+)上是增函数,所以e
25、g(x)g=：(x=l取等号).又令力(x)=，则I(X)=W,于是MX)在(0,e)上是增函数，在3+8)上是减函数，所以MX)Me)=1(x=e时取等号).所以g(x)M%),即/(x)0.e2 .已知函数/(x)=lnx+x2-ax.(1)若函数/(x)在定义域内为增函数，求实数。的取值范围；(2)若。=0且Xe(O，1),求证：xl+x2-(x)(l+x-)ejc.【答案】(1)(o,22;(2)证明见解析.【分析】(1)函数/(x)在定义域内为增函数，则广(x)0恒成立，分离参变量，利用基本不等式得出最值,可得实数。的取值范围；(2)5ciiExl+x2-/(x)(l+x-x3)ej
26、t即证：x(l-lnx)0时，-+2x22,当且仅当X=也时等号成立，2近，X2即实数。的取值范围是(YO,20：(2)a=0,则/(x)=lnx+2,gExl+x2-(x)(l+x-x3)ejc,即证：x(l-lnx)O,故g(x)在(04)为增函数，Jg(x)g(D=l,设3)=(+xr3),其中(,i),则当Ox3,l+x-x31又1，6，力()1,则g(x)lv/I(X),.(I-InX)0.【答案】(1)函数/(x)在(0,3上单调递增；(2)函数/(x)有三个零点，理由见解析：(3)证明见解析.【分析】(1)利用导数判断函数的单调性；(2) /(x)=x3-xcosr=0,所以X=
27、O或f=cosx,再利用导数研究函数g(x)=/cosx的零点即得解：(3) BPiiEx2-Cosx4-2,再求两边函数的最值即得解.e【详解】(1)=一1时，/(X)=X-、0或，.j)=i+W在伏9上恒成立，所以函数/(力在XXX(。仁)上单调递增.(2) =1时，/()=x3-XCosr,令/(X)=/-XCoSr=O,所以X=O或/=CoSX.令g(x)=X2_cosXt.gz(x)=2x+sinx,因为g(-x)=2一COSX=g(x),所以函数g(x)是偶函数.不妨研究x0函数g(x)的单调性.当xeO,时，g(x)=2x+sinx0,所以函数g(x)单调递增，所以g(x)=2-
28、COSXg(0)=-1,因为g(2)=4-cos20,所以函数g(x)在(0,用内有一个零点；当XEGt,+)时,设A(X)=2x+sinx,.MX)=2+cosx0,所以函数。(X)单调递增，所以函数g(x)=2+sinx单调递增.所以g(x)=2-cosxg()=2+1O,所以函数g(x)在(兀，+内没有零点.根据函数的奇偶性得函数/(x)有三个零点.综上所述，函数/(x)有三个零点.(3) =0时，f(x)=x2-cost,BPiiEx2-cosjt+2O.即证W-cosx-2.由(2)得eeg(x)=x2-cosxg(0)=-1,设Pa)=-T-2,.pG)=,所以当xl时，p(x)O
29、,Ap(X)在(一8,1)单调递增.所以p(x)ma=P(I)=-1,所以/_COSX-2.e原题即得证.【变式演练】(江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学20222023学年高三上学期10月联考数学试题)已知函数函数/(4)=胆.X(1)当xo时，/()q,求实数。的取值范围；证明：xiexatInX+sin%.江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学20222023学年高三上学期10月联考数学试题【答案】(l)l,+)(2)证明见及解析【分析】(1)分情况讨论。的值，根据导数求函数的单调性，进而可求最值进行求解.(2)由第问的结论，通过放缩，只需要证明瞥4,构造函数，求函数最值，即可求
30、证.XX【详解】(1)当x0时，/(x)v等价于Or-SinX0.令函数尸(X)=xSin%,则F(x)=a-cosx.若4,-1,则/O0(x)单调递减,产(x)v尸(O)=0,不符合题意.若一ll,则F(O)=叱10.因为函数尸Cr)=cosx在(0,)上单调递增，所以3(0,7)尸(XO)=O.当x(0,/)时，尸(x)F(O)=O,符合题意.综上所述，实数的取值范围是口,+8)(2)证明：由(1)知:当X0时,sinxx.要证lnx+sinx,只需证xlnx+x,即证JXX令函数g(4)=-Jl(X)=曲宇，则g(X)=注辿M(X)当XG(0,1)时，g(x)O,g(x)单调递增.故g(x).g(l)=e,即t.e.当XJO,e时，”(x)0,6(x)单调递增：当xefe：+小时，(x)V(MKX)单f222调递减.故ei因为eJ,所以g(x)Mx),即瞥L从而XeMnX+sinXIJ33XT【题型三】数列“累加型”不等式证明【典例分析】(2023四川成都石室中学校考模拟预测)已知函数/(x)=In一叩-J若/(x)0,求实数。的值;(2)已知N且2,求证：-+H1-Inw.
