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1、抽象函数性质知识总结与题型归纳1概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2常见抽象函数模型题型一：“巧妙赋值”求函数值问题技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：(1)第一层次赋值：常常令字母取0,1,1等(2)第二层次赋值：若题中有条件f(x0)=t,则再令字母取X。.(3)第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积(较多)或者差与商(较少)。例1：已知函数f(X)是定义在(0,+8)上的函数，且对任意,y(0,+8),都有/(秒)=f(%)+f(y),2)=1,求/(4)/
2、(8).【解析】对任意,y(0,+),都有/(孙)=(x)+f(y),2)=1,/(4)=f(2X2)=/(2)/(2)=2,f(8)=f(24)=f(2)+f(4)=3.例2:已知/(x)定义域为R,对任意XjeR都有/(+y)=()+(y),当x2时，/Cv)1)+2|/(1)2令n=1,得/(1)=/(0)+2(1)2=2(1)2,f.(n+l)-(n)=i(n)=p即f(2001)=等.变式1.设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件对任意正数,y,都有/(Xy)=/O)+f(y);当%1时Ja)0时,f(x)1;求f(4)J(16)的值；解析：千(1)=2,f(2
3、)=f(1+1)=f2(1)=4：Af(4)=f(2+2)=f2(2)=16题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题知识再现1:抽象函数的单调性常用单调性定义证明(1)任取1，不。，且(2)作差f(右)一/(%2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出fOD一/(必)此步有时也会用作商法：判断翳与1的大小；f(2)(3)变形；(4)定号(即判断差/(右)一/02)的正负)；(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间。上的单调性).知识再现2:证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。1 .可赋值，得到一些特殊点函数值，如f(O),f(1)等，2 .尝试适当的换元字母，构造出X和X,如f(x+y)
4、,可令y=x,f(y),可令y=1等等。3 .通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。例1：已知函数./W定义域为卜1/，若对任意的乂丁目-1，都有/(+y)=W+(j),且o时，f()o.(D判断/的奇偶性；(2)讨论/3的区间,l上的单调性;(3)设/=-4,若W-2加+1,对所有x7,l,Tl恒成立，求实数机的取值范围.解析：(1)因为有/(x+y)=(x)+(y),令x=y=O,得/(0)=/(0)+/(0),所以0)=0,令V=T可得：/(0)=(x)(-x)=0,所以/()=-(),所以/为奇函数.(2)由题意设T王O时，有/(x)O,所以/(X2-X)o,即/(2)(x)所以
5、X)是在T1上为单调递减函数;(3)因为/&)在-1,1上为单调递减函数，所以/(X)在上的最大值为/(-1)=-/0)=4,所以要使/(%)OU(I) 0w2-2am+14,m1-2am-30,g(a)=n2-2am-3=-2am+m2-3所以加一3或加 3.2mm2-30-2m+n2-30变式1：设函数/()对任意的实数X,都有/(+y)=()+(y),且0时，W0,7(-1)=-2.(1)求证：/(%)是奇函数；(2)试判断函数/(x)单调性；(3)试问当-2x2时，/(x)是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.解析：(1)证明：依题意令=y=o,得/(0)=/(
6、0)+/(0),即/(0)=0,令J=T得/(O)=/()+/(T)=O,/(T)=-f(x),，/(X)是奇函数.(2)单调递增函数，理由如下：任取Xi./wR,设XX2,则为-X20,由已知可得/(%-七)。，V()-()=()+(2)=(i-),(jl时f(x)(2x)的解集.解析：(1)x1=x2=11(ll)=(l)+(l),即/(1)=0,取X=/=T得/(1)=/(-1)+/(-1)=0,即/(T)=0,取Xl=X,七=T得/(T)=/(x)+(T)=(x),即/(x)是偶函数./(2)设占20,则%1,由xl时，/(x)0得/五0,则x2x2JfM=f2=(2)+f-(2x)等
7、价为X-IWO2x0 得xlX 0 且X 1/3x2+2x-10/(,-)(2x),k-1II2-vII(x-i)2(2x)2即AYT或;X,即不等式的解集为xxT或gxl.变式2：已知函数/(K)对于任意实数X,R恒有/(+y)=()+(y),且当XVO时，o,又/()=.判断f()的奇偶性并证明；求/(%)在区间-3,3的最大值；(3)解关于X的不等式：/(0r2)-2(ax)-2.解析：(1)/S)为奇函数，理由如下：函数/()的定义域为R,关于原点对称。令x=y=O得：/(0)=2/(0),解得：/(0)=0令V=T得：/(x)+f(-x)=/(0)=0所以/(-X)=-/(x)对任意
8、XWR恒成立所以/5)为奇函数任取占，T2(-,+),且XIVX2则王一工20因为当x0时，/(x)0所以/(x1-x2)0,即/(石)+/(-)0由第一问知，/为奇函数。所以/(f)=-/(W),则)-(9)o,即fMfM所以/(X)在火上单调递增，所以/（八）在区间-3,3的最大值为/(3)因为/(T)=-1,/(X)为奇函数所以/=1。令x=y=l得：/(2)=/(1)+/(1)=21,乃2得:/(1+2)=/(1)+/(2)=1+2=3,即/(3)=3(3)因为/(仆2)-2/(幻/()一2。所以/(公2)_/(幻/(+/(奴)_2=/(工+公)2由(1)可知，/为奇函数，由(2)知，
9、八2)=2。所以/(/)-/(x)/(x+g)-/(2)即/(公2)+/(_工)/。+”)+/(_2)。所以/(2x)v/(x+”2)由(2)可知，/(x)在R上单调递增。所以-+-2整理得：0r2-(+2)x+20,Kp(or-2)(x-l)0-OO,二 lu(l,+2-2x+2l,当0时，-0,解集为当 = 2时,2(-1)20,解集为 0 ,当 01,解集为卜50-,解集为(2,1综上：当。=0时，解集为。,e)，当OB寸，解集为-oo,ju(l,+oo),当 = 2 时,解集为0,当02时，解集为例3:已知函数V=(x)的定义域是夫,对于任意实数机，恒有/(w+w)=(zw)(11),
10、且当x0时，0(x)OB寸，0(x)OB寸，0(x)0.(0)=l；设?=X0,.(0)=(x)(-x),(X)=.0(-x)1.即当xl.即/()0恒成立,设王0,0(x2-)r1)(x1)-(1)=(Arl)(x2-x1)-l0,(2)-(x)0,即/(x2)0时，/Wl.(1)求/(0)的值；(2)证明:/(%)在(-如+8)上是增函数；(3)解不等式/(“一2)息用.解析：(1)因为任意实数,b都满足S+b)=(a)(b),令=l,6=0,则/(1)=/(1)/(0),.(i)o,/(0)=(2)当x0,.(X)(-X)=(x-Af)=/(0)=1,V/(-X)O,/(x)0,即xR时
11、，即x)0恒成立,设任意的AZeR,且x0,/(W石)1, f(x2 -x)/U2)/Ui)l.(x2)(xl),即/(x)在(-8,+ 8)上是增函数,(3) .,(x-2).f(x-2)f(2x-4)=/(3x-6)1=/(0),由(2)知人力在R上为增函数，.3x-60,得：3,因为/j所以(2),解得/(4)=2,因为x)-()=小(x-3),所以/()-f()2,即/x(a3)m(4),因为函数/(x)是定义在(0,+8)上的增函数，所以/x(x-3)(4),即x(x-3)4,即2-3-40,(x-4)(x+l)0,解得31时f(x)0,若f(3)=1.(1)判断f(x)的单调性：(
12、2)解关于X的不等式/(3x+6)+(32;X(3)若/(x)-2函+1对所有Xe(0,3,e7,l恒成立，求实数，./解析：(1)设X工20*1(XJ-/(工2)=/时/(x)0x2kx2/(x)(x2)0/(xi)/(2),所以函数为增函数/(2) /(xl)-(x2)=/中令=9,/=3.(9)-(3)=(3(9)=2,不等式x27/(3x+6)+d)2转化为/(3x+6)9)/J(3x+6)/(9)-/d)=/(9x),由函数为XX增函数可得3x+69x0.0vx0时，/()/(2x)-2,求X的取值范围；解析：(1)令X=N=O,则/(0-0)=/(0)-0),/./(0)=0；(2
13、)函数/(x)是定义在R上的减函数，设”,/wR,且玉W,则玉一吃。，/(x1-x2)=(x1)-(x2),V当x0时，W0.(x1-x2)0,即/(内)一/(工2)。，/(再)f(2x)-2=f(2x)-/(-1)=f(2x+1),又函数/(x)是定义在R上的减函数，.X-1,X的取值范围为X-1.变式5：定义在R上的函数/(),满足对任意,yeR,有/(-y)=()-/3,且/(3)=1011.求/(O),6)的值；判断/()的奇偶性，并证明你的结论；当x0时，/(x)0,解不等式2x-4)2022.解析：令=y=o,得/(0)=/(0)-/(0),所以/(0)=0,令x=6,y=3,/(
14、6-3)=/(6)-/(3),所以6)=2/(3)=2022.令X=O得，/(0-y)=(0)-(y),即/()=-/(,所以函数/()为奇函数.(3)设%X2eR,且占工2,则X-90,所以/(占-彳2),所以/(芯)-/(2)=/(Xl-X2)0,故/(x)在R上为增函数，/(2x-4)2022,等价于/(2x-4)(6),所以2x46,解得：x5,故不等式的解集为(5,+).例6:已知函数/。)是定义在R上的非常值函数，对任意4、yeR,满足/()=.(1)求/(0),/的值；(2)求证：对任意xc(0,+8)J(x)0恒成立；(3)若当OVXVl时,0)则/(4S)=/()/()=/(
15、f)=/2()对任意的Z0成立，又函数/是定义在R上的非常值函数，故21)0,/(/)0,即所以对任意Xe(O,+8),(x)0恒成立.(3)取XIX20,则/(再)-)=(XJ(I-笑?)，又y)=()(y),所以Jx0)o时，=,2W=(土)o故fMf()王f(X)/(xj(li飞)。,所以当司20时，/(玉)-/(彳2),所以函数/(X)在(0,+8)上是增函数.变式6：已知定义在R上的函数/()满足：对任意的实数x,y均有/(盯)=/()(y),且/(T)=T,当0x0恒成立，再结合定义法，即可证明单调性；(3)根据题意，先根据单调性求出/()的最值，再将原不等式转化为2|/()2-/
16、0#川-2加+1,构造关于。的函数即可求解(1)根据题意，令V=T,得/()=/W(T),因为/(-1)=-1,所以/(T)=-/(耳,故结合定义域可知，/(x)为奇函数.(2)/(X)在(0,+8)上单调递增.证明：由题意，可知(2)=(xx)=(x)(x)=2(x)0,假设玉w(0,+),使得/(x)=0,则3)=)f(y)=0,而当。孙1时，由题意知00恒成立.设VXe(,00),且占2,则。“1,因此xI/(x)(2)=(*)-/W二=fM-fMf型=/(再)f,x)xJxi/因为。强1,且当OCX0,又因为/(m)0,xlx所以/(再)1-/,即/(j(2),又因为百42o,所以/(
17、)在(O,+/)上Iv)单调递增.(3)根据题意，结合(1)(2)可知，/()在卜1上单调递增，因此/(XLC=/=一/(T)=1，/(x)min=L(T)=T,x1,x2-l,l,2(x1)-(x2)2(x)ma-(x)min=4,因为xp2-1,1,2|/($)-/(%2)卜加2-2加+1恒成立，所以4尸_2am+1恒成立，即-Ima+/_30恒成立，令g()=-2m+，-3,贝-1,1,g(4”0恒成立，故gl)Li2_3纳解仔3或加3.例7:已知/(X)定义域为R,对任意“eR都有/(x+y)=(x)+(y)-l,当x0时，/(x)4解析：(1)函数/(x)在R上单调递减，证明如下：任
18、取XjR,且气，可得/(x)-(x2)=U)-(x2-jv)+xi=(xi)-i)+(x)-1=1(x2-i),因为吃一芭。，且o时，/()l,所以/(w-菁)即/(x1)(x2),所以/(x)在R上单调递减.(2)令一,得/(2*)=(x)+(x)7,.2(x)=(2x)+l./(2x2-3x-2)+2(x)=(2x2-3x-2)+(2x)+1=(22-3x-2+2x)+24./(2-a-2)2,又/(x)在R上的单调递减且/(-l)=2/(2f-2)T),2%2-2T.-lxl,即不等式解集为*-gx2时，/(x)0,/(2)=0.(1)求/(-1)的值.(2)试判断/()在R上的单调性，
19、并证明？(3)解不等式：2(+2x)2-(+2x+2)-20.解：(1)在/(x+y)=(x)+(y).l中令尸产,得2(1)=(2),因为/(2)-。所以=5,令-y-得，2()-()*解得/(o)=,令一/(i)i()-(o)即;|)“解得/(O二(2)/(“)在R上单调递减，证明过程如下：设0x2,所以/(x+2)=(x)(2)-l=(x)-10所以0x2时,/(x)2时，有/(x)0时，/(x),对于巴,当wR,且x0,则/-/=/伍)-/伍+，)=/(鼻)-/(4)-/(，)+1=1-/(。因为，0时，/(0。，故)(s),故/(“)在R上单调递减；(3)由题意得/(x+22)=(+
20、2x)+(2)-I=(2x)-I因为2(x2x)f/(一二一2)20所以2(2x)2/(2)KO即2(32x).(32x)1卜0解得g(2x)l在/(x)G)=(H中，令X=ZFl得，/(1)=(3)1故/(3)=(2)/I=-；故/(3)尔闭/(0)由(2)可知，/(H在R上的单调递减，故0+2x3,解得-3x-2或Ox0.(3)若VXWR,PyWR,/_机(2k+力+4叫，+43恒成立，求实数机的取值范围.解析：由/(%+)=/(5)+/()+1令石=0,则/(o)=(o)+(o)+解得：/(O)=-I令Xl=X,x2=-x,则/(0)=(x)+(-x)+l=7即/(x)+l=-/(X)-
21、1,xR所以/(x)+l为奇函数解:由/(3+)=/(幻+/仁)+1得/(2x)7=(x)+(x)所以/(2)+()-=()+()+()即3/()=/(2力+/3-1=/(3%)-2所以/(-3工2+2工)+3/(“)0等价于/(-3x2+2x)+(3x)-20即(-3+5x)3由&+z)=(xj+(x2)+l,且/(1)=1,令XI=1,Z=I得：/(2)=/(1)+/+1=3所以/(-3/+5%)3等价于/(-3/+5，2)又/(x)为R上的增函数所以-3+5x2,即32-5x+23,eR,”及等价于fx2-m(2xy+y2)+4my+4f(2)又/(x)为R上的增函数所以/一小(2号+/
22、)+4+42即X2-2myx+4my-my2+2O,xR恒成立所以4n2y2-44my-my22)0(w2+my2-Amy-2v0,yeR恒成立当/+w?=O,即M=O或加=Tzn=O时，不等式变为：-20,符合题意机=T时，不等式变为：4尸2v0,即JYg,不符合题意/W2+TW01当加+?HO时(212(0八解得：-W06tn-4w+wj(-2)03综上,实数m的取值范围为：/T一提0例8:定义在。=(-2,0)u(0,2)上的函数/(x),对任意xje,都有3)=(x)+(y)-2,且当OVX2.(1)求/与/(T)的值；(2)证明/(x)为偶函数：(3)判断y=(x)在(0,2)上的单
23、调性，并求解不等式/(2a1)2.解析：(1)令=y=,则/(1)=2令x=y=,则/(7)=2(2)令y=T,则/(r)=(x)+(T)-2=(x),.()为偶函数.(3)令9=不，X=/,设ox工22,贝Iy=土且oy1；./(1)-(2)=-2X2kx2J/(演)”/卜)在(0,2)上单调递减，又/(x)为偶函数-22x-l-ll2x-l2-x01卜一gxO或lx)变式9.定义在/=(-2,0)50,2)上的函数/(x),对任意X,yl,都有f(y)=f(X)+f(y)-2;且当Ox2.(1)求/(T)的值；(2)证明幻为偶函数；(3)求解不等式/(2-l)2.解：(1)令工=丁=1,贝
24、LXD=2令x=y=T,则/(一1)=2令P=T,则/()=/*)+/(-D-2=/&),.()为偶函数.(3)令W=%,X=X?,W殳OXX2,=-JLOJ/(x2).y=f(x)在(0,2)上单调递减又/(X)为偶函数一22x-1一1或l2x-l2-yAr0lxx-yx0lx0,恒有f(%+T)=/(%),则在区间0,2T上，方程f(x)=0根的个数最小值为.解析函数/(%)是定义在R上的奇函数，故/(0)=0,又f(%+T)=f(%),即周期为7,/(2T)=/(T)=f(O)=O,又由)T)=T+7)=居),-三L(-g=-=0,.=o,故在区间0,27,方程/(%)=。根有=0,g,
25、y,2T,所以个数最小值是5个，例2：/J)是定义在R上的函数，对一切马都有+y)+(x-y)=2)V),且7W(1)求人0);(2)判断函数/S)的奇偶性解析：(1)/(+y)+(Ay)=2(x)3)J(0)h0取X=N=0,则2/(0)=2/2(0),/./(0)=1(2)f(x+)+f(x-y)=2f(x).f(y),取X=O得至lJ(y)+(-y)=2(0)(y),即/(y)=(-y)函数/()为偶函数变式1.已知函数/()满足VX,yeR,f(+y)+f(-y)=f()f(y),0)=,且在区间0,1)上,f()0恒成立.(1)证明：“幻是偶函数；(2)求/8)；(3)证明：力是周期函数.解析：令=y=0,得/(0)+/(O)=LZ(O)F,因为/(0)0,所以/(0)=2,令X=0,得/(y)+(r)=(0)3)=2(y),所以f(-y)=3),所以f*)为偶函数.(2)=,y=i,则/+/(；)=/(|)/(，所以吗)=()(,又/(0,所以/()=1,令=y=g得)+(0)=尸g)=l+2=3,/()=3.在+y)+-y)=(y)中令=得/+D+/(XT)=/(刈/(。)二,所以+1)=寸-1),即+2)=-,所以/(x+4)=-(x+2)=(x),7=4.
